第七章粒子在位置空间中的运动ⅢStern-Gerlach实验将SG实验过程简化并抽象为如下描述（图1).自旋1/2粒子经过了SG(z）装置，其中的磁场是(1)Bx=By=0,Bz=zB这里，B'是磁场沿z方向的梯度.当然，这样的磁场是不存在的，因为√·B≠0.更严格地，可以把磁场的分量写为Bx=-xB',By=0,Bz=Bo+zB这里，Bo是一个常数.在实际情况中，B。》Bx，这导致磁矩在xy平面内的分量以很大的角速度绕z轴旋转，由于非零的Bx导致的粒子的受力的平均效果近乎为零.因此，我们可以简单地考虑（1）式的磁场，把自旋粒子的哈密顿量表示为一u·B=-μ2B2，进而写为(2)H=-2gS28Z=-g02Z这里我们令=1.常数8包含了粒子的质量、电荷、磁场的梯度等物理量，描述了粒子的自旋自由度和空间自由度之间的耦合强度.在哈密顿量的表达式（2）中，我们采用了直积符号联系自旋力学量，和空间位置力学量Z，这是为了提醒我们这两个力学量分属不同的自由度，需要不同的Hilbert空间来描述.描述αz的是两维复空间C2，描述Z的则是无限维的连续的Hilbert空间.当然，粒子的量子态也是由这两部分构成的.我们假设粒子的初态具有直积态的形式，即(3)(0))=[))这里|）表示粒子的自旋量子态，l）=co[0)+c[1)而l）表示与空间自由度相关的量子态，可以在位置表象中写为空间位置的波函数(x,y,z)，也可以在动量空间中写为动量波函数(px，Py，P2).粒子的量子态随时间的演化由酉变换U(t）决定，U(t)=e-iHt=eigto:@z(4)我们关注的被测力学量是Sz，或者说是z，希望从粒子的波函数给出几率分布推知被测力学量取值αz取值土1的几率以及期望值在确定ls）的具体形式之前，可以先在Heisenberg图像中计算一下粒子的位置算符和动量算符随时间的变化情况.容易看到，粒子的位置算符R=（X,Y,Z）与H对易，它们是守恒量.动量算符Px和P也是守恒量故只需要考虑P，随时间的变化，将Pz表示为1P(1 @ Pz)(t) = Ut(t)(1 P2)U(t)1
第七章 粒子在位置空间中的运动 III Stern-Gerlach 实验 将 SG 实验过程简化并抽象为如下描述 (图 1). 自旋 1/2 粒子经过了 SG(z) 装置, 其中的磁场是 Bx = By = 0; Bz = zB0 (1) 这里, B 0 是磁场沿 z 方向的梯度. 当然, 这样的磁场是不存在的, 因为 r B ¤ 0. 更严格地, 可以把磁场的分量写 为 Bx = xB0 ; By = 0; Bz = B0 + zB0 这里, B0 是一个常数. 在实际情况中, B0 Bx, 这导致磁矩在 xy 平面内的分量以很大的角速度绕 z 轴旋转, 由 于非零的 Bx 导致的粒子的受力的平均效果近乎为零. 因此, 我们可以简单地考虑 (1) 式的磁场, 把自旋粒子的哈 密顿量表示为 B = zBz, 进而写为 H = 2gSz ˝ Z = gz ˝ Z (2) 这里我们令 „ = 1. 常数 g 包含了粒子的质量、电荷、磁场的梯度等物理量, 描述了粒子的自旋自由度和空间自 由度之间的耦合强度. 在哈密顿量的表达式 (2) 中, 我们采用了直积符号 ˝ 联系自旋力学量 z 和空间位置力学 量 Z, 这是为了提醒我们这两个力学量分属不同的自由度, 需要不同的 Hilbert 空间来描述. 描述 z 的是两维复 空间 C2 , 描述 Z 的则是无限维的连续的 Hilbert 空间. 当然, 粒子的量子态也是由这两部分构成的. 我们假设粒 子的初态具有直积态的形式, 即 jΨ(0)i = j i ˝ j'i (3) 这里 j i 表示粒子的自旋量子态, j i = c0 j0i + c1 j1i. 而 j'i 表示与空间自由度相关的量子态, 可以在位置表象 中写为空间位置的波函数 '(x; y; z), 也可以在动量空间中写为动量波函数 '(px; py; pz). 粒子的量子态随时间的 演化由酉变换 U(t) 决定, U(t) = e iH t = e igt z˝Z (4) 我们关注的被测力学量是 Sz, 或者说是 z, 希望从粒子的波函数给出几率分布推知被测力学量取值 z 取值 ˙1 的几率以及期望值. 在确定 j'i 的具体形式之前, 可以先在 Heisenberg 图像中计算一下粒子的位置算符和动量算符随时间的变化情 况. 容易看到, 粒子的位置算符 R = (X; Y; Z) 与 H 对易, 它们是守恒量. 动量算符 Px 和 Py 也是守恒量. 故只 需要考虑 Pz 随时间的变化, 将 Pz 表示为 1 ˝ Pz (1 ˝ Pz)(t) = U (t)(1 ˝ Pz)U(t) 1
2之y图1：SG实验示意图：非均匀磁场的梯度为z方向，自旋1/2粒子穿过磁场区域后分为向上和向下偏转的两束=1@P,+[-igto,@Z,1αP.]1+ [-igto. @ Z,[-igto: @Z,1 P.] +..(5)=1 α P, +gt(az@1)式（5）建立了t时刻动量P，的期望值与测量力学量在初态中的期望值之间的联系，即(Pz)(t) = (P2)(0) +gt(αz)(0)我们希望知道的正是(αz)(0)，它就是(o-)(0) = (P-)(0) - (P)(0) (6)gt上述推导意谓着，我们需要考虑粒子的动量的期望值的变化，于是很自然地，应该选择动量表象描述l)现在选择动量表象，ls）被表示为动量波函数(p）=(px,Py,Pz)，而酉变换U(t)中的位置算符z则要表示为i品，我们已经设定=1，故Z→i品，在酉变换U(t)的作用下，有[亚(t))=U(t) (0)= elglo:8z[(co 10) + ci [1) 8 [0)]在动量表象中,l)应该表示为l)=dp(p)lp),下面我们简单地只写lp)上分量(p)ag(p)= (co [0) + ci /1)(p) + igt(co l0) ci /1)iapz(igt)2(co 10) + 1[1)2 g(P) + (ig1)3,-(co 0) -C1 [1)3 2%0(P)3!2!ap2ap(gt)3 230(p)a(p) (gt)2a2(p)= co lo) [0(p) - gt2!3!apzapeap
2 z y 图 1: SG 实验示意图. 非均匀磁场的梯度为 z 方向, 自旋 1/2 粒子穿过磁场区域后分为向上和向下偏转的两束. = 1 ˝ Pz + [igtz ˝ Z; 1 ˝ Pz] + 1 2! igtˆz ˝ Z; [igtz ˝ Z; 1 ˝ Pz] + = 1 ˝ Pz + gt(z ˝ 1) (5) 式 (5) 建立了 t 时刻动量 Pz 的期望值与测量力学量 z 在初态中的期望值之间的联系, 即 hPzi(t) = hPzi(0) + gthzi(0) 我们希望知道的正是 hzi(0), 它就是 hzi(0) = hPzi(t) hPzi(0) gt (6) 上述推导意谓着, 我们需要考虑粒子的动量的期望值的变化, 于是很自然地, 应该选择动量表象描述 j'i. 现在选择动量表象, j'i 被表示为动量波函数 '(p) = '(px; py; pz), 而酉变换 U(t) 中的位置算符 Z 则要表示为 i„ @ @pz . 我们已经设定 „ = 1, 故 Z ! i @ @pz . 在酉变换 U(t) 的作用下, 有 jΨ(t)i = U(t)jΨ(0)i = e igt z˝Z (c0 j0i + c1 j1i) ˝ j'i 在动量表象中, j'i 应该表示为 j'i = R d 3p '(p)jpi, 下面我们简单地只写 jpi 上分量 '(p) = (c0 j0i + c1 j1i)'(p) + igt(c0 j0i c1 j1i)i @'(p) @pz + (igt) 2 2! (c0 j0i + c1 j1i)i 2 @ 2'(p) @p2 z + (igt) 3 3! (c0 j0i c1 j1i)i 3 @ 3'(p) @p3 z + = c0 j0i h '(p) gt @'(p) @pz + (gt) 2 2! @ 2'(p) @p2 z (gt) 3 3! @ 3'(p) @p3 z + i
3+3!ap?2!p2=Co J0) (px,Py.Pz-gt)+Ci /1)(Px Py,Pz + gt)至此得到t时刻粒子的自旋和动量的整体的量子态(7)[(t)) = co [0) /po(t))+c1 /1) l1(t))其中lo(t)和[1(t)》在动量空间中的表示分别是(pxPy，Pz-gt）和(px，Py,Pz+gt)这个量子态可以类比于最简单的22测量模型，但是还不能说它们达到了最优形式在进一步分析之前，需要说明如下两点.1.在开始的时候，我们说，通过粒子在空间的位置分布推知被测力学量，的性质，这就需要将(t)》中的动量空间的波函数（Px，Py.Pz土gt）通过傅里叶变换表示为位置空间的波函数，由此会带来计算上的繁琐.为了叙述的简明直观，这里我们仅仅分析了粒子的动量分布而没有计算其位置分布，换句话说，我们假设测量仪器对粒子的动量有所响应2.从（7）式看到，酉变换前后的量子态始终是粒子的动量Px和Py的本征态，这说明粒子的动量波函数与Px和p，的依赖关系是不重要的．因此我们把初态中的动量空间的波函数简化为(pz)，相应地，/(t)）中的动量波函数简化为(p-gt）和(p2+gt)，并将它们分别记作o(pz,t）和1(pz,t)，即Po(pz,t)=(pz/0o)=(pz-gt),i(pz,t)=(pz/01)=(p,+gt)设初态的动量波函数是一个对称的Gauss波包，1(8)9(P-) = 2n03)1/ exp (在(pz）中动量P，的期望值为零.上式中的α是P，的标准偏差，即02 = (P2)。-(P2) =(P2)几率密度lo(pz)?是数理统计中常用的高斯分布。图2描绘了(pz）和(pz土gt）的函数图像p(p,+gt)o(p.-gt)+ 0(p.)图2：自旋与空间位置之间的相互作用导致动量波函数发生平移从（7）中可以写出粒子的自旋部分的量子态，这需要对空间部分求迹.首先将其中的lso(t)）和l1(t)》在动量空间中表示为[0(t) =Po(pz,t) /pz)dpz
3 + c1 j1i h '(p) + gt @'(p) @pz + (gt) 2 2! @ 2'(p) @p2 z + (gt) 3 3! @ 3'(p) @p3 z + i = c0 j0i '(px; py; pz gt) + c1 j1i '(px; py; pz + gt) 至此得到 t 时刻粒子的自旋和动量的整体的量子态 jΨ(t)i = c0 j0i ˝ j'0(t)i + c1 j1i ˝ j'1(t)i (7) 其中 j'0(t)i 和 j'1(t)i 在动量空间中的表示分别是 '(px; py; pz gt) 和 '(px; py; pz + gt). 这个量子态可以类比于最简单的 2 ˝ 2 测量模型, 但是还不能说它们达到了最优形式. 在进一步分析之前, 需要 说明如下两点. 1. 在开始的时候, 我们说, 通过粒子在空间的位置分布推知被测力学量 z 的性质, 这就需要将 jΨ(t)i 中的动 量空间的波函数 '(px; py; pz ˙ gt) 通过傅里叶变换表示为位置空间的波函数, 由此会带来计算上的繁琐. 为了叙述的简明直观, 这里我们仅仅分析了粒子的动量分布而没有计算其位置分布, 换句话说, 我们假设测 量仪器对粒子的动量有所响应. 2. 从 (7) 式看到, 酉变换前后的量子态始终是粒子的动量 Px 和 Py 的本征态, 这说明粒子的动量波函数与 px 和 py 的依赖关系是不重要的. 因此我们把初态中的动量空间的波函数简化为 '(pz), 相应地, jΨ(t)i 中的 动量波函数简化为 '(pz gt) 和 '(pz + gt), 并将它们分别记作 '0(pz; t) 和 '1(pz; t), 即 '0(pz; t) = hpzj'0i = '(pz gt); '1(pz; t) = hpzj'1i = '(pz + gt) 设初态的动量波函数是一个对称的 Gauss 波包, '(pz) = 1 (2 2) 1/4 exp n p 2 z 4 2 o (8) 在 '(pz) 中动量 Pz 的期望值为零. 上式中的 是 Pz 的标准偏差, 即 2 = hP 2 z i' hPzi 2 ' = hP 2 z i' 几率密度 j'(pz)j 2 是数理统计中常用的高斯分布. 图 2 描绘了 '(pz) 和 '(pz ˙ gt) 的函数图像. φ(p ) z 0 φ(p +gt) z z φ(p -gt) z 图 2: 自旋与空间位置之间的相互作用导致动量波函数发生平移. 从 (7) 中可以写出粒子的自旋部分的量子态, 这需要对空间部分求迹. 首先将其中的 j'0(t)i 和 j'1(t)i 在动量空 间中表示为 j'0(t)i = Z +1 1 '0(pz; t)jpzi dpz
4[01(t)) =1(pz,t)/p2)dp2然后写出整体量子态的密度矩阵亚(t)=[亚(t)X亚(t)I，具体形式是（以下积分一律从一0积到+oo)(t)=lcoP Xo// o(pt)(p,t)pXplpp+coct1oX1///0o(p2,t)ot(p,t)/p2Xp2ldpedp+cc/X0///(p,t)i(pt)pX:/dp+ci111///1(p2,t)i(p",t)-Xp2pdp"接着，对上述每一项中直积符号右边的算子求迹.这是在动量空间中求迹，面临如下形式的积分，《p-|求迹的对象|p=)dp2以亚(t）的表达式右端第一项为例，/:////o(p,t)o(p,t)/pXpldpdp: p)d///o(p,)(p,t)8(p)8(pp)dd/o(t)(p2,t)d:=1令Iij(t) = /(p,t)(t)dz,i,j=0,1显然,Ij(t)=Ij;(t)。考虑到 Po(Pz,t)和i(pz,t)的归一性,有 loo(t)=li(t)=1,故自旋部分的量子态pspin(t)表示为JcolPCocilor(n)(9) pspin(t) = Trspace 亚(t) =(ccil1o(t) ci/2可以看到，在测量过程中，系统量子态的变化表现在密度矩阵的非对角元上理想情形理想情形指的是（7）式中两个空间部分的量子态[9o）和[91）彼此正交，或者说，两个动量空间中的波函数(pz+gt）和（pz-gt）之间没有重叠，虽然实际上它们是有重叠的，但是，如果我们令gt很大，那么这两个波包距离很远，其间的重叠就很小，即(90l01)=0*(p:-gt)(P:+gt)dp=(p2-gt)p(p+gt)dp2~0可以说它们近乎正交.这时，1()》式和以前讨论过的最优形式在本质上是一样的.如果观测到粒子的动量的值pz>0，那么这个观测结果的来源应该是(p：-gt)，由此可以推知粒子的自旋量子态处于[0)，且2取值+1;类似地，如果观测到pz<0,那么其自旋量子态处于[1)，且2取值-1.注意到(pz-gt）基本上完全分布在pz的右半轴，而(pz+gt）基本上完全分布在pz的左半轴。因此在（7）中，粒子的动量大于零的几率是Prob(Pz > 0) = /Icoll0(P2- gt)Pdp2 = [co/2
4 j'1(t)i = Z +1 1 '1(pz; t)jpzi dpz 然后写出整体量子态的密度矩阵 Ψ(t) = jΨ(t)ihΨ(t)j, 具体形式是 (以下积分一律从 1 积到 +1) Ψ(t) =jc0j 2 j0ih0j ˝ “ '0(p 0 z ; t)' 0 (p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z + c0c 1 j0ih1j ˝ “ '0(p 0 z ; t)' 1 (p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z + c 0 c1 j1ih0j ˝ “ ' 0 (p 0 z ; t)'1(p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z + jc1j 2 j1ih1j ˝ “ '1(p 0 z ; t)' 1 (p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z 接着, 对上述每一项中直积符号右边的算子求迹. 这是在动量空间中求迹, 面临如下形式的积分, Z +1 1 hpzj求迹的对象jpzi dpz 以 Ψ(t) 的表达式右端第一项为例, Z hpzj “ '0(p 0 z ; t)' 0 (p 00 z ; t)jp 0 z ihp 00 z j dp 0 zdp 00 z jpzi dpz = • '0(p 0 z ; t)' 0 (p 00 z ; t)ı(pz p 0 z )ı(pz p 00 z )dpz dp 0 z dp 00 z = Z '0(pz; t)' 0 (pz; t)dpz = 1 令 Iij (t) = Z +1 1 'i(pz; t)' j (pz; t)dpz; i; j = 0; 1 显然, Iij (t) = I j i(t). 考虑到 '0(pz; t) 和 '1(pz; t) 的归一性, 有 I00(t) = I11(t) = 1, 故自旋部分的量子态 Spin(t) 表示为 Spin(t) = Trspace Ψ(t) = 0 @ jc0j 2 c0c 1 I01(t) c 0 c1I10(t) jc1j 2 1 A (9) 可以看到, 在测量过程中, 系统量子态的变化表现在密度矩阵的非对角元上. 理想情形 理想情形指的是 (7) 式中两个空间部分的量子态 j'0i 和 j'1i 彼此正交, 或者说, 两个动量空间中的 波函数 '(pz + gt) 和 '(pz gt) 之间没有重叠. 虽然实际上它们是有重叠的, 但是, 如果我们令 gt 很大, 那么这 两个波包距离很远, 其间的重叠就很小, 即 h'0j'1i = Z +1 1 ' (pz gt)'(pz + gt)dpz = Z +1 1 '(pz gt)'(pz + gt)dpz 0 可以说它们近乎正交. 这时, jΨ(t)i 式和以前讨论过的最优形式在本质上是一样的. 如果观测到粒子的动量的值 pz > 0, 那么这个观测结果的来源应该是 '(pz gt), 由此可以推知粒子的自旋量 子态处于 j0i, 且 z 取值 +1; 类似地, 如果观测到 pz < 0, 那么其自旋量子态处于 j1i, 且 z 取值 1. 注意到 '(pz gt) 基本上完全分布在 pz 的右半轴, 而 '(pz + gt) 基本上完全分布在 pz 的左半轴. 因此在 (7) 中, 粒子 的动量大于零的几率是 Prob(pz > 0) = Z +1 0 jc0j 2 j'(pz gt)j 2dpz = jc0j 2
5同样地，动量小于零的几率是Prob(pz<0)=ci/2.再次重现了自旋量子态）中az取值±1的几率，而且还需注意到，理想情况下测量后粒子的密度矩阵是对角的，即（9）式中非对角项变为零虽然看起来通过增大gt以减小动量波函数的重叠这一做法是可行的，但是也要注意到，当相互作用强度g给定的时候，延长相互作用的时间t会让系统受到更多的来自周围环境的干扰.在实际情况中，两个动量波函数难免会有部分重叠，这将导致模糊测量非理想测量如果在t时刻粒子的整体量子态(t)》中的动量波函数(pz土gt）有明显的重叠，并且，在实验中观测到粒子的动量的值pxP正好处于两个动量波函数的交叠区域（如图3所示），那么难以断定动量的这个值是来自于(pz+gt）还是来自于(pz-gt).这种情况就是非理想的测量$(p.+gt)$(p:-gi)P2gt-gtpexp图3:非理想测量。粒子的动量空间中的波函数(pz+gt)和(Pzgt)之间有明显的重叠。如果观测到的动量的值pxP处于重叠区域，则不能断定这是哪一个动量波函数给出的结果非理想测量Peres,A.and Wootters,W.K.Quantummeasurementsof finiteduration.Physical ReviewD32,1968-1974(1985).设想，自旋1/2粒子哈密顿量有如下形式（以下令=1)，H=v(t)o,&P在Heisenberg图像中,do2 = i[H, Q] = v(t)0:dt这相对于说，当，取值+1的时候，粒子的速度为v(t)；当，取值-1的时候，粒子的速度为-v(t)粒子的初态(10)[(0))?(q)B考虑1时刻的量子态。注意到在不同的时刻，哈密顿量是彼此对易的。于是可以把时间演化算子表示为-iL(t)P0e-iL(t)a:@PH(t)dtU(t) = expeiL()P0
5 同样地, 动量小于零的几率是 Prob(pz < 0) = jc1j 2 . 再次重现了自旋量子态 j i 中 z 取值 ˙1 的几率. 而且还 需注意到, 理想情况下测量后粒子的密度矩阵是对角的, 即 (9) 式中非对角项变为零. 虽然看起来通过增大 gt 以减小动量波函数的重叠这一做法是可行的, 但是也要注意到, 当相互作用强度 g 给定 的时候, 延长相互作用的时间 t 会让系统受到更多的来自周围环境的干扰. 在实际情况中, 两个动量波函数难免 会有部分重叠, 这将导致模糊测量. 非理想测量 如果在 t 时刻粒子的整体量子态 jΨ(t)i 中的动量波函数 '(pz ˙ gt) 有明显的重叠, 并且, 在实验 中观测到粒子的动量的值 p exp z 正好处于两个动量波函数的交叠区域 (如图 3 所示), 那么难以断定动量的这个值 是来自于 '(pz + gt) 还是来自于 '(pz gt). 这种情况就是非理想的测量. pz ϕ(p gt) z ϕ(p +gt) z gt gt pz exp 图 3: 非理想测量. 粒子的动量空间中的波函数 '(pz + gt) 和 '(pz gt) 之间有明显的重叠. 如果观测到的动量 的值 p exp z 处于重叠区域, 则不能断定这是哪一个动量波函数给出的结果. 非理想测量 Peres, A. and Wootters, W. K. Quantum measurements of finite duration. Physical Review D 32, 1968-1974 (1985). 设想, 自旋 1/2 粒子哈密顿量有如下形式 (以下令 „ = 1), H = v(t)z ˝ P 在 Heisenberg 图像中, dQ dt = i[H; Q] = v(t)z 这相对于说, 当 z 取值 +1 的时候, 粒子的速度为 v(t); 当 z 取值 1 的时候, 粒子的速度为 v(t). 粒子的初态 jΨ(0)i = 0 @ ˛ ˇ 1 A ˝ '(q) (10) 考虑 t 时刻的量子态. 注意到在不同的时刻, 哈密顿量是彼此对易的. 于是可以把时间演化算子表示为 U(t) = exp ( i Z t 0 H( ) d ) = e iL(t)z˝P = 0 @ e iL(t)P 0 0 e iL(t)P 1 A