第六章矩阵特征值问题的解法 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
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给出A=(a)n.若有元使得: Ax=x,x≠0 则称λ为矩阵A的特征值,x为相应的特征向量。 特征值为特征方程的根 det(a-10=0 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
2 上一页 下一页 给出 A = (aij) nn .若有 使得： Ax = x, x 0 det(A− I) = 0 则称 为矩阵 的特征值, 为相应的特征向量。 特征值 为特征方程的根。 A x
若干结果 OC copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
3 上一页 下一页 若干结果: 第六章1.doc
特征值的估计与扰动问题 >特征值的估计 D(4)={z∈c:z-an|∑|an=A},i=1,2,…,n 称之为 Gerschgorin圆盘(盖尔圆) 定理( Gerschgorin圆盘定理) 设A=(an)mx为n阶实方阵,则A的任一特征值必落 在的某个 gerschgorin圆盘之中 4 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
4 上一页 下一页 特征值的估计与扰动问题 ➢ 特征值的估计 ( ) { :| | | | }, = − = j i i ai i ai j i D A z c z i = 1,2, ,n 称之为Gerschgorin圆盘（盖尔圆）. （Gerschgorin 圆盘定理） 设A = (aij)nn 为n阶实方阵,则 在的某个Gerschgorin圆盘之中. A 的任一特征值必落 定理
定理(第二圆盘定理) 设A为n阶实方阵,如果A的k个 Gerschgorin 圆盘与其他圆盘不相连,则恰好有A的k个特征 值落在该k个圆盘的并集之中,即: k S=∪D.,T=∪D j=1 j=k+1 19k ,k+1,…,in}为{1,2,…,}的一个重新排 列,S∩T=①,则S中含有A的k个特征值 特别地:孤立圆盘仅含有一个特征值 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
5 上一页 下一页 定理（第二圆盘定理） 设 为 阶实方阵，如果 的 个Gerschgorin 圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有 的 个特征 值落在该 个圆盘的并集之中，即： A A n A k k k , 1 j i k j S D = = j i n j k T D = +1 = 特别地：孤立圆盘仅含有一个特征值. 为 的一个重新排 列, , 则 中含有 的 个特征值. {1,2, ,n} S T = S A k { , , , , , } 1 k k 1 n i i i i +