第七章粒子在位置空间中的运动I上一章内容的补充说明在上一章中我们讨论了从有限维复空间到连续Hilbert空间的过渡，并且，以一种不甚严格的方式，将有限维空间中完备性的表示形式推广到连续情形即nZ laiXαi/ =1(1)有限维情形i=1连续情形dg lqXql =1 (identity)(2)这里，αi）是某个力学量A的本征向量，lg）是位置算子Q的本征向量需要指出的是，（2）式在数学上是严格的.在F.Riesz，B.Sz.-Nagy,FunctionalAnalysis(DoverPublications，Inc.1990）一书的120节有详细证明.该节的名称是Spectraldecompositionofaself-adjointtransformation所谓的“谱”（spectrum)，简单地说，就是算子的本征值。我们关心的是厄密算子，所以本征值是实数.当C"中的厄密算子A被表示为A= Zai αiXαili=1我们称之为本征分解形式，实际上就是数学中说的谱分解（Spectraldecomposition)如果厄密算子的谱是连续的，比如位置算子X，它的本征值xE（一o，+oo），那么问题是，X能否表示为X=x xXx|dx泛函分析给出了肯定的回答推广到三维空间空间中，位置算子R是向量算子，R=（X,Y,Z)，本征值R=（x,y,z）eR3，相应的本征向量(r)=[x,y,z),完备性被表示为d3r (rXr| =2dz x, y, zXx, y,z/ = 1另外，Ballentine书的第3章讨论了时空变换的生成元与物理量的联系，这部分内容有助于理解物理理论的基本框架.1
第七章 粒子在位置空间中的运动 I 上一章内容的补充说明 在上一章中我们讨论了从有限维复空间到连续 Hilbert 空间的过渡, 并且, 以一种不甚严格的方式, 将有限维空间 中完备性的表示形式推广到连续情形, 即 有限维情形 Xn i=1 j˛iih˛i j = 1 (1) 连续情形 Z +1 1 dq jqihqj = 1 (identity) (2) 这里, j˛ii 是某个力学量 A 的本征向量, jqi 是位置算子 Q 的本征向量. 需要指出的是, (2) 式在数学上是严格的. 在 F. Riesz, B. Sz.-Nagy, Functional Analysis (Dover Publications, Inc. 1990) 一书的 120 节有详细证明. 该节的名称是 Spectral decomposition of a self-adjoint transformation. 所谓的 ‘‘谱” (spectrum), 简单地说, 就是算子的本征值. 我们关心的是厄密算子, 所以本征值是实数. 当 Cn 中的 厄密算子 A 被表示为 A = Xn i=1 ai j˛iih˛i j 我们称之为本征分解形式, 实际上就是数学中说的谱分解 (Spectral decomposition). 如果厄密算子的谱是连续的, 比如位置算子 X, 它的本征值 x 2 (1; +1), 那么问题是, X 能否表示为 X = Z +1 1 x jxihxj dx 泛函分析给出了肯定的回答. 推广到三维空间空间中, 位置算子 R 是向量算子, R = (X; Y; Z), 本征值 R = (x; y; z) 2 R3 , 相应的本征向量 jri = jx; y; zi, 完备性被表示为 Z d 3 r jrihrj = Z +1 1 dx Z +1 1 dy Z +1 1 dz jx; y; zihx; y; zj = 1 另外, Ballentine 书的第 3 章讨论了时空变换的生成元与物理量的联系, 这部分内容有助于理解物理理论的基本 框架. 1
2位置空间Hilbert空间位置空间R3描述现象的空间。通过测量，得到粒子在经典的描述粒子的波函数的空间．量子态在位置表象中的表示现实空间（IR3）中的几率分布对于一个一般意义上的量子态|亚），从t=0时刻的亚(O)）到t时刻的演化由Schrodinger方程决定，id() = H[(0)dt如今，我们关心的是粒子在位置空间R3中的几率分布，因此需要在位置表象中考虑（t）》的表示形式dx/(t) =dydz (x,y,z|d(t)) [x, y,z)简写为dr d(r,t) (r), 亚(r,t) = (x,y,z|(t)[(t) =接着考虑系统的哈密顿量H.回顾在经典力学中得到哈密顿量的过程，在一定的条件下，哈密顿量H才能等于系统的能量E1.这里，我们讨论H=E的情形.需要注意的是，虽然在这种情形下哈密顿量可以表示为动能和势能的和，但是，在动能的表达式中，需要注意正则动量和机械动量的区别.正则动量（或者广义动量，共轭动量）和广义坐标的Poisson括号是(q，p)=1.正则动量可以不等于机械动量，典型的例子是电磁场中的带电粒子，质量m带电量q的粒子的机械动量是mv，它和正则动量p之间的关系是mv=p-qA，其中A是电磁场的矢量势在这种情况下，带电粒子的动能是T= (P-qA)22m在量子力学中，出现在对易子[X,Px]=i中的动量是正则动量而不是机械动量，在位置表象中的形式是i最目前我们讨论正则动量等于机械动量的情形.在位置表象中，动量P被表示为P→-itv.或者aaaPy-→-ihPx→-ih-P.-ihaxdy'a动能算子被表示为p2V2T =2m2m其中-品品品.在位置表象中，位置算子R的形式很简单R=(X,Y,Z)→r= (x,y,z)因而势能算子V(rt)被表示为简单的函数形式V(r,t).1 Herbert Goldstein, Charles Poole, and John Safko, Classical Mechanics (3nd ed.), (Addison-Wesley)第 8 章
2 位置空间 位置空间 R3 描述现象的空间. 通过测量, 得到粒子在经典的 现实空间 (R3 ) 中的几率分布. Hilbert 空间 描述粒子的波函数的空间. 量子态在位置表象 中的表示. 对于一个一般意义上的量子态 jΨi, 从 t = 0 时刻的 jΨ(0)i 到 t 时刻的演化由 Schrödinger 方程决定, i„ d jΨ(t)i dt = H jΨ(t)i 如今, 我们关心的是粒子在位置空间 R3 中的几率分布, 因此需要在位置表象中考虑 jΨ(t)i 的表示形式, jΨ(t)i = Z +1 1 dx Z +1 1 dy Z +1 1 dz hx; y; zjΨ(t)i jx; y; zi 简写为 jΨ(t)i = Z d 3 r Ψ(r; t)jri; Ψ(r; t) = hx; y; zjΨ(t)i 接着考虑系统的哈密顿量 H. 回顾在经典力学中得到哈密顿量的过程, 在一定的条件下, 哈密顿量 H 才能等于 系统的能量 E 1 . 这里, 我们讨论 H = E 的情形. 需要注意的是, 虽然在这种情形下哈密顿量可以表示为动能和 势能的和, 但是, 在动能的表达式中, 需要注意正则动量和机械动量的区别. 正则动量 (或者广义动量, 共轭动量) 和广义坐标的 Poisson 括号是 fq; pg = 1. 正则动量可以不等于机械动量, 典型的例子是电磁场中的带电粒子, 质 量 m 带电量 q 的粒子的机械动量是 mv, 它和正则动量 p 之间的关系是 mv = p qA, 其中 A 是电磁场的矢量 势. 在这种情况下, 带电粒子的动能是 T = (p qA) 2 2m 在量子力学中, 出现在对易子 [X; Px] = i„ 中的动量是正则动量而不是机械动量, 在位置表象中的形式是 i„ @ @x . 目前我们讨论正则动量等于机械动量的情形. 在位置表象中, 动量 P 被表示为 P ! i„r: 或者 Px ! i„ @ @x ; Py ! i„ @ @y ; Pz ! i„ @ @z : 动能算子被表示为 T = P 2 2m ! „ 2 2m r 2 其中 r 2 = @ 2 @x2 + @ 2 @y2 + @ 2 @z2 . 在位置表象中, 位置算子 R 的形式很简单, R = (X; Y; Z) ! r = (x; y; z) 因而势能算子 V (r; t) 被表示为简单的函数形式 V (r; t). 1 Herbert Goldstein, Charles Poole, and John Safko, Classical Mechanics (3nd ed.), (Addison-Wesley) 第 8 章
3于是Schrodinger方程在位置表象中的形式是2(r,1)+V(r,1)(r,1).a(r,t)ih一=一2mat当势能V(r,t)不显含时间的时候，V(r,t)=V(r)，可以进行变量分离.令(r,t) = (r)T(t)变量分离后，可以得到这样形式的方程空间部分的方程=时间部分的方程=E这里E是常数容易解出时间部分的方程T(t) = e-iEt/h空间部分的方程实际上就是粒子的Hamilton量的本征方程，(3)H(r) = E(r).在位置表象中，方程（3）是关于空间位置坐标的二阶偏微分方程．同时还要注意的是，能量本征值E是未知的也是需要求解的假设我们求出了(r)，那么就可以写出(r,t)，(r, t) =(r)e-iEt/h(4)通过求解（3）式得到的(r）只是H的本征函数，而（4）式也只是一个定态，它不足以反映量子系统从某个初态开始的随时间演化的过程一一除非系统的初态是哈密顿量的某个本征态如果系统的初态/(t)》不是哈密顿量的本征态，那么应该在哈密顿量的本征态上展开.假设哈密顿量不含时，且能级是离散的，记作En，相应的本征态为n），那么有[(0)=cn(0) /n)n在t时刻，系统的量子态是[(t) =e-iH/h [(O)=cn(0)e-iEn /h [on)n在位置表象中，d(r, t) = cn(0)e-iEn /hpn(r,t)n其中m(r）是本征态lm）在位置表象中的波函数，即m(r）=(rlon）Schrodinger方程的形式很像波动方程，而且，业(r，t）也被称为波函数，所以，很容易有这样的看法：(r，t）就像是在三维空间中传播的波，或者说，用波场描述一个粒子，或者说，粒子就像是一个波包：但是，这样的一些看法是不恰当的.我们看一个例子。设想一维空间中的势能V（x）是一个势垒.一束粒子从左侧入射（如下图所示）.有反射束和透射束，分别用两个探测器D，和D，检测反射粒子和透射粒子
3 于是 Schrödinger 方程在位置表象中的形式是 i„ @Ψ(r; t) @t = „ 2 2m r 2Ψ(r; t) + V (r; t)Ψ(r; t): 当势能 V (r; t) 不显含时间的时候, V (r; t) = V (r), 可以进行变量分离. 令 Ψ(r; t) = (r)T (t): 变量分离后, 可以得到这样形式的方程 空间部分的方程 = 时间部分的方程 = E: 这里 E 是常数. 容易解出时间部分的方程, T (t) = e iE t/„ : 空间部分的方程实际上就是粒子的 Hamilton 量的本征方程, H (r) = E (r): (3) 在位置表象中, 方程 (3) 是关于空间位置坐标的二阶偏微分方程. 同时还要注意的是, 能量本征值 E 是未知的, 也是需要求解的. 假设我们求出了 (r), 那么就可以写出 Ψ(r; t), Ψ(r; t) = (r)e iE t/„ (4) 通过求解 (3) 式得到的 (r) 只是 H 的本征函数, 而 (4) 式也只是一个定态, 它不足以反映量子系统从某个初态 开始的随时间演化的过程 —— 除非系统的初态是哈密顿量的某个本征态. 如果系统的初态 jΨ(t)i 不是哈密顿量的本征态, 那么应该在哈密顿量的本征态上展开. 假设哈密顿量不含时, 且 能级是离散的, 记作 En, 相应的本征态为 j'ni, 那么有 jΨ(0)i = X n cn(0)j'ni 在 t 时刻, 系统的量子态是 jΨ(t)i = e iH t/„ jΨ(0)i = X n cn(0)e iEnt/„ j'ni 在位置表象中, Ψ(r; t) = X n cn(0)e iEnt/„'n(r; t) 其中 'n(r) 是本征态 j'ni 在位置表象中的波函数, 即 'n(r) = hrj'ni. Schrödinger 方程的形式很像波动方程, 而且, Ψ(r; t) 也被称为波函数, 所以, 很容易有这样的看法: Ψ(r; t) 就像 是在三维空间中传播的波, 或者说, 用波场描述一个粒子, 或者说, 粒子就像是一个波包. 但是, 这样的一些看法 是不恰当的. 我们看一个例子. 设想一维空间中的势能 V (x) 是一个势垒. 一束粒子从左侧入射 (如下图所示). 有反射束和透射束, 分别用两个 探测器 Dr 和 Dt 检测反射粒子和透射粒子
4D，反射透射入射假设粒子的反射几率和透射几率都是1/2，即pr=pt=，那么，两个探测器同时有响应的几率是多少？先讨论一维谐振子，目的是为第六章的内容提供一个具体的例证一维谐振子谐振子是一个非常重要的模型，表现在固体物理、对环境的模拟、量子光学和量子场论等多个领域中，下面叙述解决谐振子问题的两种途径，它们分别来自Lie代数方法和求解数理方程一维谐振子的哈密顿量是p21+=mo*x2H:2m2我们要求解H的本征值和本征态计算如下对易子[X2,p2]=2in(XP+PX),[X2,XP+PX=4ihX2,[P?,XP+PX]=-4ihp2表明三个厄密算子X2，P2和XP+PX构成封闭的代数结构.谐振子哈密顿量的这个特性是代数解法的基础为了是运算过程更为简洁，作无量纲化处理，令X-X哈密顿量重新写为H=ho(x+p/2).并且[X"P=i1.以下省略撒号，讨论如下形式的哈密顿量H=h(X2+p2)，[X, P] = i12定义如下两个算子at -(X +iP),(X -iP)(5)a:2V2
4 入射 反射 透射 Dr Dt 假设粒子的反射几率和透射几率都是 1/2, 即 pr = pt = 1 2 , 那么, 两个探测器同时有响应的几率是多少? 先讨论一维谐振子, 目的是为第六章的内容提供一个具体的例证. 一维谐振子 谐振子是一个非常重要的模型, 表现在固体物理、对环境的模拟、量子光学和量子场论等多个领域中. 下面叙述 解决谐振子问题的两种途径, 它们分别来自 Lie 代数方法和求解数理方程. 一维谐振子的哈密顿量是 H = P 2 2m + 1 2 m!2X 2 我们要求解 H 的本征值和本征态. 计算如下对易子 [X 2 ; P2 ] = 2i„(XP + PX); [X 2 ; XP + PX] = 4i„X 2 ; [P 2 ; XP + PX] = 4i„P 2 表明三个厄密算子 X2 , P 2 和 XP + PX 构成封闭的代数结构. 谐振子哈密顿量的这个特性是代数解法的基础. 为了是运算过程更为简洁, 作无量纲化处理, 令 X 0 = m! „ 1/2 X; P0 = 1 „m! 1/2 P 哈密顿量重新写为 H = 1 2 „!(X 02 + P 02 ) 并且 [X0 ; P0 ] = i1. 以下省略撇号, 讨论如下形式的哈密顿量 H = 1 2 „!(X 2 + P 2 ); [X; P] = i1 定义如下两个算子 a = 1 p 2 (X + iP); a = 1 p 2 (X iP) (5)
5二者的对易子[a,at] = 1(6)哈密顿量表示为ho(aat+ata) = ho(ata +H=令N=ataN是厄密算子，而且(N的本征值+）H的本征值=hの（于是关注算子N[N,a] =-a,[N,at] =at(7)设N的本征值是n，相应的的本征态记作n），即N (n) = n [n)利用对易关系(7)，有N(a [n)) = (aN -a) [n) = a(N -1) [n) = (n -1)(a [n))这表明αn）是N的本征态（未归一)，相应的本征值是n一1.算子α对N的本征态的作用效果是，使其对应的本征值减少1.所以我们称α为降算子类似地，N(a' (n) = (atN +at) (n) =at(N + 1) (n) = (n +1)(at n)at对N的本征态的作用效果是，使其对应的本征值增大1，故称之为升算子现在来证明N的本征值n是非负整数.首先，由于N=aa是半正定的，所以它的本征值满足n≥0.再注意到an）对应的本征值是n-1.用[n－1)表示与本征值n-1对应的本征态.αn）与[n1)只是相差一个归一化常数，即a[n) α[n-1)考虑ak作用于In)，得到的ak[n)，它正比于[n－k)，而且，ak[n）对应的本征值应该是n-k.而我们又知道，N的本征值只能是非负的，n一k≥0,所以k应该有一个上限，使得n-k非负.k的上限与开始的时候给定的n有关，设为Kn，这意谓着n-Kn≥0,n-Kn-1<0这同时也意谓着α|n- Kn) = 0这是因为，如果anKn）不等于零向量，那么就只能正比于[n一Kn一1)，但是与[n-Kn1)对应的本征值是负的，这违反了N的正定性.于是，a作为降算子，不能使n一Kn）降到本征值更低的本征态.接下去就有，一方面N|n-Kn)=(nK)In-Kn),另一方面N(n-Kn)=aa|n-Kn)=0
5 二者的对易子 [a; a ] = 1 (6) 哈密顿量表示为 H = 1 2 „!(aa + a a) = „! a a + 1 2 令 N = a a N 是厄密算子, 而且 H 的本征值 = „! N 的本征值 + 1 2 于是关注算子 N. [N; a] = a; [N; a ] = a (7) 设 N 的本征值是 n, 相应的的本征态记作 jni, 即 N jni = n jni 利用对易关系 (7), 有 N(a jni) = (aN a)jni = a(N 1)jni = (n 1)(a jni) 这表明 a jni 是 N 的本征态 (未归一), 相应的本征值是 n 1. 算子 a 对 N 的本征态的作用效果是, 使其对应的 本征值减少 1. 所以我们称 a 为降算子. 类似地, N(a jni) = (a N + a )jni = a (N + 1)jni = (n + 1)(a jni) a 对 N 的本征态的作用效果是, 使其对应的本征值增大 1, 故称之为升算子. 现在来证明 N 的本征值 n 是非负整数. 首先, 由于 N = a a 是半正定的, 所以它的本征值满足 n > 0. 再注意到 a jni 对应的本征值是 n 1. 用 jn 1i 表示与本征值 n 1 对应的本征态. a jni 与 jn 1i 只是相差一个归一化常数, 即 a jni / jn 1i 考虑 a k 作用于 jni, 得到的 a k jni, 它正比于 jn ki, 而且, a k jni 对应的本征值应该是 n k. 而我们又知道, N 的本征值只能是非负的, n k > 0, 所以 k 应该有一个上限, 使得 n k 非负. k 的上限与开始的时候给定的 n 有 关, 设为 Kn, 这意谓着 n Kn > 0; n Kn 1 < 0 这同时也意谓着 a jn Kni = 0 这是因为, 如果 a jn Kni 不等于零向量, 那么就只能正比于 jn Kn 1i, 但是与 jn Kn 1i 对应的本征值是 负的, 这违反了 N 的正定性. 于是, a 作为降算子, 不能使 jn Kni 降到本征值更低的本征态. 接下去就有, 一方 面 N jn Kni = (n Kn)jn Kni, 另一方面 N jn Kni = a a jn Kni = 0