四、连续型随机变量 乡连续型随机变量的概率密度 1)定义:如果对于随机变量X的分布函数F(x)存在 非负函数g(x),使对于任意实数x,x∈R, 有F(x)=」9(h,则称x为连续型随机变 量,其中,(x)称为X的概率密度函数。 2)性质:(1)(x)20; (2)0(x)t=1;
四 连续型随机变量 连续型随机变量的概率密度 四、连续型随机变量 连续型随机变量的概率密度 1)定义:如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)存在 非负函数 ϕ( ) x ，使对于任意实数 x, x ∈R， x 有 F x t dt ∫ ( ) () = −∞ ∫ ϕ ，则称 X 为连续型随机变 量，其中，ϕ( x) 称为 X 的概率密度函数。 2)性质： (1)ϕ( x) ≥ 0 ; (2) ϕ(x)dx = ∞∫ (2) ϕ 1; ( ) −∞ ∫ ;
3已知概率密度求分布函数 P, sX<x,=F(x2)-E(xi= o(x) dx 4)已知分布函数求概率密度: 若(x)在点x处连续,则F(x)=(x) 即0x)=1im F(x+△x)-F(x)=lN P(x<X≤x+△x △x △x 当△x→>0时,P(x<X≤x+△x)≈0(x)x=F(x)x 即X落在区间(x,x+△x]上的概率近似地等于以(x),△x
3)已知概率密度求分布函数 ∫ ≤ < = − = 2 { } ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 xx P x X x F x F x ϕ x dx ∫ . 1 x 4)已知分布函数求概率密度： 若ϕ( ) x 在点 x 处连续，则 Fx x ′() () = ϕ F(x + Δx) F(x) P(x < X ≤ x + Δx) 即ϕ( ) lim ( ) ( ) x F x x F x x x = + − Δ → Δ 0 Δ x P x X x x x Δ < ≤ + Δ = Δ → ( ) lim0 在 概率 似 等 当Δx → 0时，P(x < X ≤ x + Δx) ≈ϕ(x)Δx = F′(x)Δx 即 X 落在区间(x, x+Δx]上的概率近似地等于ϕ( ) x ⋅Δx
5)结论:(对连续型随机变量x,P{K=c}=0 (2)Pa≤X≤b)=Pa<xb)=Pa≤X<b) Pa<x<b)=F(b) -f(a) (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数。 连续型随机变量与离散型随机变量的区别: 1由于连续型随机变量X是在一个区间内取值, 所以它的所有可能取值不能一一列举出来,因 而不能用分布律来描述它。 2)它在任一指定值的概率为0。即:P(X=c)=0
5)结论：(1)对连续型随机变量 对连续型随机变量 X ， P{X = c} = 0 ( ) 2 Pa X ( ≤ ≤b) = Pa X ( < ≤b) = P(a ≤ X <b) = P(a < X <b) = − Fb Fa () () (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数。 连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1)由于连续型随机变量 X 是在一个区间内取值， 所以它的所有可能取值不能一一列举出来，因 而不能用分布律来描述它。 2)它在任一指定值的概率为 0。即： PX c ( ) = = 0
例1.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设 射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离, (1)试求随机变量X的分布函数F(x);(2)将靶 的半径10等分,若击中点落在以0为中心,内外径 分别为2及反10x2的圆环内,则记为(0 环,求一次射击得到(10-)环的概率(=01 @
例 1.一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设 射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离， （1）试求随机变量 X 的分布函数F(x)；（2）将靶 的半径 10 等分，若击中点落在以 0 为中心，内外径 1 分别为 2 10 × i 及 i + × 1 10 2 的圆环内，则记为( ) 10 − i 环，求 次射击得到 求一次射击得到(10 − i)环的概率(i = 0,, , 1 L 9)
解:(1)求F(x) 当x<0时,X≤x是不可能事件, ()=PX5x=0 当0≤x≤2时, F(x)=P(X≤x=PX<0+P0≤X≤x 0+km2=k2 P{0≤X≤2}=k:22=4k丌 gX≌2是必然事件因此P0sX21 即4kz=1,k x F(x)= 当x>2时,X<x是必然事件,4 4丌° F(x)=P{X≤x}=1 X< F(x) 0<x<2 x>2
解：（ 1）求 F ( x ) 当 x < 0时， X ≤ x是不可能事件，则 x 2 F ( x ) = P { X ≤ x } = 0 当 0 ≤ x ≤ 2时， F(x) = P{X ≤ x} = P{X < 0} + P{0 ≤ X ≤ x} 2 2 = 0 + kπx = kπx P { 0 X 2 } k 2 4 k 2 P { 0 ≤ X ≤ 2 } kπ 2 4 kπ 2 ≤ ≤ = ⋅ = 而 0 ≤ X ≤ 2是必然事件，因此， P{0 ≤ X ≤ 2} = 1 1 k ( ) 2 x 即 4 kπ = 1 ， F 4 π k = 。 4 ( ) x ∴ F x = 当 x > 2 时， X x < 是必然事件， F ( x ) = P { X ≤ x } = 1 ⎧ < ⎪⎪ 0 0 , x 2 ∴ = ≤< ≥ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪ F x x () , x 4 0 2 1 2 2 ≥ ⎩ ⎪ ⎪ 1, x 2