★已知三角形的两边和一边对角，如何用正弦定理来确定三角形的个数，既是难点，也是易混淆点，教师要根据学生实际情况，进行符合学生认知规律的讲解，例4中求得正弦值大于1，与三角函数有界性相矛盾，显然无解。如果学生的基础较好，教学时可以进行如下拓展如下图所示，若满足A-30，b=4，a=m（m>0）的△ABC存在，求m的取值范围D解：如图，过C作CDLAB于D，则CD=bsin30-2因为符合条件的三角形存在，所以BC≥CD，即m≥2.解决此问题时，要考虑到数形结合，★例5证明的基本方法是边角互换。解决此类问题需要结合题目本身特点，化边为角或化角为边，教师可在此题的基础上增添判断三角形形状的题目，根据学生实际决定补充题的难度，供参考的题目如下，已知在△ABC中，a.tanB=b”·tanA，判断△ABC的形状解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，因此(2Rsin A),sin B(2Rsin B),sin AcOsBCOSA即sinAcosA=sinBcosB，化简得sin2A=-sin2B因为0<A<元，0<B<元，所以2A=2B或2A十2B元，即A=B或A+B=，2因此，△ABC为等腰三角形或直角三角形★例6是内角平分线定理的证明教师首先要引导学生在三角形中找到有关线段，如BD，AB都在△ABD中，而DC，AC都在△ADC中：其次分析这两个三角形的边角关系比：最后根据正弦定理给出证明此题还可以通过面积公式或者平面几何的知识进行证明，1第九章解三角形15
探索与研究b在正弦定理中，设一k：研究常数与ABC外接固的半sinAsinBsinC径的关系，（提示：先考虑直角三角形）练习A0在△ABC中，已知c-10，C一45，B60°，通过构造直角三角形求出b的值@已知ABC中.A=60°B-30°a-3.求b@求证：在△ABC中，sinA+sinB_a+6sin Cc为了方便起见，有时可对三角形的边和角作一些标记，以表示其中的相等关系，如图（I)中，AB与AC上的标记相同，这表示AB=AC.类似地，有BC=CD，ZABC=/ACB，ZCBD-ZCDB，而且A=70，BD=10.图（2)（3)（4)中使用了类似的标记，判断这些图中是否存在矛盾。如果有，请指出矛盾所在。106.4070°71CBL图（1)图(2)图(3)图（4)@已知△ABC中.A=45%B=75°.b=8.求a.?练习B0在△ABC中，已知a=-36=4.A=30°求sinC.在△ABC中，已知b=2a，B=A+60%，求A在△ABC中.已知a-1.b=3，A+C-2B，求sinC.如果在△ABC中，角A的外角平分线AD与BC的延长线相交于点D，求证：BDABDC"AC.5已知△ABC中，a=3，b=2/6，B=2A，求sinB及c的大小21.5V6鄂聘60°120°B45°135°lbsin C19.1正获定理与余弦定理16「普通高中教科书：教师教学用书数学（B版）必修第四册子
“探索与研究”参考答案为：常数K等于△ABC外接圆半径的2倍r练习A1.6-5/6.2.6=/3.3.提示：利用正弦定理证明4.图（2）（3）（4）中均存在矛盾5.a=8/3-8.练习B2/3±/51.sinC=62.A=30°3. sin C=1.4.如图，设/CAD=α，ZBAC-β，则在△ABD中有BDABsin(β+a)sinDCBDsina又因为2a+β=元， sin(a+β)=sin(-a)=sin ，所以器DCACDCBDABsina由DO-AD可得C-SD所以DC=AC:同理，在△ACD中，由5. sin B=2/23，=5.名版17第九章解三角形！
9.1.2余弦定理（@）情境与问题1利用如图9-1-6（1)）所示的现代测量工具，可以方便地测出3点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角。(1)(2)图9-1-6例如，如图9-1-6（2）所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及ZACB的大小。你能根据这3个量求出AB吗?情境中的问题可以转化为：已知a，b和角C，如何求c？类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，也可以借助向量来求解，如图9-1-7所示，注意到[CA/=b,ICB=a,CA,CB)-所以CB.CA=CBIICA/cos(CA.CB)=abcosC.面耳AB-CB-CA，因此AB1=ICB-CA1=CB°-2CB-CA+ICA=a2abcosC+b°又因为|AB/=C，因此图9-1-7ca+b-2abcosC.类似地，可得a-62+c-2bccosA.6b-+a-2cacosB.这就是余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍9第九章 解三角形18「普通高中教科书教师教学用书数学（B版）必修第四册子
★本小节教材的呈现方式与正弦定理一节类似，均经历了实例引入一数学抽象一合作探究证明定理一定理应用的过程，有利于学生进行类比学习，更快地进入余弦定理的探究学习★“情境与间题”中根据实际情境提出问题，引导学生使用测量仪器测出两角及其夹角，用余弦定理解决该问题★教师可以引导学生用多种方法推导余弦定理，如几何法、坐标法等。对学有余力的学生可以引导其进行更深入的探究：正弦定理与余弦定理的证明方式很相似，那能否用正弦定理证明余弦定理呢？参考的证明方式如下，ba证明：设仅sinA=sin BsinC=2R，则有a-2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.因此a=4Rsin?A=4Rsin(B+C)=4R(sinBcosC+cosBsin'C+2sinBsinCcosBcosC)=4R(sin?B(1-sinC)+(1-sin*B)sinC+2sin BsinC[cos(B+C)+sin BsinC))=4RsinB+4RsinC+8RsinBsinCcos(B+C)=6+c+2(2RsinB)(2RsinC)cos(180°-A)=6+c-2bccosA.同理可证6=c+a-2cacosB，c=a2+62-2abcosC.饭1941第九章解三角形