第三章数基本逼近(二 最生逼近 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
1 上一页 下一页 第三章 函数基本逼近(二) ------最佳逼近
仍然是已知x1…,xm;1 ·°Jm9 求一个简单易 算的近似函数P(x)≈f(x) 9②本身是测量值,不准确,即≠∫(x) ④m很大 这时没必要取P(x)=y,而要使P(x)-y总体上尽可能小 常见做法:不可导,求解困难太复杂⑧ >使 max P(x)-y 1<ism J/* minimax problem */ >使∑P(x)-刀最小 >使∑P(x)-n1最小 ast-Squares method copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
2 上一页 下一页 仍然是已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易 算的近似函数 P(x) f(x)。 但是 ① m 很大； ② yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi ) 这时没必要取 P(xi ) = yi , 而要使 P(xi ) − yi 总体上尽可能小。 常见做法： ➢ 使 最小 /* minimax problem */ max | ( ) | 1 i i i m P x − y 太复杂 ➢ 使 最小 = − m i i i P x y 1 | ( ) | 不可导，求解困难 ➢ 使 最小 /* Least-Squares method */ = − m i i i P x y 1 2 | ( ) |
§1最小二乘拟合多项式/ L-S approximating polynomials 确定多项式P(x)=an+ax+…+axn,对手一组数 据(x,y)(=,2,…,m使得g=∑P(x)-y达到极小, i=1 这里n<<m 9实际上是a2 q(a0,1, 法方程组(或正规方程组) normal equations"/ 在P的极值点Nva2小刚 2∑|P(x1)-yl aP(i) da =2∑ i=1 k 21∑a∑x-∑ 0+0 0+n 0 记=∑x,C=∑x國 i=1 n+0 n+n n copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
3 上一页 下一页 §1 最小二乘拟合多项式 /* L-S approximating polynomials */ 确定多项式 ，对于一组数 据(xi , yi ) (i = 1, 2, …, m) 使得 达到极小， 这里 n << m。 n n P(x) = a + a x + ... + a x 0 1 = = − m i i i P x y 1 2 [ ( ) ] a0 a1 an 实际上是 a0 , a1 , …, an 的多元函数，即 [ ] = = + + + − m i i n a a an a a xi an xi y 1 2 0 1 0 1 ( , , ... , ) ... 在 的极值点应有 k n ak = 0 , = 0, ... , k i m i i i k a P x P x y a = − = = ( ) 0 2 [ ( ) ] 1 k i m i n j i j a j xi y x = = = − 1 0 2 [ ] = − = = = + n j m i k i i m i j k aj xi y x 0 1 1 2 记 = = = = m i k k i i m i k bk xi c y x 1 1 , = + + + + n n n n n n c c a a b b b b . . . . . . ... . . . . . . . . . ... 0 0 0 0 0 0 法方程组(或正规方程组) /* normal equations */
定理LS拟合多项式存在唯-(m<m 4 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
4 上一页 下一页 定理 L-S 拟合多项式存在唯一 (n < m)
定理m-c的解确实是的极小点,即设为解,则任 b=(b0b1…bn)7对应的多项式F(x)=∑bx必有 q(a)=∑|P(x)-y2≤∑[F(x1)-y;2=q(b) 证明:9(b)-q(a=Σ|F(x)-yf2-Σ|P(x)-y2 i=1 ∑[F(x)-P(x1)+P(x)-y2-∑[P(x1)-y i=1 =∑(x)-P(x)+2F(x)-P(x(山x)-l i=1 注: L-s method首先要求设定P(x)的形式。若设 n=m-1,则可取P(x)为过m个点的m1阶插值多 项式,这时p=0 矿P(x)不一定是多项式,通常根据经验确定。 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 下一页
5 上一页 下一页 定理 Ba = c 的解确实是 的极小点。即设 a 为解，则任 意 b = (b0 b1 … bn ) T 对应的多项式 必有 = = n j j F x bj x 0 ( ) = = = − − = m i m i a P xi yi F xi yi b 1 1 2 2 ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) 证明： = = − = − − − m i i i m i b a F xi yi P x y 1 2 1 2 ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] = = = − + − − − m i i i m i F xi P xi P xi yi P x y 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ] = = = − + − − m i i i i i m i F xi P xi F x P x P x y 1 1 2 [ ( ) ( )] 2 [ ( ) ( )][ ( ) ] 0 注： L-S method 首先要求设定 P(x) 的形式。若设 n=m−1，则可取 P(x) 为过 m 个点的m−1阶插值多 项式，这时 = 0。 P(x) 不一定是多项式，通常根据经验确定