第七章粒子在位置空间中的运动NV几率流密度矢量三维位置空间的基向量是r），满足正交归一关系(r(r') = 83(r -r)以及完备性的表示(rXr|d3r = 1厂全安间在直角坐标系中，有(r) = [x, y,z) = [x) (y) @ [z)量子态）在位置表象中被表示为波函数(rl) =(r) =(x,y,z)动量算子P=（PxPy,P），在位置表象中表示为P→-itvaaaPx =-ihPy=-ihPz =-ihaxyazP的三个分量是彼此对易的.与位置算子R=(X,Y,Z)的对易关系[Rj.Pk] = ih18 j.kSchrodinger方程(r)[-2+V(r,t)in(r,tat2m设t时刻量子系统的波函数是亚(r,t).几率密度为(r,t)P.在全空间的积分等于1,(r,t)Pd3r=1即量子态的归一化.粒子在三维空间R3中的某个体积t中被观测到的几率是J,Id(r,t)2d3r假设势能不随时间变化，考虑这个几率随时间的变化率，1%+）2*-d3r =)d3atin（**2mih.(*-*)3r2m1
第七章 粒子在位置空间中的运动 IV 几率流密度矢量 三维位置空间的基向量是 jri, 满足正交归一关系 hrjr 0 i = ı 3 (r r 0 ) 以及完备性的表示 Z 全空间 jrihrj d 3 r = 1 在直角坐标系中, 有 jri = jx; y; ´i = jxi ˝ jyi ˝ j´i 量子态 j i 在位置表象中被表示为波函数 hrj i = (r) = (x; y; ´) 动量算子 P = (Px; Py; P´), 在位置表象中表示为 P ! i„r Px = i„ @ @x ; Py = i„ @ @y ; P´ = i„ @ @´ P 的三个分量是彼此对易的. 与位置算子 R = (X; Y; Z) 的对易关系 [Rj ; Pk] = i„1ıj;k Schrödinger 方程 i„ @Ψ(r; t) @t = „ 2 2m r 2 + V (r; t) Ψ(r; t) 设 t 时刻量子系统的波函数是 Ψ(r; t). 几率密度为 jΨ(r; t)j 2 . 在全空间的积分等于 1, Z jΨ(r; t)j 2d 3 r = 1 即量子态的归一化. 粒子在三维空间 R3 中的某个体积 中被观测到的几率是 R jΨ(r; t)j 2d 3 r. 假设势能不随时间变化, 考虑这个几率随时间的变化率, @ @t Z Ψ Ψd 3 r = Z Ψ @Ψ @t + Ψ @Ψ @t d 3 r = i„ 2m Z Ψ r 2 Ψr 2Ψ d 3 r = i„ 2m Z r Ψ rΨ ΨrΨ d 3 r: 1
因为体积是任意的，于是有o(r,t)2 + V- J(r,t) = 0(1)at其中ih1(*亚亚亚*)=Im(*)(2) J(r,) =2mmJ是几率流矢量体积的表面记作a9(r,t)d3r =b J(r.t).dsat即，粒子在空间区域中被探测到的几率随时间的减少率等于单位时间内粒子穿过区域的表面α流出该区域的流量。可以把几率流矢量表示为“速度”的形式.令PihVDmmJ可以写为(3)J(r,t) = Re[4*(r,t)Vd(r,t)]在以前（Chapter7-2)讨论过的一维阶梯势中，粒子的散射几率和透射几率实际上是几率流的比值yin(x)=Aieikix入射波函数r(x)= Aje-ikix反射波函数(x) = A2eik2x透射波函数相应的几率流密度是Jin~[Aik1,J,~[Aiki,J,~[A2Pk2反射几率和透射几率分别是1A112k2/A2/2R =T1Ai2ki/Ai/2考虑带电粒子在电磁场中的哈密顿量.在经典情形下，哈密顿量是H=p-qA(r,t+qp(r,t)011其中g是粒子的带电量，Φ是电场的电势，A是磁场的失量势.P是正则动量，机械动量是mV=p-qA(r)在量子情形中，将各个力学量视作算子，哈密顿量是[P-qA(R,t)+ qΦ(R, t)H =2m[p2 +qA?-qP.A-qA·P|+q(R,1)2m为了化简上式，注意到A.P-P.A2
因为体积 是任意的, 于是有 @ @t jΨ(r; t)j 2 + r J(r; t) = 0 (1) 其中 J(r; t) = i„ 2m Ψ rΨ ΨrΨ = „ m Im Ψ rΨ : (2) J 是几率流矢量. 体积 的表面记作 , @ @t Z jΨ(r; t)j 2d 3 r = — J(r; t) ds: 即, 粒子在空间区域 中被探测到的几率随时间的减少率等于单位时间内粒子穿过区域的表面 流出该区域的流量. 可以把几率流矢量表示为 “速度” 的形式. 令 V = P m = i„ m r: J 可以写为 J(r; t) = Re Ψ (r; t)VΨ(r; t) (3) 在以前 (Chapter 7-2) 讨论过的一维阶梯势中, 粒子的散射几率和透射几率实际上是几率流的比值. 入射波函数 in(x) = A1e ik1x 反射波函数 r (x) = A 0 1 e ik1x 透射波函数 t(x) = A2e ik2x 相应的几率流密度是 Jin jA1j 2 k1; Jr jA 0 1 j 2 k1; Jt jA2j 2 k2 反射几率和透射几率分别是 R = jA 0 1 j 2 jA1j 2 ; T = k2jA2j 2 k1jA1j 2 考虑带电粒子在电磁场中的哈密顿量. 在经典情形下, 哈密顿量是 H = 1 2m h p qA(r; t) i2 + q (r; t) 其中 q 是粒子的带电量, 是电场的电势, A 是磁场的矢量势. p 是正则动量, 机械动量是 mv = p qA(r) 在量子情形中, 将各个力学量视作算子, 哈密顿量是 H = 1 2m h P qA(R; t) i2 + q (R; t) = 1 2m h P 2 + q 2A 2 qP A qA P i + q (R; t) 为了化简上式, 注意到 A P P A 2
-[Ax,Px] +[Ay,Py] +[Az,P,]aAxaAyaAztih-itV.A+ih(4)=ihaxaya在这里，A·P-PA的结果实际上是（itV.A)1.其中V·A不再是一个算子，而是关于向量函数A的散度.接着可以把A·P+P·A表示为A-P+P.A=2A-P-iV.A将它代入哈密顿量的表达式，并在位置表象中表示，有_?+inA.V+q?A?ihqv.AH =+qd2m2m2mm注意到上式中的√·A在位置表象中具有函数的形式，而不是算子重新计算空间区域t内的几率随时间的变化率，a1(r,t)Pd3rt[-+ihqA.VE+ihg(V.A)+q?A21亚+dihJs2m2mm2mg*+god'[-A.-in(v.A)*+P2mm2m2m(-) (-),+()("A.W+A.VW)dr+[*(V·A)+(V-A)*]d3'rit/2m/(*-WW)d+/·(*A)d,2mLetJ=-端(*V业-亚V*)-亚*给亚V.Jd3r=-db J.ds由此得到与(1)相同的结果2(rt)/+J(rt)(5) 3t差别在于J的定义有所不同.(5)中的几率流失量是ih(±*亚-亚)-*亚J =(6)2mm与(1)）相比，多了一项-亚*鉴亚.不过，它们都可以用速度算子表示.对于在电磁场的带电粒子，定义它的速度算子机械动量P-qAVmm(6)式可以写为J =Re[*(r,t)V(r,t))与(3)式是一致的3
=[Ax; Px] + [Ay; Py] + [A´; P´] =i„ @Ax @x + i„ @Ay @y + i„ @A´ @´ = i„r A (4) 在这里, A P P A 的结果实际上是 (i„r A)1, 其中 r A 不再是一个算子, 而是关于向 量函数 A 的散度. 接着可以把 A P + P A 表示为 A P + P A = 2A P i„r A 将它代入哈密顿量的表达式, 并在位置表象中表示, 有 H = „ 2 2m r 2 + i„q m A r + i„q 2m r A + q 2A 2 2m + q 注意到上式中的 r A 在位置表象中具有函数的形式, 而不是算子. 重新计算空间区域 内的几率随时间的变化率, @ @t Z jΨ(r; t)j 2d 3 r = 1 i„ Z Ψ „ 2 2m r 2Ψ + i„q m A rΨ + i„q 2m (r A)Ψ + q 2A 2 2m Ψ + q Ψ d 3 r 1 i„ Z Ψ „ 2 2m r 2Ψ i„q m A rΨ i„q 2m (r A)Ψ + q 2A 2 2m Ψ + q Ψ d 3 r = 1 i„ „ 2 2m Z Ψ r 2Ψ Ψr 2Ψ d 3 r + 1 i„ i„q m Z Ψ A rΨ + Ψ A rΨ d 3 r + 1 i„ i„q 2m Z Ψ (r A)Ψ + Ψ(r A)Ψ d 3 r = i„ 2m Z r Ψ rΨ ΨrΨ d 3 r + q m Z r Ψ AΨ d 3 r Let J = i„ 2m ΨrΨ ΨrΨ Ψ qA m Ψ = Z r Jd 3 r = — J ds 由此得到与 (1) 相同的结果 @ @t jΨ(r; t)j 2 + r J(r; t) (5) 差别在于 J 的定义有所不同. (5) 中的几率流矢量是 J = i„ 2m Ψ rΨ ΨrΨ Ψ qA m Ψ (6) 与 (1) 相比, 多了一项 Ψ qA m Ψ. 不过, 它们都可以用速度算子表示. 对于在电磁场的带电粒子, 定义它的速度算子 V = 机械动量 m = P qA m (6) 式可以写为 J = Re[Ψ (r; t)VΨ(r; t)] 与 (3) 式是一致的. 3
球坐标与球谐函数在位置表象中，可以根据实际情况选用不同的坐标系如果选用直角坐标系，那么将动量算子表示为P-→-itV=-in(最)动能算子P2 (222m→-2m(ax2+ ay2+ az)如果势能V(R)→V(r）碰巧是可以变量分离的,即V(r) = V(x) + V(y) + V(z)那么哈密顿量可以表示为p2H =+V(R)=Hx+Hy+H,2mP?P2P2+V(X)，+V(Z)Hx=Hy =+V(Y)Hz=2m2m2m于是三维问题简化为三个一维问题.哈密顿量的本征波函数可以表示为(7)(r) =(x)()(z)例如，三维各向同性谐振子，p2p2112m+2m0*2=H=2m+mo*(x2+ 2 + z2)能级Enx,ny,nz =ho,n=nx+ny+nz,nx.nynz=0.1,..n+2H的本征态需要用三个量子数nx，ny和nz表示.(nx,ny,nz)=[nx)@(ny)@(nz)基态没有简并，激发态有简并.例如，第一激发态，n=1，三重简并，如果势能V(r）不可以在三个正交的方向上进行变量分离，那么哈密顿量的本征函数就不能写为（7）式的形式，定态Schrodinger方程未必有解析解但是，如果势能是中心对称的，那么就应该选用球坐标直角坐标与球坐标的关系如下，x=rsingcosgy=rsingsingz=rcos从图1中可以看出两种坐标系中基向量之间的关系e,=singcosgex+singcosgey+cosez4
球坐标与球谐函数 在位置表象中, 可以根据实际情况选用不同的坐标系. 如果选用直角坐标系, 那么将动量算子表示为 P ! i„r = i„ @ @x @ @y @ @´ 动能算子 P 2 2m ! „ 2 2m @ 2 @x2 + @ 2 @y2 + @ 2 @´2 如果势能 V (R) ! V (r) 碰巧是可以变量分离的, 即 V (r) = V (x) + V (y) + V (´) 那么哈密顿量可以表示为 H = P 2 2m + V (R) = Hx + Hy + H´ Hx = P 2 x 2m + V (X); Hy = P 2 y 2m + V (Y ); H´ = P 2 ´ 2m + V (Z) 于是三维问题简化为三个一维问题. 哈密顿量的本征波函数可以表示为 (r) = (x) (y) (´) (7) 例如, 三维各向同性谐振子, H = P 2 2m + 1 2 m!2R 2 = P 2 2m + 1 2 m!2 X 2 + Y 2 + Z 2 能级 Enx;ny ;n´ = n + 1 2 „!; n = nx + ny + n´; nx; ny; n´ = 0; 1; H 的本征态需要用三个量子数 nx, ny 和 n´ 表示. jnx; ny; n´i = jnxi ˝ jnyi ˝ jn´i 基态没有简并, 激发态有简并. 例如, 第一激发态, n = 1, 三重简并. 如果势能 V (r) 不可以在三个正交的方向上进行变量分离, 那么哈密顿量的本征函数就不能写为 (7) 式的形式, 定态 Schrödinger 方程未必有解析解. 但是, 如果势能是中心对称的, 那么就应该选用球坐标. 直角坐标与球坐标的关系如下, x = r sin cos y = r sin sin ´ = r cos 从图 1 中可以看出两种坐标系中基向量之间的关系. er = sin cos ex + sin cos ey + cos e´ 4
Zeyeeer11ley-y-1ex1Φ1X图1eg=coscospex+cossinpey-sinezes=-singex+cospey在球坐标中，a1a1a=erar(8) +ofae+ersinea接着写出又2在球坐标中的形式a2110d1a20V2 =singr2ar12sing20e(r sin0)22ar算子√2由两部分组成.径向部分是(r%)r2arar对于角向部分，我们令a211dd1.2sine,(9) singaeesina2于是，1 L21a.20)V2~(10)r2arar2h2这里，并没有立即指出L是轨道角动量.下面，专门讨论一下轨道角动量，我们将看到，(9)式确实是轨道角动量算子L的平方在位置表象中的表示轨道角动量直接来自于经典力学的类比L=R×P在直角坐标系中Lx=YPz-ZPy.5
7.3 Orbital Angular Momentum 167 Fig. 7.1 Rectangular and spherical coordinates, showing unit vectors in both systems [see Eq.(7.24)]. where the unit vectors of the spherical coordinate system are given by ˆer = sin θ cos φ ˆex + sin θ sin φ ˆey + cos θ ˆez , (7.26a) ˆeθ = cos θ cos φ ˆex + cos θ sin φ ˆey − sin θ ˆez , (7.26b) ˆeφ = − sin φ ˆex + cos φ ˆey , (7.26c) in terms of the unit vectors of the rectangular system. The orbital angular momentum operator then has the form L = rˆer × (−i∇) = (−i) ˆeφ ∂ ∂θ − ˆeθ 1 sin θ ∂ ∂φ . (7.27) As in the calculation of Sec. 7.1, we shall seek the eigenvectors of the two commuting operators L2 = L·L and Lz, where Lz = ˆez·L = −i ∂ ∂φ . (7.28) In evaluating L·L we must remember that the unit vectors ˆeθ and ˆeφ are not constant, and so the action of the differential operators on them must be included. The result can be written as L2 = L·L = −2 1 sin θ ∂ ∂θ (sin θ ∂ ∂θ ) + 1 (sin θ)2 ∂2 ∂φ2 . (7.29) 图 1 e = cos cos ex + cos sin ey sin e´ e = sin ex + cos ey 在球坐标中, r = er @ @r + e 1 r @ @ + e 1 r sin @ @ (8) 接着写出 r 2 在球坐标中的形式 r 2 = 1 r 2 @ @r r 2 @ @r + 1 r 2 sin @ @ sin @ @ + 1 (r sin ) 2 @ 2 @ 2 算子 r 2 由两部分组成. 径向部分是 1 r 2 @ @r r 2 @ @r 对于角向部分, 我们令 L 2 = „2 1 sin @ @ sin @ @ + 1 sin2 @ 2 @ 2 (9) 于是, r 2 = 1 r 2 @ @r r 2 @ @r 1 r 2 L2 „ 2 (10) 这里, 并没有立即指出 L 是轨道角动量. 下面, 专门讨论一下轨道角动量, 我们将看到, (9) 式确实是轨道角动量算子 L 的 平方在位置表象中的表示. 轨道角动量 直接来自于经典力学的类比, L = R P 在直角坐标系中 Lx = YP´ ZPy; 5