例3在曲面 a√x+b√y+c√z=1(a>0,b0,c0)(1) 上作切平面,使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 最大,求切点的坐标 解设P0(x0,y02z)为曲面上任一点(其中x>0,y>0,z0>0), 曲面在P点的切平面方程为 b (x-x0)+=(y-y0)+ (z-0)=0(2) 0 2√yo VGO 因P在曲面上,即a√x0+bx/0by≠、c,=1 将它代入(2)式,可化切平面方程为, 0 J V≤0 因此,切平面与三坐标面所围成的四面体的体积=VX0y0 6abc
例 3 在曲面 a x + b y + c z = 1 (a>0, b>0, c>0 ) (1) 上作切平面，使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 最大，求切点的坐标． 解 设 P0(x0,y0,z0)为曲面上任一点（其中 x0>0，y0>0，z0>0）， 曲面在 P0点的切平面方程为 ( ) 0 2 ( ) 2 ( ) 2 0 0 0 0 0 0 − + − + z − z = z c y y y b x x x a (2) 因 P0在曲面上，即 a x0 + b y0 + c z0 = 1， 将它代入(2)式，可化切平面方程为， 1 0 0 0 + + z = z c y y b x x a 因此 ,切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 abc x y z V 6 0 0 0 =
于是问题转化为求函数u=xyz(x>0,y>0,z>0)在条件(1) 下的最大值问题 令F(x,y,z)=xyz+λ(a√x+b√y+c√z-1),解方程组 x= yz 2:=0,p 入a 入b 入c =xz+ g F,=xy+ 0 0 a√x+b√y+c√z-1=0(3) 可得ax=by,by=c√z代入(3)式得唯一解 (x,y,z)=( 9 2 9b29c 依题意,满足所给条件的最大体积一定存在,故在该点达到 最大值
于是问题转化为求函数 u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件(1) 下 的最大值问题. 令 F(x,y,z)=xyz＋( a x + b y + c z − 1)，解方程组 0 2 , 2 0, 2 0 = = + = = + = + z c F xy y b F xz x a F yz x y z a x + b y + c z − 1 = 0 (3) 可 得 a x = b y, b y = c z 代 入（3）式得唯一解 ) 9 1 , 9 1 , 9 1 ( , , ) ( 2 2 2 a b c x y z = 依题意，满足所给条件的最大体积一定存在，故在该点达到 最大值．
例4求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-2z=2 之间的最短距离 解设P(x,y,z为抛物面z=x2+y2上任一点,则 P到平面x+y-2z-2=0的距离为d, x+y-2z-2 分析:本题变为求一点P(x,y,z),使得x,y,z 满足x2+y2-z=0且使d 6A+p-2 即d2=(x+y-2z-2)2)最小
之间的最短距离． 求旋转抛物面 与平面 2 2 2 2 例4 z = x + y x + y − z = 解 2 2. 6 1 2 2 0 , ( , , ) , 2 2 = + − − + − − = = + d x y z P x y z d P x y z z x y 到平面 的距离为 设 为抛物面 上任一点 则 分析: 即 最小． 满足 且使 本题变为求一点 ，使得 ( 2 2) ) 6 1 ( 2 2 6 1 0 ( , , ) , , 2 2 2 2 = + − − + − = = + − − d x y z x y z d x y z P x y z x y z
令F(x,y,z)=(x+y-2z-2)2+4(z-x2-y2),得 (x+y-2x-2)-2Ax=0, (x+y-2z-2)-2y=0 3 F2=(x+y-22-2)(-2)+z=0, z=r ty, 解此方程组得x=,y=,z
( 2 2) ( ), 6 1 ( , , ) 2 2 2 令 F x y z = x + y − z − + z − x − y = + = + − − − + = = + − − − = = + − − − = , (4) ( 2 2)( 2) 0, (3) 3 1 ( 2 2) 2 0, (2) 3 1 ( 2 2) 2 0, (1) 3 1 2 2 z x y F x y z z F x y z y F x y z x z y x . 8 1 , 4 1 , 4 1 解此方程组得 x = y = z = 得
即得唯一驻点 448 根据题意距离的最小值一定存在,且有唯 驻点,故必在 )处取得最小值 48 1111 十 2 46
. 4 6 7 2 4 1 4 1 4 1 6 1 dmin = + − − = ), 8 1 , 4 1 , 4 1 即得唯一驻点 ( 驻点，故必在 处取得最小值． 根据题意距离的最小值一定存在，且有唯一 ) 8 1 , 4 1 , 4 1 (