从余弦定理可以看出，已知三角形两边及其夹角，可以求出该三角形的第三边，例1在ABC中，已知a=3b=6，C=60°，求c解由余弦定理可知c=a+6-2abcosC=3+6-2×3×6×cos60°=27,因此c日从例1可以看出，已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS一致例2在△ABC中，已知a=6.b=4，c=2/7，求C.解由=a+6-2abeosC可得(2/7)63+4-2X6X4cos.C,1可解得cosC=2又因为0<C<180°，所以C-B由例2可以看出，已知三角形的3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致.事实上：余弦定理可以改写为如下形式62+c-aCOSA2be+a-6cOsB=2cacosC_a*+632ab例3在△ABC中，已知acosA=bcosB，试判断这个三角形的形状利用余弦定理可知解b+-a=6x4+c-63ax2bc2ac因此a"(b+c-a)=b(a"十c-b),即a2-6-a+6=0.从面（ab3)c-（a-6)（a+6)=0所以(a-6)(c-a-6)=0.因此a-6-0或-a-6-0.当a-6=0时，a=b，此时ABC是4三角形：o9.1正获定理与余弦定理20「普通高中教科书：教师教学用书数学（B版）必修第四册
★例1中，已知两边及夹角，求第三边，三角形唯一确定，所以有唯一解，这与初中所学的三角形全等的判定定理SAS一致.在利用余弦定理求边长时，有时会因为定理使用不当而产生增根，教学时教师应关注这一点对于学有余力的学生，教师可以通过补充例题，帮助学生理解定理本质，已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形不一定能唯一确定，这与我们初中所学的SSA并不能作为三角形全等的判定定理是一致的，事实上，当角为较长边所对的角时，三角形唯一确定，★例2中，已知三边求解三角形，三角形唯一确定，所以有唯一解。这与初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致★例3还可以借助正弦定理等进行求解，参考的解法如下bC解：设设sinA=sin B=sinc=2R，有a=2Rsin A,b=2Rsin B.代人acosA=bcosB，得2RsinAcosA=2RsinBcosB所以sin2A=sin2B，因此2A2B+2k元或2A十2B-2k元十元，其中kEZ又因为A，BE（0，元），所以元A=B或A+B-2因此△ABC为等腰三角形或直角三角形教师可以引导学生总结三角形形状的判定方法，供参考的方法如下a2+62-c>0,R(1）锐角三角形：a+c2-6°>0，饭[62+c2-a">0.(2）直角三角形：a+6=c或a+c=b或62+c=a2(3）钝角三角形：a+b<c或a+c<b或6+c<a1第九章解三角形21
三角形当-a-6=0时，a+6=，此时ABC是故△ABC是等腰三角形或直角三角形.例3也可借助正弦定理得到结论，请读者自行尝试例4如图9-1-8所示平面四边形ABCD中，已知B+D=180°.AB=2BC=4V2.CD-4.AD2/5，求四边形ABCD的面积解连接点A，C，如图9-1-8所示，在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理B可得图9-1-8AC=AB+BC-2ABXBCcOsB,AC-AD*+CD?-2ADXCDcOSD.又因为B十D=180%所以cosD=cos（180°-B）=-cosB，因此22+（4/2）-2×2×4/2cosB=（2/5）+4+2×2/5×4cosB解得cosB=0，因此cosD=0，则B=D=回从而可知四边形的面积为1X2X4V2+1)+×4×2/5=4(/2+V5)例4说明，与平面多边形有关的问题，有时可以转化为三角形的问题来求解.例5在ABC中，求证：a=bcosC+ccosB.证明如图9-1-9所示，CB-CA+AB,因此CB.CB=(CA+AB)-CB=CA.CB+AB.CB图9-1-9又由图可知CB=a.CA.CB=bacosC,AB.CB=cacosB,所以abacosC+cacosB,即a=bcosC+ccosB.例5的结果也可用向量数量积的几何意义来解释，事实上，bcosC十CcOsB是CA，AB在CB上的投影的数量之和当然，由例5的方法同样可得bacos C+ccos A.c=acosB+bcos A.利用这些结果也可推导出余弦定理，请读者自行尝试10第九章解三角形22「普通高中教科书教师教学用书数学（B版）必修第四册
★利用例5的结果可证明余弦定理，参考的证明方式如下证明：由例5可知a-bcosC+ccosB，bacosC十ccosA，c=acosB+bcosA在三个式子的等号两边分别同时乘以a，b，c，可以得到a=abcosC+accosB,b=abcosC+bccosA,c=accosB+bccosA.将后两式整理代人第一式可得a2-63+c2-2bccosA或由a=bcosC+ccosB，可得a”=b"cosC+c"cosB+2bccosBcosC=b(1-sinC)+c(1-sinB)+2bc(cosBcosC-sinBsinC)+2bcsinBsinC=b+c+2bccos(B+C)-(bsinC-csinB)2=b*+c2-2bccosA.即得余弦定理a=62+c2—2bccosA同理可得6°=a+c-2accosB，=a+6-2abcosC.在教学的过程中可补充如下题目，帮助学生体会余弦定理的应用1.已知平行四边形ABCD，求证：AC2+BD=2（AB十AD）2.已知△ABC中，M为BC中点，求证：4AM+BC2=2（AB+AC2）参考答案为：1.设AD=a，AB=b，ZBAD=α在△ABD中，由余弦定理可知BD?=a?+6—2abcosα.同理AC2=a?+62-2abcos(元—α)两式相加可得AC+BD-2a+6)即AC2+BD-2(AB+AD).2.作CN//AB，与AM的延长线交于N.由第1题结论可知AN+BC2=2（AB+AC2)因为AN=4AM，所以4AM+BC=2(AB十AC）.23441第九章解三角形
包拓展消读泰九韶的“三科求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国“三斜求积术”中的“三斜”指三角形宋代的数学家秦九韶用实倒的形式提出的的三条边，面耳三条边从小到大分别称为（如图所示），其实质是根据三角形的三边长“小斜”“中斜”“大斜”秦九韶是用语言叙a，b，c求三角形面积s，述的相关公式，即：以少广求之，以小斜罪并大斜幕减中斜暴，余半之，自乘于上：以十6a-S2小斜暴乘大斜暴减上，余四约之，为实：一为从属，开平方得积。日事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下S-fcasmF1三百业秋尔育1led-cd'osB).特大特影城又因为cacosB一十a一5饭换，所以2可--[-(++--)].从而可知Ae-et-]S-2你能证明这个公式吗？练习AD已知△ABC，求证（1）若a十63二c，则C为直角：(2）若a+b>c则C为锐角：(3）若a+b2<c，则C为钝角已知AABC中，a=-10，b=5.C=120求c?已知△ABC中，a-66=4.c-2/7，求角C0已知△ABC中，a-3b=2.c=/19，求角C以及三角形的面积6在ABC中，已知a：b：c=3：4：5，试判断这个三角形的形状.练习B0求证：在△ABC中，有a+b+=2(bccosA+accosB+abcosC).?已知ABC中，a=2.c=/6，A=45求b及角C.119.1正获定理与余弦定理24「普通高中教科书：教师教学用书数学（B版）必修第四册