此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得到，具体过程请读者自行给出我们知道,常函数y=c与线性函数y=x都是连续函数，,故由四则运算性质，易知多项式函数P(x)=a, +a,x+L +a,x"也是连续函数后页邀回前页
前页 后页 返回 此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得 也是连续函数. 我们知道,常函数 与线性函数 都是 R 上 到, 具体过程请读者自行给出. 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
同理，有理函数P(x) a, +a,x+L +a,x"Q(x) b, +b,x+L +bmxm（分母不为零）同样是连续函数下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下是不变的若函数f(x）在点x,连续g(u）在点u定理4.5连续,u,= f(x,). 则复合函数g(f(x)在点x,连续巡回前页后页
前页 后页 返回 同理,有理函数 (分母不为零)同样是连续函数. 下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下 定理4.5 是不变的
证由于g(u)在点 u,连续,因此对于任意的 e>0.存在d,>0,当|u-u,/<d,时,有I g(u)- g(u,) /<e,又因为f(x)在点x,连续，故对上述d,>0，存在d>0,当/x-x,/<d 时,有I f(x)- f(x,)/=|u- u, /<d于是 g(f(x)- g(f(x, ))/=l g(u)- g(u,) / <e,后页巡回前页
前页 后页 返回 证 于是
这就证明了g(f(x））在点x,连续对这个定理我们再作一些讨论，以加深大家对该定理的认识(1) 由lim g(u)=A, lim f(x)=uo,不一定有uRuoxRXolim g(f(x)) = A.x?Xo请大家仔细观察定理4.5的证明，看看此时究竟哪里通不过巡回后页前页
前页 后页 返回 对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定 请大家仔细观察定理4.5 的证明, 看看此时究竟哪 理的认识. 里通不过
(2) 若g(u)在u,连续,lim f(x)=uo，则有XRXolim g(f(x))= g(uo)= g( lim f(x),(*)xRXoXRXo事实上，只要补充定义（或者重新定义）f（x）=u使得f(x)在点x，连续.应用定理4.5,就得到所需要的结论. 若将 lim f(x)=u,改为x?Xolim f(x)=uo, lim f(x)=u, 或 lim f(x)=uo ,XR +YR-R（*）式相应的结论仍旧是成立的巡回前页后页
前页 后页 返回 应用定理4.5,就得到所 (*)式相应的结论仍旧是成立的. 则有 需要的结论. 改为 事实上,只要补充定义（或者重新定义）