两维期望、方差、协方差的定义 两维期望、方差、协方差的性质
两维期望、方差、协方差的定义 两维期望、方差、协方差的性质
3、矩与相关系数 设k为正整数,ξ为随机变量,如果下面的数学 期望存在,则 1)称k=E(5)为5的k阶原点矩; 2)称v=E(5-E5)为5的k阶中心矩. 例如:一阶原点矩就是数学期望, 二阶中心矩就是方差
3、矩与相关系数 设 k 为正整数， ξ 为随机变量，如果下面的数学 期望存在，则 1) 称 )( k k = E ξμ 为 ξ 的 k阶原点矩； 2) 称 k k −= EEv ξξ )( 为 ξ 的 k阶中心矩 . 例如：一阶原点矩就是数学期望， 二阶中心矩就是方差
例1试求正态分布N(,a2)的各阶中心矩与原点矩。 解:设k为正整数,点~N(A,a2),则k阶中心矩为 =E(-E)=E(5-) dx 2丌 引进标准化变换2=y k为奇数 g Kye 2 dy=3 2[+oo_ 2丌 ay^e2d’k为偶数 2丌
例 1 试求正态分布 ),( 2 N σμ 的各阶中心矩与原点矩。 解：设k 为正整数， ),(~ 2 N σμξ ，则k 阶中心矩为 k k k EEEv −=−= μξξξ )()( ∫ ∞+∞− − − = − dxex x k 2 2 2)( )( 21 σμ μ σπ 引进标准化变换 y x = − σ μ 为偶数 为奇数 k k dyey v dyey y kk y kk k , 2 2 0 2 1 0 2 2 2 2 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = ∫ ∫ ∞+ − ∞+∞− − σ π σ π
利用x2(k+1)的密度规范性: k+1 k+1 k+1 丌 k+1k-1k-3、1 注意到() )()…(=r( 2 故Vk (k-1) (k-l!o 综上所述 k为奇数 (k-1)!l k为偶数
利用 )1( 2 χ k + 的密度规范性： k k k k k k k v σ π σ π ) 2 1 (2 2 ) 2 1 (2 2 2 1 + Γ = + Γ = + 注意到 ) 21() 21() 2 3 )( 2 1 () 2 1 ( Γ −− = + Γ " kkk 故 k k k k k v σπ σ π !)!1( !)!1( −= − = . 综上所述 为偶数 为奇数 k k k vk k , !)!1( 0 ⎜⎜⎝⎛ − = σ
注意到k=1时4=E=4 当k>1时,原点矩为 k =E=∑:-E)(E5) i=0
注意到k =1时μ1 = Eξ = μ 。 当k >1. 时，原点矩为 i ik k i k k EEE i k E − = ⋅− ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ == ∑ )()( 0 ξμ ξξξ ik i k i v i k − = ∑ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = μ 0