例1求=++在点M(xn,n,)处沿点 b 的向径r的方向导数,问a,b,c具有什么关系时 此方向导数等于梯度的模? 解 05 Vo,%0 +y2+a, cosa=i, cos B=l, cosy= 在点M处的方向导数为 auau M OrIM cos a+ dlM coS B+ M cosy z
解 ?, , ( , , ) 0 2 0 0 0 2 22 22 此方向导数等于梯度的模 的向径 的方向导数，问 具有什么关系时 求 在点 处沿点 r a b c M x y z cz by ax 例 1 u = + + , , , , 20 20 2 r0 = x0 y0 z0 r0 = x0 + y + z cos , cos , cos . 00 00 00 rz ry rx = = = 在点 M 处的方向导数为 cos cos cos 0 M M M M zu yu xu ru + + =
2xax。2 十 (2+2+-2) b2 c auto 十y+ 在点M处的梯度为 g M ax i+j+。mk z 2. 2 ==0i+
0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 2 2 r z c z r y b y r x a x = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 c z b y a x r = + + . 2 ( , , ) 2 0 2 0 2 0 0 0 x0 y z u x y z + + = 在点 M 处的梯度为 k z u j y u i x u gradu M M M M + + = , 2 2 2 2 0 2 0 2 0 k c z j b y i a x = + +
radu.=21-0+0+ a b c 2 当a=b=c时, graduM a tyta 0 2 (x2+y2+x 0 n xo t yo tz xo t % O M 故当a,b,c相等时,此方向导数等于梯度的摸
2 , 4 2 4 2 4 2 0 0 0 c z b y a x gradu M = + + 当a = b = c时, , 2 2 2 2 2 0 0 0 x y z a gradu M = + + , 2 ( ) 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 x y z x y z a x y z a r u M = + + + + + + = , 0 M M gradu r u = 故当a,b,c 相等时,此方向导数等于梯度的模
例2证明函数z=(1+e)cosx-ye有无穷多个极大值, 但无极小值。 证明:zx=(1+e)(-inx),2y =e cosc-e e Gsin x)=0, (cosx -1-y)=0 驻点(2n,0),(2n+1)z,2) Z=(1+e)(-c0sx),2m ecosx-e'-e'-ye' Zxy=e(sin x) 在(2m,0)处,AC-B2=2>0且4=-2<0 在(2n,0)处(n=0±1,±2…)函数取得极大值。 在(n+1)z,2)处AC-221+∠0 、(2n+1)兀,2)不是极值点,函数没有极小值
但无极小值。 例2 证明函数Z = (1+ e y )cos x − ye y 有无穷多个极大值， y y y y y x 证明：Z = (1+ e )(−sin x), Z = e cos x − e − ye (−sin x) = 0，(cos x − 1− y) = 0 驻点(2n ,0),((2n + 1) ,−2) y y y y yy y xx Z = (1+ e )(−cos x), Z = e cos x − e − e − ye Z e ( sin x) y xy = − (2 ,0) , 2 0 2 0 2 在 n 处 AC − B = 且A = − 在(2n ,0)处(n = 0,1,2)函数取得极大值。 0 1 ((2 1) , 2) 4 2 2 + + − − = − e e 在 n 处 AC B ((2n + 1) ,−2)不是极值点，函数没有极小值
(1)求解极值应用题时,先要建立目标函数.有时,为 简化计算,可用较简单的函数代替原来的目标函数,但 xyz 必须保证两函数有相同极值点.例如 6abc 可用xyz代替; 2 2,2可用x+y+x代替(前者为最大,对后者 x +ytz 为最小);ax+b+c可用(ax+by+cl}代替等.但求最值 时,必须用原来的函数求出; (2)若从实际问题可断定函数的最值存在,又函数的 可能极值点唯一,则函数必在该点取得最大(小)值
（1）求解极值应用题时，先要建立目标函数．有时，为 简化计算，可用较简单的函数代替原来的目标函数，但 必须保证两函数有相同极值点．例如 abc xyz 6 可 用 xyz 代替； 2 2 2 1 x + y + z 可 用 2 2 2 x + y + z 代替（前者为最大，对后者 为最小）； a x + by + c 可用 2 (ax + by + c) 代替等．但求最值 时，必须用原来的函数求出； （2）若从实际问题可断定函数的 最值存在，又函数的 可能极值点唯一，则函数必在该点取得最大（小）值．