第八章角动量I这一章的主要内容1.角动量是空间旋转变换的生成元，有其特定的代数结构2.角动量的代数结构决定了角动量的本征值和本征态3.利用自旋角动量，讨论了互文性问题4.从旋转变换的角度重新讨论轨道角动量5.向量算子，Wigner-Eckart定理1.Galileo时空变换非相对论情形下的时空变换是Galileo变换：r-→r'=Rr+a+vt(1)t-→t=t+s其中，R描述空间旋转变换，它是一个3×3的特殊正交矩阵.aER3表示空间平移向量.v是一个惯性系相对于另一个惯性系的速度.s是时间平移量.Galileo变换构成Galileo群.在量子力学中，描述微观粒子状态的量不是位置或动量，而是量子态，而观测量则要表示为厄密算子的形式，所以量子力学中讨论时空变换就不仅仅是（1）式所示的内容，而是要关注时空变换对量子态和观测量的影响对于空间的变换是空间平移和空间旋转，这将影响到量子态在位置空间中的形式，即波函数.所以，下面的讨论实际上是关于位置表象中的量子态而言的，但是，得到的结论将推广到其它情形，例如描述粒子的内属性的量子态。2.Wigner定理在时空变换下，量子态和力学量分别变为→，A→A须满足两个条件：1.本征值不变，即(2)如果α=，那么=1
第八章 角动量 I 这一章的主要内容 1. 角动量是空间旋转变换的生成元, 有其特定的代数结构. 2. 角动量的代数结构决定了角动量的本征值和本征态. 3. 利用自旋角动量, 讨论了互文性问题. 4. 从旋转变换的角度重新讨论轨道角动量. 5. 向量算子, Wigner-Eckart 定理. 1. Galileo 时空变换 非相对论情形下的时空变换是 Galileo 变换: r ! r 0 = Rr + a + vt t ! t 0 = t + s (1) 其中, R 描述空间旋转变换, 它是一个 3 3 的特殊正交矩阵. a 2 R3 表示空间平移向量. v 是一个惯性系相对于另一个 惯性系的速度. s 是时间平移量. Galileo 变换构成 Galileo 群. 在量子力学中, 描述微观粒子状态的量不是位置或动量, 而是量子态, 而观测量则要表示为厄密算子的形式, 所以量子力 学中讨论时空变换就不仅仅是 (1) 式所示的内容, 而是要关注时空变换对量子态和观测量的影响. 对于空间的变换是空间平移和空间旋转, 这将影响到量子态在位置空间中的形式, 即波函数. 所以, 下面的讨论实际上是 关于位置表象中的量子态而言的, 但是, 得到的结论将推广到其它情形, 例如描述粒子的内禀属性的量子态. 2. Wigner 定理 在时空变换下, 量子态和力学量分别变为 j i ! j 0 i; A ! A 0 : 须满足两个条件: 1. 本征值不变, 即 如果 A j˛j i = aj j˛j i, 那么 A 0 j˛ 0 j i = aj j˛ 0 j i. (2) 1
2.观测结果的几率不变，即(3) 如果=cα变为=α),那么[c=cWigner定理（参看[l)与第2个条件密切相关Wigner定理设）和[)是Hilbert空间中的两个向量,在变换U的作用下,）→=),）→=U).如果U能够保证这两个向量的内积的模不变，那么U是酉变换或者是反酉变换根据Wigner定理，时空变换反映在量子态上，要么是酉变换，要么是反酉变换酉变换是我们熟悉的，它保证两个量子态的内积在变换前后不变，下面介绍反酉变换，（反酉变换反酉变换属于反线性变换，满足如下条件的算子是反线性算子，实现反线性变换，(4)A(c[1)+22))=A[1)+A[2)反线性算子包含复共轭的操作.对于反线性算子A，Ac=c*A, CEC两个反线性算子的相乘得到一个线性算子如果·A是反线性算子，·存在逆A-1对于任意的，有=那么A是反酉算子以下过程将证明，在反酉算子变换前后，两个量子态之间的内积互为复共轭[)=A|),(")=A[)Let [) = [) + l), ) = A) = [) + [')I==(+()I) =《=()+()+()+()I 1) I2 = I1 1) I2Re ()= Re(')Let [n)= [)+i l), [n') = A(n) = A [)-iA[)Im () =-Im ("ls0*)2
2. 观测结果的几率不变, 即 如果 j i = X j cj j˛j i 变为 j 0 i = X j c 0 j j˛ 0 j i, 那么 jcj j 2 = jc 0 j j 2 , (3) Wigner 定理 (参看 [1]) 与第 2 个条件密切相关. Wigner 定理 设 j i 和 j'i 是 Hilbert 空间中的两个向量, 在变换 U 的作用下, j i ! j 0 i = U j i, j'i ! j' 0 i = U j'i. 如果 U 能够保证这两个向量的内积的模不变, 那么 U 是酉变换或者是反酉变换. 根据 Wigner 定理, 时空变换反映在量子态上, 要么是酉变换, 要么是反酉变换. 酉变换是我们熟悉的, 它保证两个量子态的内积在变换前后不变. 下面介绍反酉变换. 反酉变换 反酉变换属于反线性变换, 满足如下条件的算子是反线性算子, 实现反线性变换, A(c1 j 1i + c2 j 2i) = c 1 A j 1i + c 2 A j 2i (4) 反线性算子包含复共轭的操作. 对于反线性算子 A, Ac = c A; c 2 C 两个反线性算子的相乘得到一个线性算子. 如果 • A 是反线性算子, • 存在逆 A 1 , • 对于任意的 j i, 有 j i = A j i , 那么 A 是反酉算子. 以下过程将证明, 在反酉算子变换前后, 两个量子态之间的内积互为复共轭. j 0 i = A j i; j' 0 i = A j'i Let ji = j i + j'i; j 0 i = A ji = j 0 i + j' 0 i k ji k 2 = hji = h j i + h'j'i + h j'i + h'j i k j 0 i k 2 = h 0 j 0 i = h 0 j 0 i + h' 0 j' 0 i + h 0 j' 0 i + h' 0 j 0 i k ji k 2 = k j 0 i k 2 Re h j'i = Re h 0 j' 0 i Let ji = j i + i j'i, j 0 i = A ji = A j i iA j'i Im h j'i = Im h 0 j' 0 i 2
《)=()*(4)式定义了反线性算子右矢的作用结果，但是没有作用于左矢的定义.此前，我们通过考虑线性泛函定义了左失.对于任意的线性算子，可以定义线性泛函.但是现在我们面临的是反线性算子.所以，我们不将反线性算子作用于左失，也不能写 At反酉变换将被用来描述在下一章讨论的时间反演变换Wigner定理的主要内容设[）和lo）是Hilbert空间中的任意两个向量.用表示|）的等价类，=()/)=c),cC,c=1)也就是说，等价类表示所有与l）仅相差一个相因子的向量的集合.实际上是投影空间(或者说rayspace)中的向量，须注意到不属于）所在的Hilbert空间.简单地，我们可以把视作密度算子=.类似地，表示[o)的等价类，简单地视作=X考虑投影空间中的变换T,#→=T$→=T对于变换T有这样的要求，(5)()=()这里（）表示投影空间中的内积（而不是Hilbert空间中的内积).但是，我们还没有定义投影空间中的内积.仍然采用简单的做法，既然==o,我们就把投影空间中的内积写作(,) =T() = /() 于是我们希望把(5)改写为(6)1()=/0)12但是，这里有个问题，变换T是作用于投影空间中的向量的，我们并不知道相应的Hilbert空间中的向量该如何变化，即)=? )=?Wigner定理的主要内容就是：对于任何一个满足条件(5)的投影空间中的变换T，总是存在Hilbert空间中的变换U，使得1.如果)属于等价类，那么）一定属于等价类2. U(I) + l))=U I) +U lo).3. U(c/)) = x(c)U l),其中 c E C, x(c) = c 或者 x(c) = c*4.令）=,=),有)=()一些解释：·上述第一个条件是对变换U的基本要求.如果变换U满足这个条件，那么就说它是与变换T相容的(compatiblewith T).·仅仅根据述条件2不能说明U是线性的.Bargmann将满足U（l）+lo））=U）+Ulo）的U称为加法性的(additive).3
) h j'i = h 0 j' 0 i (4) 式定义了反线性算子右矢的作用结果, 但是没有作用于左矢的定义. 此前, 我们通过考虑线性泛函定义了左矢. 对于 任意的线性算子, 可以定义线性泛函. 但是现在我们面临的是反线性算子. 所以, 我们不将反线性算子作用于左矢, 也不 能写 A . 反酉变换将被用来描述在下一章讨论的时间反演变换. Wigner 定理的主要内容 设 j i 和 j'i 是 Hilbert 空间中的任意两个向量. 用 表示 j i 的等价类, = ˚ j 0 i ˇ ˇ j 0 i = c j i; c 2 C; jcj = 1 也就是说, 等价类 表示所有与 j i 仅相差一个相因子的向量的集合. 实际上是投影空间 (或者说 ray space) 中的向 量, 须注意到 不属于 j i 所在的 Hilbert 空间. 简单地, 我们可以把 视作密度算子 = j ih j. 类似地, ' 表示 j'i 的等价类, 简单地视作 ' = j'ih'j. 考虑投影空间中的变换 T, ! 0 = T ; ' ! ' 0 = T' 对于变换 T 有这样的要求, ( ; ') = ( 0 ; '0 ) (5) 这里 (; ) 表示投影空间中的内积 (而不是 Hilbert 空间中的内积). 但是, 我们还没有定义投影空间中的内积. 仍然采用 简单的做法, 既然 = j ih j, ' = j'ih'j, 我们就把投影空间中的内积写作 ( ; ') = Tr( ') = jh j'ij 2 于是我们希望把 (5) 改写为 jh j'ij 2 = jh 0 j' 0 ij 2 (6) 但是, 这里有个问题, 变换 T 是作用于投影空间中的向量的, 我们并不知道相应的 Hilbert 空间中的向量该如何变化, 即 j 0 i =? j' 0 i =? Wigner 定理的主要内容就是: 对于任何一个满足条件 (5) 的投影空间中的变换 T, 总是存在 Hilbert 空间中的变换 U, 使 得 1. 如果 j i 属于等价类 , 那么 U j i 一定属于等价类 T . 2. U(j i + j'i) = U j i + U j'i. 3. U(c j i) = (c)U j i, 其中 c 2 C, (c) = c 或者 (c) = c . 4. 令 j 0 i = U j i, j' 0 i = U j'i, 有 h 0 j' 0 i = h j'i 一些解释: • 上述第一个条件是对变换 U 的基本要求. 如果变换 U 满足这个条件, 那么就说它是与变换 T 相容的 (compatible with T). • 仅仅根据述条件 2 不能说明 U 是线性的. Bargmann 将满足 U(j i + j'i) = U j i + U j'i 的 U 称为加法性的 (additive). 3
·如果具有加法性的U又能满足上述条件3和4，那么就是酉的或者反酉的因此，投影空间中保持内积不变的变换（在量子力学中相当于保持几率不变的变换）体现在态空间(Hilbert空间）中的变换就是酉变换或者反酉变换还需要考虑的是U变换的唯一性.按照Bargmann文中的话说It is of course important to know to what extent U is determined by a ray mapping T which preservesinnerproducts关于这个问题，有下面的定理。定理设T是保证投影空间的向量的内积不变的变换.如果Ui和U2是Hilbert空间上的与T相容的并且具有加法性的(additive)变换，那么它们只能相差一个恒定的单位复数，即,U2=U,e,10|=1.注意这个定理并不要求Ui和Uz满足Wigner定理中的条件3或条件4，它们只要与T相容并且具有加法性就可以了因此，结合Wigner定理，有一般性的结论：保证量子态的内积的模不变的变换是酉变换或者反酉变换3.群与代数在整个这门课中，我们反复提到并使用Lie代数和Lie群之间的联系：无穷小变换Lie群Lie代数exp关于这件事，参考[2]中的第4章和第7章，并建议回顾SU(2)变换的生成元的推导过程下面抄一段该书第4章的摘要：The study of Liegroups can be greatlyfacilitated by linearizing thegroup in the neighborhood of itsidentity.This results in a structure called a Liealgebra.The Lie algebra retains most, but not quite all, ofthepropertiesoftheoriginal Liegroup.Moreover,mostoftheLiegrouppropertiescanberecoveredbythe inverse of the linearization operation, carried out by the ExPonential mapping. Since the Lie algebrais a linear vector space, it can be studied using all the standard tools available for linear vector spaces.Inparticular,wecandefineconvenientinnerproductsandmakestandardchoicesofbasisvectors.Theproperties of a Lie algebra in the neighborhood of the origin are identified with the properties of theoriginal Lie group in the neighborhood of the identity. These structures, such as inner product andvolumeelement,areextendedovertheentiregroupmanifoldusingthegroupmultiplicationoperation4.空间平移变换在讨论位置表象和动量表象的时候说过空间平移变换，这里再重复一遍，算是空间旋转变换的铺垫空间平移变换这一操作可以面向不同的对象，有三种不同的情形：4
• 如果具有加法性的 U 又能满足上述条件 3 和 4, 那么就是酉的或者反酉的. 因此, 投影空间中保持内积不变的变换 (在量子力学中相当于保持几率不变的变换) 体现在态空间 (Hilbert 空间) 中的变 换就是酉变换或者反酉变换. 还需要考虑的是 U 变换的唯一性. 按照 Bargmann 文中的话说 It is of course important to know to what extent U is determined by a ray mapping T which preserves inner products. 关于这个问题, 有下面的定理. 定理 设 T 是保证投影空间的向量的内积不变的变换. 如果 U1 和 U2 是 Hilbert 空间上的与 T 相容的并且具有加法性的 (additive) 变换, 那么它们只能相差一个恒定的单位复数, 即, U2 = U1, jj = 1. 注意这个定理并不要求 U1 和 U2 满足 Wigner 定理中的条件 3 或条件 4, 它们只要与 T 相容并且具有加法性就可以了. 因此, 结合 Wigner 定理, 有一般性的结论: 保证量子态的内积的模不变的变换是酉变换或者反酉变换. 3. 群与代数 在整个这门课中, 我们反复提到并使用 Lie 代数和 Lie 群之间的联系: Lie 群 无穷小变换 )* exp Lie 代数 关于这件事, 参考 [2] 中的第 4 章和第 7 章, 并建议回顾 SU(2) 变换的生成元的推导过程. 下面抄一段该书第 4 章的摘要: The study of Lie groups can be greatly facilitated by linearizing the group in the neighborhood of its identity. This results in a structure called a Lie algebra. The Lie algebra retains most, but not quite all, of the properties of the original Lie group. Moreover, most of the Lie group properties can be recovered by the inverse of the linearization operation, carried out by the EXPonential mapping. Since the Lie algebra is a linear vector space, it can be studied using all the standard tools available for linear vector spaces. In particular, we can define convenient inner products and make standard choices of basis vectors. The properties of a Lie algebra in the neighborhood of the origin are identified with the properties of the original Lie group in the neighborhood of the identity. These structures, such as inner product and volume element, are extended over the entire group manifold using the group multiplication operation. 4. 空间平移变换 在讨论位置表象和动量表象的时候说过空间平移变换, 这里再重复一遍, 算是空间旋转变换的铺垫. 空间平移变换这一操作可以面向不同的对象, 有三种不同的情形: 4
1.对空间位置坐标进行平移,这就是r-→r=r+a，其中a是某个常矢量，表示平移量2.考虑位置坐标的函数f(r),在空间平移变换下变为另一种函数形式于"(r),这个函数形式是怎样的？3.考虑空间位置算子R，在空间平移变换下变为什么？（第1种情形）平移变换T(a)作用于向量r,得到另一个向量r=T(a)r=r+a,或者r=T-1(a)r=r-a（第2种情形）考虑简单的沿x方向的平移，平移的对象是函数f(x).形象地说，将函数f(x)的图像整体(比如说)向右平移一段距离a，于是得到另一个函数，记作(x),如图1所示，显然f(x)=f(x-a)图l:将函数f(x）向右平移a也可以在两个参考系中描述.设想有两个参考系，S和S，它们的空间位置坐标分别用x和x表示.参考系S'在S的右侧,相距a.在S中有观测者A,看到的函数是f(x).在参考系S'中,有观测者B.如果B在参考系S'中看到的函数图像(用f（x）表示）等同于A在参考系S中看到的函数图像，那么就应该有f'(x)=f(x)以图1所示的函数为例,A在参考系S的原点看到函数f(x）的最大值，B也应该在参考系S的原点看到函数f(x)的最大值如果把这个关系放在参考系s中描述，那么,x=x+a,f"(x+a)=f(x),或者f(x)= f(x-a)平移变换当然构成群，平移变换的算子是e-a最=e-iaPx/h,这是酉算子.f"(x) =e-iaPx/h f(x)这就是我们常说的，动量是平移变换的生成元，注1注意区别两件事情：①空间平移变换，②在不同的参考系中观察同一个函数图像。前者会改变量子态和力学量，而后者只是表象的变换.在空间平移变换下，需要将参考系S中的函数图像“推到”参考系S'中，并且满足了(x)=f(x)，从而有f(x)=f(x-a),或者f(x)=e-iaPx/hf(x)如果在不同的参考系中观察同一个函数，那么对于空间中的某一点，A在S系中的坐标（比如说）是xo，而B在S'系中的坐标是xo =xo-a.两个观测者A和B应该给出相同的函数值，即f(xo)=f"(xo),或者f(xo-a)=f(xo),也就是f(xo)=f(xo+a),一般地，f(x)=f(x+a), 或者 f"(x)=eiaPx/hf(x)5
1. 对空间位置坐标进行平移, 这就是 r ! r 0 = r + a, 其中 a 是某个常矢量, 表示平移量. 2. 考虑位置坐标的函数 f (r), 在空间平移变换下变为另一种函数形式 f 0 (r), 这个函数形式是怎样的? 3. 考虑空间位置算子 R, 在空间平移变换下变为什么? 第 1 种情形 平移变换 T (a) 作用于向量 r, 得到另一个向量 r 0 = T (a)r = r + a, 或者 r = T 1 (a)r 0 = r 0 a. 第 2 种情形 考虑简单的沿 x 方向的平移, 平移的对象是函数 f (x). 形象地说, 将函数 f (x) 的图像整体 (比如说) 向 右平移一段距离 a, 于是得到另一个函数, 记作 f 0 (x), 如图 1 所示, 显然 f 0 (x) = f (x a) 0 x f(x) a f ’(x)=f(x-a) 图 1: 将函数 f (x) 向右平移 a. 也可以在两个参考系中描述. 设想有两个参考系, S 和 S 0 , 它们的空间位置坐标分别用 x 和 x 0 表示. 参考系 S 0 在 S 的右 侧, 相距 a. 在 S 中有观测者 A, 看到的函数是 f (x). 在参考系 S 0 中, 有观测者 B. 如果 B 在参考系 S 0 中看到的函数图像 (用 f 0 (x 0 ) 表示) 等同于 A 在参考系 S 中看到的函数图像, 那么就应该有 f 0 (x 0 ) = f (x) 以图 1 所示的函数为例, A 在参考系 S 的原点看到函数 f (x) 的最大值, B 也应该在参考系 S 0 的原点看到函数 f 0 (x 0 ) 的 最大值. 如果把这个关系放在参考系 S 中描述, 那么, x 0 = x + a, f 0 (x + a) = f (x), 或者 f 0 (x) = f (x a) 平移变换当然构成群, 平移变换的算子是 e a @ @x = e iaPx/„ , 这是酉算子. f 0 (x) = e iaPx/„ f (x) 这就是我们常说的, 动量是平移变换的生成元. 注 1 注意区别两件事情: ① 空间平移变换, ② 在不同的参考系中观察同一个函数图像. 前者会改变量子态和力学量, 而 后者只是表象的变换. 在空间平移变换下, 需要将参考系 S 中的函数图像 “推到” 参考系 S 0 中, 并且满足 f 0 (x 0 ) = f (x), 从而有 f 0 (x) = f (x a), 或者 f 0 (x) = e iaPx/„f (x). 如果在不同的参考系中观察同一个函数, 那么对于空间中的某一点, A 在 S 系中的坐标 (比如说) 是 x0, 而 B 在 S 0 系中 的坐标是 x 0 0 = x0 a. 两个观测者 A 和 B 应该给出相同的函数值, 即 f (x0) = f 0 (x 0 0 ), 或者 f 0 (x0 a) = f (x0), 也就是 f 0 (x0) = f (x0 + a), 一般地, f 0 (x) = f (x + a); 或者 f 0 (x) = e iaPx/„f (x) 5