多维随机变量 独立性 边际分布 条件分布 F(X,Y= F(xF(y
多维随机变量 边际分布 条件分布 独立性 F(x,y)= F(x)F(y)
三、二维随机变量的 数字特征
三、二维随机变量的 数字特征
1、二维随机变量的数学期望和条件数学期望 二维随机变量(, 离散时,用联合分布列P(5=x;,7=y)=P7表示; 连续时,用联合密度函数p(x,y)表示。 设随机变量函数5=∫(5,m),其数学期望定义为: 1离散:E=∑∑f(x,) 2连续:Ez=。(x,mx,y)d 要求满足级数求和或积分绝对收敛的条件
1、 二维随机变量的数学期望和条件数学期望 二维随机变量(ξ ,η) 离散时，用联合分布列 i j pij P(ξ = x ,η = y ) = 表示； 连续时，用联合密度函数 p( x, y)表示。 设随机变量函数ζ = f (ξ ,η) ，其数学期望定义为： 1.离散： = ∑∑ i j i j pij Eζ f (x , y ) 2.连续： ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ Eζ = f (x, y) p(x, y)dxdy 要求满足级数求和或积分绝对收敛的条件
1)离散型随机变量的数学期望 E5=∑∑x1P0=∑x∑n=∑x ● E7=∑∑P=∑∑P=∑n 2)连续型随机变量的数学期望 E xxy)d=xd小p(xy)d 0-00 ∫ xp(x)dx En= ∫。-y(x,)d=。yym(x,ydk +0 ypn(y)dy
= ∑ ∑ i j Eξ xi pij = ∑ ∑ j ij i xi p = ∑ ∑ i j j pij Eη y = ∑ ∑ i ij j y j p = ∑ i• i i x p j j j y p =∑ • dxd 1）离散型随机变量的数学期望 E xp(x, y) y ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ξ = xdx p(x, y)dy ∫ ∫+∞−∞ +∞−∞ = xpξ (x)dx ∫ +∞−∞ = 2）连续型随机变量的数学期望 E yp(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ η = ydy p(x, y)dx ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = yp ( y )dy ∫ η +∞− ∞ =
数学期望的性质 性质1.E(a5+bm)=uE5+bEη,这里a,b是常数 证明:1)离散 E(5+bm)=∑∑ax1+b,)n a∑xp1+b∑y xi pit b Pi=aES +bEn 2)连续 E(n5+bn)=「(ax ux+ byplx, y)dxdy +oO +0 =a「p(x,y)cb”」p(x,y)th aES+ bEn 推论1.E(∑5)=∑aE5
性质 1. E(aξ + bη) = aEξ + bEη ，这里 a，b 是常数. 证明：1）离散 + = ∑∑ + i j i j ij E(aξ bη) (ax by ) p = ∑∑ + i j i ij a x p ∑∑ i j j ij b y p = aEξ + bEη 2） 连续 E(a b ) (ax by) p(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ξ + η = + a xp(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = b yp(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ + = aEξ + bEη 推论 1. ∑ ∑ = = = n i i i n i E ai i a E 1 1 ( ξ ) ξ 数学期望的性质