相关系数 定义:称 Cov(号,7) 为随机变量与m的相关系数,记为p DE Dn Cov(号,7) DE Dn P是无量纲的量。 结论:p=CoV5,,其中5-En-En DS LIE: Cov(s, n=es n -es en =e( 5-E5-E7 D"√Dm E(5-E5)(-Em) b√D7
相关系数 定义： ηξ ρξη ηξ ηξ 称 为随机变量 与 的相关系数，记为 DDCov ),( ηξ ηξ ρξη DDCov ),( 即 = ρξη是无量纲的量。 η ηη η ξξξ ξη ηξρ ξ DE DE Cov − = − = = ** * * 结论： ),( ， 其中 , ),( )(( ) ** ** ** η ηη ξ ξξ ηξηξηξ DE DE Cov EEEE −− −= = ρξη ηξ ηηξξ = −− = DD EEE ))(( 证：
相关系数的性质 性质1任意两个随机变量的相关系数的绝 对值不超过1,即|0|1 证明:设5=+m DS =D(s +n)=ds +Dn+2 cov(s, n) =2±2pEn 2(1土pn)≥0 1±pn≥0 1≤P切 ≤1|p切|s1
性质 1.任意两个随机变量的相关系数的绝 对值不超过 1，即 ≤ 1|| ρ ξη . 证明：设 ** += ηξζ )( ),cov(2 ** * * ** ∵ DD DD ±+=±= ηξηξηξζ 22 **ηξ = ± ρ = ± ρ ξη )1(2 ≥ 0. ≥± 01 ξη 相关系数的性质 ρ − ≤ ρ ξη ≤ 11 ≤ 1|| ρ ξη
性质2.P=±1的充要条件为:5与间“几乎处 处”有线性关系,即存在常数a(≠0)与b,使 1,a>0 P{=n+b}=1,且P a<0 证明:(1)必要性:设n=±1,令5=5千m,由于 D5=D(5m)=2(1P), 当n=±1时D=0。故P(=E5)=1,即 P5n2=0)=P(5E=+-E1 a=+ ,b=D后,就有 DE P(n=a5+b)=1
性质 2. = + 1 ρ ξη 的充要条件为：ξ 与η 间“几乎处 处”有线性关系，即存在常数 a ≠ )0( 与 b ， 使 {η = ξ + baP = 1} ，且 1, 0 1, 0 a a ρξη ⎧ > = ⎨⎩− < . 证明：(1)必要性：设 ρ ξη = + 1，令 ** = ∓ηξζ ，由于 )1(2)( ** = DD ∓ηξζ = ∓ ρ ξη ， 当 += 1 ρ ξη 时 Dζ = 0。故 ζ = EP ζ = 1)( ，即 ()0( 1) ** = − += − == η η η ξ ξ ξ ηξ D E D E P ∓ P 。 令 ξηDD a += ， ξ ξη η E DD Eb += 后，就有 η = ξ + baP = 1)(
2)充分性:设存在常数a,b,使P{=a5+b}=1, 由于“零概集”{≠a5+b}不影响期望计算,故 En=eas +6=aes +6, Dn= d(af +b)=aDs 注意到 c0v(2,m)=E(-E5)(-Em) E(-E)(a5-aE5)=aE(5-E5)2=aD5 cov(,n) aDS √D√ Dn D5 va2Dn 因此当a>0时pn=1,a<0时pn=-1
(2)充分性：设存在常数 a ,b，使 {η = ξ + baP = 1} ， 由于“零概集”{η ≠ ξ + ba }不影响期望计算，故 η = ξ + }{ = ξ + baEbaEE ， ξη DabaDD ξ 2 )( =+= 注意到 ξ η = ξ − ξ η − EEE η)))((),cov( =−=−−= aDEaEaEaEE ξξξξξξξ 2 )())(( ， a a DaD aD DD = = = ηξ ξ ηξ ξ η ρ ξη 2 ),cov( 。 因此当a > 0时ρ ξη = 1，a < 0时ρξη = −1
注意:随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量 之间的线性相关性。随机变量之间的线性相关 性就是:当一个变量增大时另一变量有按线性 关系增大(当b>0)或减小(当b<0)的趋势。 当相关系数愈接近1或-1时,这种趋势就愈明 显
注意：随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量 之间的线性相关性。随机变量之间的线性相关 性就是：当一个变量增大时另一变量有按线性 关系增大（当 b > 0）或减小（当 b < 0）的趋势。 当相关系数愈接近 1 或-1 时，这种趋势就愈明 显