第五章两体量子系统I两体量子系统是一个复合系统，由子系统A和另一个子系统B构成.可以把两个子系统形象地想象为两个微观粒子，也可以把它们视作同一个粒子的两个不同性质的自由度（freedom).这里说的自由度并不是理论力学中说的广义坐标的个数，而是不能在同一个Hilbiert空间中描述的状态.例如，在SG实验中，需要考虑银原子的磁矩和空间位置，前者和粒子的自旋角动量有关，需要在有限维的C空间中描述，后者需要在无穷维的Hilbert空间中描述于是在分析该实验的时候，可以说我们面对的是一个两体量子系统直积空间中的向量设光pA和pB分别是描述子系统A和子系统B的Hilbert空间.这里仍然考虑有限维的情形.设其维数分别是dim（A）=dA和dimeB）=dB，并且分别为它们赋予自然基向量组i）和（lu，其中i=0,1.·，d4一1μ=0,1.，dB-1,这里我们分别用拉丁字母和希腊字母表示e4和eB的基向量.所谓自然基向量li）是这样的：在它的列向量表示形式中，第i+1行的分量是1，其余各行均为0，即(100010[0) = 0[1] =2:...0光B的基向量组与此类似描述两体量子系统AB的量子态的Hilbert空间光是A和光B的直积，即光=4B，它是一个d4×dB维的复空间，自然基向量组记作(li）lu))，简写为(li)[u)),或者(liμ).这里，符号表示直积（directproduct),它的运算规则是这样的.设X是一个m×n的矩阵，Y是另一个矩阵.X的第i行第j列的矩阵元记作xij.X和Y的直积就是(X11YX12Y...XinYX21YX22Y.X2nYX&Y-:XmiYXm2Y..XmnY)简单地说，把XY看成是一个由mn个小矩阵拼成的大矩阵，每一个小矩阵是xiY.于是，光的某个基向量，比1
第五章 两体量子系统 I 两体量子系统是一个复合系统, 由子系统 A 和另一个子系统 B 构成. 可以把两个子系统形象地想象为两个微观粒 子, 也可以把它们视作同一个粒子的两个不同性质的自由度 (freedom). 这里说的自由度并不是理论力学中说的广 义坐标的个数, 而是不能在同一个 Hilbiert 空间中描述的状态. 例如, 在 SG 实验中, 需要考虑银原子的磁矩和空间 位置, 前者和粒子的自旋角动量有关, 需要在有限维的 C 2 空间中描述, 后者需要在无穷维的 Hilbert 空间中描述. 于是在分析该实验的时候, 可以说我们面对的是一个两体量子系统. 直积空间中的向量 设 H A 和 H B 分别是描述子系统 A 和子系统 B 的 Hilbert 空间. 这里仍然考虑有限维的情形. 设其维数分别是 dim(H A) = d A 和 dim(H B) = d B, 并且分别为它们赋予自然基向量组 fjiig 和 fjig, 其中 i = 0; 1 ; d A 1, = 0; 1 ; d B 1, 这里我们分别用拉丁字母和希腊字母表示 H A 和 H B 的基向量. 所谓自然基向量 jii 是这样 的: 在它的列向量表示形式中, 第 i + 1 行的分量是 1, 其余各行均为 0, 即 j0i = 0 B B B B B B B B @ 1 0 0 : : : 0 1 C C C C C C C C A ; j1i = 0 B B B B B B B B @ 0 1 0 : : : 0 1 C C C C C C C C A ; ; jd A 1i = 0 B B B B B B B B @ 0 0 0 : : : 1 1 C C C C C C C C A : H B 的基向量组 fjig 与此类似. 描述两体量子系统 AB 的量子态的 Hilbert 空间 H 是 H A 和 H B 的直积, 即 H = H A ˝ H B, 它是一个 d A d B 维的复空间, 自然基向量组记作 fjii ˝ jig, 简写为 fjii jig, 或者 fjiig. 这里, 符号 ˝ 表示直积 (direct product), 它的运算规则是这样的. 设 X 是一个 m n 的矩阵, Y 是另一个矩阵. X 的第 i 行第 j 列的矩阵元记作 xij . X 和 Y 的直积就是 X ˝ Y = 0 B B B B B @ x11Y x12Y x1nY x21Y x22Y x2nY : : : : : : : : : : : : xm1Y xm2Y xmnY 1 C C C C C A : 简单地说, 把 X ˝ Y 看成是一个由 mn 个小矩阵拼成的大矩阵, 每一个小矩阵是 xij Y . 于是, H 的某个基向量, 比 1
2如[0)[1),它的列向量形式可以表示为U[0) [1) OHilbert空间光e中任意一个态矢量/）可以在（iμ上展开，dA-1 dB-1[亚 =Zcili) l)(1)1=0μ=0其中系数ciu=《iμ|亚)，并且满足ilciul2=1.以后，在不会引起歧义的情况下，我们将略去求和的上下限.另外，我们把这样的两体系统简称为d4dB系统例如，22量子系统的纯态可以表示为C2C2中的归一化的向量，[) = Coo [00) + C01 [01) + C10 |10) + C11 [11)其中[coo/2+[co1/2+|c1o/2+[c11/2=1.虽然Hilbert空间光是ye4和yeB的直积，但是光中的量子态却并不是总能表示为e4中的量子态和eB中的量子态的直积.如果）可以表示为4B)，其中[4)4,BB,那么）被称为直积态(product state).可以选择光4或光B的其它形式的基向量，将）表示成其它形式.下面的定理给出了最简单的表示形式定理（施密特(Schmidt)分解）对于给定的某个量子态|）Eye，总能找到eA和eB的特定的基向量，记作(lei))和(fu)，使得l）在(lei)lfu》上的展开形式为d(2)[) =Ecileifi),j=0其中d=minid4,dB一1.并且每一个ci都是正的稍后证明这个结论.直积空间上的矩阵考虑d4dB维的空间上的的算符X，它可以表示为矩阵形式1,在自然基向量li)lu）上X=Exin.jvliu)(jvl(3)ijuv其中矩阵元xiujv就是Xiu,jv= (i|XIjv) = Tr(X liv) (iμl)i若非特别指明，所说的矩阵是dAdB×dAdB的方阵
2 如 j0i j1i, 它的列向量形式可以表示为 j0i j1i = 0 B B B B B B B B @ 1 0 0 : : : 0 1 C C C C C C C C A ˝ 0 B B B B B B B B @ 0 1 0 : : : 0 1 C C C C C C C C A = 0 B B B B B B B B B B B @ 0 1 0 : : : : : : 0 1 C C C C C C C C C C C A : Hilbert 空间 H 中任意一个态矢量 jΨi 可以在 fjiig 上展开, jΨi = d XA1 i=0 d XB 1 =0 ci jii ji (1) 其中系数 ci = hijΨi, 并且满足 P i; jcij 2 = 1. 以后, 在不会引起歧义的情况下, 我们将略去求和的上下限. 另 外, 我们把这样的两体系统简称为 d A ˝ d B 系统. 例如, 2 ˝ 2 量子系统的纯态可以表示为 C 2 ˝ C 2 中的归一化的向量, jΨi = c00 j00i + c01 j01i + c10 j10i + c11 j11i 其中 jc00j 2 + jc01j 2 + jc10j 2 + jc11j 2 = 1. 虽然 Hilbert 空间 H 是 H A 和 H B 的直积, 但是 H 中的量子态却并不是总能表示为 H A 中的量子态和 H B 中 的量子态的直积. 如果 jΨi 2 H 可以表示为 j Ai ˝ j Bi, 其中 j Ai 2 H A, j Bi 2 H B, 那么 jΨi 被称为直积态 (product state). 可以选择 H A 或 H B 的其它形式的基向量, 将 jΨi 表示成其它形式. 下面的定理给出了最简单的表示形式. 定理 (施密特 (Schmidt) 分解) 对于给定的某个量子态 jΨi 2 H , 总能找到 H A 和 H B 的特定的基向量, 记作 fjeiig 和 fjfig, 使得 j i 在 fjeii jfig 上的展开形式为 jΨi = X d j =0 cj jej i jfj i; (2) 其中 d = minfd A; d Bg 1, 并且每一个 cj 都是正的. 稍后证明这个结论. 直积空间上的矩阵 考虑 d Ad B 维的空间 H 上的的算符 X, 它可以表示为矩阵形式 1 , 在自然基向量 jii ji 上 X = X ij xi;j jii hjj (3) 其中矩阵元 xi;j 就是 xi;j = hij X jji = Tr(X jji hij): 1若非特别指明, 所说的矩阵是 d Ad B d Ad B 的方阵.
3这里，用双指标标记矩阵的行和列，对行的标记是i，对列的标记是jv.还可以把矩阵X表示为X=Exiujv li)(jl8lu)(ol(4)ijuv一般地，Hilbert空间光上任意一个矩阵不一定总能表示为光e4上的矩阵和光B上的矩阵的直积，但是总可以表示为如下分解形式X-ZMi&Ni(5)1其中M和N分别是光A和光B上的矩阵.表达式（4）体现了这一点如果X是上的厄密矩阵，即X=Xt，那么（5）式中的M和N可以是厄密的.实际上，可以在A和B上选择适当的基，将厄密矩阵表示为实系数的展开形式直积空间光上的酉矩阵U也不能总是表示为U4UB的直积形式.不具有直积形式的酉变换是整体酉变换，而UAUB描述的是局部酉变换在讨论两体问题的时候，对于某个子空间上的矩阵，比如说，A是光A上的矩阵，更严格的写法是A1B.类似地光B上的矩阵B应该理解为1B.添加的单位算符意谓着对相应的子空间中的向量不作任何操作.如果矩阵A和B分属不同的Hilbert空间，它们一定是对易的，即[A, B] = [A& 1, 1 β B] = 0在讨论两体量子系统作为一个整体随时间演化的时候，需要给出整个系统的哈密顿量，例如H = HA+HB +Hint,其中H4和HB分别是是子系统A和B的局部的定域的哈密顿量，它们分别是A和兆B上的厄米算符，Hint则表示二者间的相互作用，它是光上的厄米算符，所以，上式应该写为H=HA&1B+1A&HB+Hint(6)以后，在不致混淆的情况下，我们有时会省略表明子系统的上标，对矩阵的部分变换常见的对Hilbert空间光上的矩阵的操作有转置、厄密共轭和求迹.矩阵X的转置记作XTXT=Exiujvlv)(iulijuy也可以等价地写为=Zijujv,iuliu)《jv.厄密共轭是Xt =Zxiuj ljv) (iulju可以等价地写为Xt=Zijwxiv.iuliu)《jivl.对矩阵X在整个空间上求迹，结果是Tr(X)=-Z(i'μlX li'μ)Vr=-EExiuji ("wlu)(ivli'u)i'u'iju
3 这里, 用双指标标记矩阵的行和列, 对行的标记是 i, 对列的标记是 j. 还可以把矩阵 X 表示为 X = X ij xi;j jiihj j ˝ jihj (4) 一般地, Hilbert 空间 H 上任意一个矩阵不一定总能表示为 H A 上的矩阵和 H B 上的矩阵的直积, 但是总可以表 示为如下分解形式 X = X i Mi ˝ Ni (5) 其中 Mi 和 Ni 分别是 H A 和 H B 上的矩阵. 表达式 (4) 体现了这一点. 如果 X 是 H 上的厄密矩阵, 即 X = X , 那么 (5) 式中的 Mi 和 Ni 可以是厄密的. 实际上, 可以在 H A 和 H B 上 选择适当的基, 将厄密矩阵表示为实系数的展开形式. 直积空间 H 上的酉矩阵 U 也不能总是表示为 U A ˝ U B 的直积形式. 不具有直积形式的酉变换是整体酉变换, 而 U A ˝ U B 描述的是局部酉变换. 在讨论两体问题的时候, 对于某个子空间上的矩阵, 比如说, A 是 H A 上的矩阵, 更严格的写法是 A ˝ 1 B. 类似地, H B 上的矩阵 B 应该理解为 1 ˝ B. 添加的单位算符意谓着对相应的子空间中的向量不作任何操作. 如果矩阵 A 和 B 分属不同的 Hilbert 空间, 它们一定是对易的, 即 [A; B] = [A ˝ 1; 1 ˝ B] = 0 在讨论两体量子系统作为一个整体随时间演化的时候, 需要给出整个系统的哈密顿量, 例如 H = HA + HB + Hint ; 其中 HA 和 HB 分别是是子系统 A 和 B 的局部的定域的哈密顿量, 它们分别是 H A 和 H B 上的厄米算符, Hint 则表示二者间的相互作用, 它是 H 上的厄米算符, 所以, 上式应该写为 H = HA ˝ 1 B + 1 A ˝ HB + Hint : (6) 以后, 在不致混淆的情况下, 我们有时会省略表明子系统的上标. 对矩阵的部分变换 常见的对 Hilbert 空间 H 上的矩阵的操作有转置、厄密共轭和求迹. 矩阵 X 的转置记作 XT , X T = X ij xi;j jji hij 也可以等价地写为 XT = P ij xj ;i jii hjj. 厄密共轭是 X = X ij x i;j jji hij 可以等价地写为 X = P ij x j ;i jii hjj. 对矩阵 X 在整个空间上求迹, 结果是 Tr(X) = X i 00 hi 0 0 j X ji 0 0 i = X i 00 X ij xi;j hi 0 0 jii hjji 0 0 i
4Exiuiuiu除了上述常见的操作以外，还有一些仅仅涉及子空间eA或eB的操作，即部分转置（partialtranspose)和部分迹(partial trace).定义（部分转置）Hilbert空间光=ye4eB上的矩阵X表示为（3)式，在4空间中的转置记作XTa，其形式是xTA=xiu,jvljn) (iv]=xiu,jvli(il& lμ)(ul.(7)ijuvijuv在yeB空间中的转置记作XTB，其形式是xTB=Exinjvliv)(jul=Exiujvli)jlv)ul.(8)ijuvijuv定义（部分迹）对形如（3）式的矩阵X在空间B中求迹，得到一个A上的矩阵，记作X4X4 = TrB(X)=xin,ju li)(jl.(9)ju类似地，对X在空间光PA中求迹，得到一个B上的矩阵，记作XBXB = Tra(X) =xiu,ivlμ)(ul.(10)iuvX4和XB分别称为X在eA和yeB上的约化矩阵例如，对于C2C2上的矩阵X，下面两个图描述了部分转置和部分迹*********1*************米*******3TA+X图1：将图中用虚线连接的矩阵元对调，得到关于矩阵X的部分转置
4 = X i xi;i 除了上述常见的操作以外, 还有一些仅仅涉及子空间 H A 或 H B 的操作, 即部分转置 (partial transpose) 和部分迹 (partial trace). 定义 (部分转置) Hilbert 空间 H = H A ˝ H B 上的矩阵 X 表示为 (3) 式, 在 H A 空间中的转置记作 XTA , 其形式 是 X TA = X ij xi;j jji hij = X ij xi;j jj ihij ˝ jihj : (7) 在 H B 空间中的转置记作 XTB , 其形式是 X TB = X ij xi;j jii hjj = X ij xi;j jiihj j ˝ jihj : (8) 定义 (部分迹) 对形如 (3) 式的矩阵 X 在空间 H B 中求迹, 得到一个 H A 上的矩阵, 记作 X A, X A = TrB(X) = X ij xi;j jiihj j : (9) 类似地, 对 X 在空间 H A 中求迹, 得到一个 H B 上的矩阵, 记作 XB, X B = TrA(X) = X i xi;i jihj : (10) X A 和 XB 分别称为 X 在 H A 和 H B 上的约化矩阵. 例如, 对于 C 2 ˝ C 2 上的矩阵 X, 下面两个图描述了部分转置和部分迹. X TA X TB 图 1: 将图中用虚线连接的矩阵元对调, 得到关于矩阵 X 的部分转置
5(1, 1)(1, 2)(1, 2)(11*米米十**1*1(2,1)(2,2)(2, 1)(2, 2)BA图2：将图中用虚线圈起来的矩阵元相加，再将相加的结果放在2×2矩阵的相应的位置，得到关于矩阵X的部分迹一般地，X≠X4XB.还可以看到，在整个空间e上求迹等于先在e4(B）上求迹，然后继续在B(4)上求迹，Tr(X) = TrA[TrB(X)] = Tr[TrA(X)]其它一些性质：·设AEC(PA),CEC(PAJB)Tr(A TrB C) = Tr (A 1)C)(11)将C表示为C=ulu)(lμ,v其中6u是光4上的矩阵（不是C的矩阵元）.容易看出TrBC-EuA计算（11）式的左端，这是在光A中的求迹(11)式左端=TrAuu再看（11）式的右端，先求TrB有TrB(A1)C)= TrB [(A 1)(%u /μ)(ul)]u,v=TrB[ASu[μ)(u]]L,v=EA%u4再计算TrA，得到（11)式的左端
5 (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) X A X B 图 2: 将图中用虚线圈起来的矩阵元相加, 再将相加的结果放在 2 2 矩阵的相应的位置, 得到关于矩阵 X 的部分 迹. 一般地, X ¤ X A ˝ XB. 还可以看到, 在整个空间 H 上求迹等于先在 H A(B) 上求迹, 然后继续在 H B(A) 上求迹, Tr(X) = TrA TrB(X) = TrB TrA(X) 其它一些性质: 设 A 2 L(H A), C 2 L(H A ˝ H B), Tr(A TrB C) = Tr (A ˝ 1)C (11) 将 C 表示为 C = X ; C ˝ jihj 其中 C 是 H A 上的矩阵 (不是 C 的矩阵元). 容易看出 TrB C = X C 计算 (11) 式的左端, 这是在 H A 中的求迹, (11) 式左端 = Tr A X C 再看 (11) 式的右端, 先求 TrB, 有 TrB (A ˝ 1)C = X ; TrB A ˝ 1 C ˝ jihj = X ; TrB AC ˝ jihj = X AC 再计算 TrA, 得到 (11) 式的左端.