#15/34S=absinC=X5×3Xsin2243可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时都成立：而当C为钝角时，如图9-1-3所示，仍设AABC的BC边上的高为AD，则可知AD-bsin/ACD-bsin(元-C)-因此仍有S=absin C；当C为直角时，由图9-1-3sin90°-1可知上述面积公式仍成立一般地，若记ΛABC的面积为S，则absinCacsinBSbesinA.2SsinCsinBsinA由此可知又因为sinA>0.sinB>0.babeCasinC>o，因此可得baC育sinAsinBsinC这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等已知△ABC中.B=75°.C=-60%，a=10求c.例解由已知可得A-180°-B-C-180°-75°-60°=45°.qC由正弦定理可知sinA sinC所以C=asinC_10sin60%-2sinAsin45°利用例1的解法即可求解出前述情境中的问题，而且，例1也可通过构造直角三角形求解，请读者自行尝试，并总结两种解法各自的优缺点。另外，由例1可知，在一个三角形中，如果已知两个角与一条边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边。因此，确定了一个三角形的两个角与一条边之后，这个三角形就唯一确定了，事实上，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形例2已知△ABC中，4=2.b=2/3，A=30°，求解这个三角形.①①即求二角形中未知的元素，下同，4第九章 解三角形10「普通高中教科书教师教学用书数学（B版）必修第四册
文三角形面积公式的记忆方法：三角形相邻两边与其夹角正弦乘积的一半教材由三角形面积公式的恒等变形得到正弦定理，这种证明水到渠成，易于学生理解，符合学生的认知规律。对于正弦定理，教师可引导学生从图形语言、文字语言和符号语言三个方面进行理解.关于正弦定理的证明，除了教材提供的方法之外，教师还可以选择性地向学生介绍一下其他方法，例如，构造直角三角形，利用三角形的外接圆，坐标法，等等★正弦定理反映的是三角形的边角关系，在具体应用时，一般写成以下形式ba-bCCasinAsinBsinBsinCsinCsin A还可以进行以下变形sinA:sinBisinC=atbtc,bCsinBsinA=-sin Csin A,a=acb=sinB-sin CsinB,sinA6esinAsinC-sin Bsin C.C教师还可以引导学生复习与三角形边、角相关的常用关系，例如：（1）内角和等于元；（2）大边对大角，大角对大边；（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边★例1是正弦定理的直接应用，教师可让学生自行求解。若学生用构造直角三角形求解，可以引导其分析两种方法的优缺点：此题是已知三角形的两角及一边，求第三边，因为三角形已经确定，一定有唯一解：教师可以引导学生回顾初中所学的三角形全等的判定定理ASA（或AAS），还可以照应开头，解决“情境与问题”中提出的问题1第九章解三角形三会
ba因为sin B·所以解福sinA2V3Xsin B_bsinA2V3=22:a由于0°B<180，所以B-日或B-0当B=60°时，有-AB=180°-30°-60°=90%,C=180°此时△ABC是直角三角形，且为斜边，从而有C-Va+6-2+(2V3）=4当B=120°时，有C-180°-A-B-180°-30°-120°-30%此时△ABC是等腰三角形，从而由等角对等边可知C=0=2.根据例2的解答可知：图9-1-4中的（1）（2）都满足例2的条件，事实上，这与我们初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一致R2V32V3(1)(2)图9-1-4例3已知△ABC中，b=3/6，e=6，B=120，求A，C及三角形的面积。bC解sinBsinc得由6+13V22sin C_csinB2:b3/6或C-回由于0<C<180%所以C-日当C=45°时，A-180°-B-C-180°-120*-45=15%而32tV6-V21sin15°=sin(60°-45)2+24所以三角形的面积为S9.1正定理与余弦定理12「普通高中教科书：教师教学用书数学（B版）必修第四册
★解三角形是正弦定理的重要应用，例1回顾了三角形全等的判定定理，但SSA不能作为三角形全等的判定定理，这一点具体可通过例2体会，例2、例3、例4都是两边及一边的对角，此时三角形形状不确定，所以解的个数不确定，教师要注意引导学生发现两解、一解、无解的情况，题中最终有几个解是由已知条件所确定的，明确所求角的范围是解题的关键。值得教师注意的是，在培养学生的发散思维的同时，也要落实好一题多解的作答规范.对学有余力的学生，可以进一步探究三角形解的个数的确定因素，例如，通过尺规作图法得到判定条件，供参考的作法如下（1）A为锐角时的情况a<bsinA无解a=bsinA或a>b唯一解b>a>bsinA两组解（2）A为直角或钝角时的情况.a>b唯一解a<b无解-/2★例3中，求出sinC-可以采用教材中的解法，也可根据已知条件B=120，得到0<2后，C<60°，因此C=45°丨第九章解三角形丨13
2×3/6×6×/6-/2_27-9/3SbcsinA=42当C=135°时，A=180°-B-C-180-120°-135%--75%不合题意，应舍去，例3中的C=135°不可能成立，也可从6>c，B=120°以及“大边对大角”看出。例4判断满足条件A30°，a=1,=4的△ABC是否存在，并说明理由9c解假设满足条件的三角形存在，则由sinAsin 可知sin C_csin A_4sin 30°=2.1a又因为sinC≤1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形★例5在AABC中，已知sinA十sinB=sinC，求证：ABC是直角三角形6ca证明设AsinB=sinC=k，则半0，且sinA6asin A-k.sin B=ksinC-人又因为sinA十sinB=sinC，所以abe原十厦即+6=，因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形例6如图9-1-5所示，在△ABC中，已知.ZBAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求BDAB证：BD-AC.D证明如图，设ZADB=α，ZBAD=B、则由题意可知ZADC元一α，/CAD=B.图9-1-5在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定饭理，可得BDABsinsinaDCAcACsinβsin(元—α)sin&'BDAB两式相除即可得DCAC6第九章 解三角形14「普通高中教科书教师教学用书数学（B版）必修第四册子