第六章无限维Hilbert空间彼此互补的基向量在C"空间中，两个观测量对应的厄密矩阵分别是A和B，本征向量分别是[αi）和|β)，如果对于任意的i和j，总有[《αiIβ,》=云，那么这两个观测量是互补观测量，两组基向量(lαi》）和（Iβ》是互补的基向量。例如C2空间中的ox，,和α2是两两彼此互补的观测量一个关于互补基向量的基本定理B1=（11)，102），，10n）)是Cn的基，酉变换U作用于基向量，使其以如下方式循环平移U)=β, [j+1),Iβ/=1,(n+1)=[01)西变换U的正交归一的本征向量的集合记作B2 = (101), [42),(.., [n))那么，B1和B2是互补基向量设U的本征值为k，即Uk）=ukk)，当然，[uk|=1.对于每一个k=1,2,,n，有)=()= [β1 (x/02) = [(k102) 1于是有[(k91) /=|(k|02) /=.=(k|0n) ]再考虑，一方面，=()=1jj另一方面，El0)=nl0m)12.m=1,2...,n所以，Kklm)/=六，说明Bi和B2是互补基向量1
第六章 无限维 Hilbert 空间 彼此互补的基向量 在 Cn 空间中, 两个观测量对应的厄密矩阵分别是 A 和 B, 本征向量分别是 j˛ii 和 ˇ ˇˇj ˛ , 如果对于任意的 i 和 j , 总有 ˇ ˇh˛i jˇj i ˇ ˇ = p 1 n , 那么这两个观测量是互补观测量, 两组基向量 fj˛iig 和 f jˇj ig 是互补的基向量. 例如 C2 空间中的 x, y 和 z 是两两彼此互补的观测量. 一个关于互补基向量的基本定理 B1 = ˚ j'1i; j'2i; ; j'ni 是 Cn 的基. 酉变换 U 作用于基向量 ˇ ˇ'j ˛ , 使其以如下方式循环平移, U ˇ ˇ'j ˛ = ˇj ˇ ˇ'j +1˛ ; jˇj j = 1; j'n+1i = j'1i 酉变换 U 的正交归一的本征向量的集合记作 B2 = ˚ j 1i; j 2i; ; j ni 那么, B1 和 B2 是互补基向量. 设 U 的本征值为 uk, 即 U j ki = uk j ki, 当然, jukj = 1. 对于每一个 k = 1; 2; ; n, 有 jh kj'1ij = ˇ ˇu k h kjUj'1i ˇ ˇ = jˇ1 h kj'2ij = jh kj'2ij 于是有 jh kj'1ij = jh kj'2ij = = jh kj'nij 再考虑 P j ˇ ˇ ˝ k ˇ ˇ'j ˛ˇ ˇ 2 , 一方面, X j ˇ ˇ ˝ k ˇ ˇ'j ˛ˇ ˇ 2 = X j ˝ k ˇ ˇ'j ˛ ˝'j ˇ ˇ k ˛ = 1 另一方面, X j ˇ ˇh kj'j i ˇ ˇ 2 = njh kj'mij2 ; m = 1; 2; ; n 所以, jh kj'mij = p 1 n , 说明 B1 和 B2 是互补基向量. 1
2Cn上的循环平移变换构造一个酉变换U以及一组n个单位向量lαk)，k=1..·,n，它们满足如下条件，构造一个酉变换U以及一组n个单位向量αk)，k=1.…，n，它们满足如下条件，.Un = 1,. U [αk) =[αk+1), k = 1,.*.,n-1,U [αn) =[α1),即，U的作用效果是传递的，循环的实际上，我们将看到，这样一组αk）是正交归一的，可以用作C"的基，首先看看酉矩阵U的一些性质。U的本征值记作k，相应的本征向量记作lk，即Uk）=kk).酉矩阵的本征值为单位复数，又根据U"=1可知，uk=e/2，k=1,..,n显然，=1.证明一个要用到的等式=(1)>将C"的基向量选择为U的本征向量，则U具有对角形式，即nU=Zujlwi)(ilj=1U仍然是对角的7ul=Eugl)(ilj=1可以把（）表示为Ecjlui)(ujluki=-1当然可以把c,写得更具体一些，但这并不必要.还需要一个能够体现"=（）的方程，注意到U"=1，有下面的过程，J"-1=0211("-1)2((=(u-ml)≥(°) -0可以改作从l=1到l=n求和，(μ-m) ≥()=
2 Cn 上的循环平移变换 构造一个酉变换 U 以及一组 n 个单位向量 j˛ki, k = 1; ; n, 它们满足如下条件, 构造一个酉变换 U 以及一组 n 个单位向量 j˛ki, k = 1; ; n, 它们满足如下条件, U n = 1, U j˛ki = j˛k+1i, k = 1; ; n 1, U j˛ni = j˛1i. 即, U 的作用效果是传递的, 循环的. 实际上, 我们将看到, 这样一组 j˛ki 是正交归一的, 可以用作 Cn 的基. 首先看看酉矩阵 U 的一些性质. U 的本征值记作 uk, 相应的本征向量记作 j ki, 即 U j ki = uk j ki. 酉矩阵的 本征值为单位复数, 又根据 U n = 1 可知, uk = e i2 k n ; k = 1; ; n 显然, u n k = 1. 证明一个要用到的等式: j ki h kj = 1 n Xn `=1 U uk ` (1) 将 Cn 的基向量选择为 U 的本征向量, 则 U 具有对角形式, 即 U = Xn j =1 uj j j i h j j U ` 仍然是对角的 U ` = Xn j =1 u ` j j j i h j j 可以把 Pn `=1 U uk ` 表示为 Xn `=1 U uk ` = Xn j =1 cj juj i huj j 当然可以把 cj 写得更具体一些, 但这并不必要. 还需要一个能够体现 Pn `=1 U uk ` 的方程, 注意到 U n = 1, 有下 面的过程, U uk n 1 = 0 U uk 1 Xn1 `=0 U uk ` = 0 (U uk1) Xn1 `=0 U uk ` = 0 可以改作从 ` = 1 到 ` = n 求和, (U uk) Xn `=1 U uk ` = 0
3这里省去了与uk相乘的单位矩阵将(U-k)"-,()=0改写为um/m)(m/-ukCcjluj)(ujl=0m=]1=1由正交归一性得到nnjee=0j=1j=1这也就是E(ujcj -ukcj)li) (il=0j=1这要求每一项的系数（ujcj一ukci）均为零，所以有当j≠k时，cj=0(uj-uk)ci=0当j=k时，cj≠如果当j=k时，cj=0,那么"=()=0,而且对于所有的k=1,…，n都成立，这将导致U=0.于是我们得到CUZ(=c）(4由（1k）(l)k）=k）可以确定ck=n.综上所述，有（1）式下一步，构造αm），m=1,..，n.用[k）展开[αm）[αm)=([αm) [k)k=1对于展开系数，作如下设定·对于[αn)，令1k=l,...,n(2) (kan)=Jn.对于 [αm),m=1,,n-1,令1012元(3)k=l,,n(k[αm)=/n如果在（3）中令m=n，则是(2)式的结果重写各个αk)：1(4)[αn]=>/k)Vnk=11Ze2)，m=1,.n-1(5)[αm) =nk=1实际上，这已经表明[αk）是归一的并且彼此正交的.而且，容易验证U[αk）=[αk+1)
3 这里省去了与 uk 相乘的单位矩阵. 将 (U uk) Pn `=1 U uk ` = 0 改写为 Xn m=1 um j mi h mj uk Xn j =1 cj juj i huj j = 0 由正交归一性得到 Xn j =1 uj cj j j i h j j uk Xn j =1 cj j j i h j j = 0 这也就是 Xn j =1 (uj cj ukcj )j j i h j j = 0 这要求每一项的系数 (uj cj ukcj ) 均为零, 所以有 (uj uk)cj = 0 H) 8 < : 当 j ¤ k 时, cj = 0 当 j = k 时, cj ¤ 0 如果当 j = k 时, cj = 0, 那么 Pn `=1 U uk ` = 0, 而且对于所有的 k = 1; ; n 都成立, 这将导致 U = 0. 于是我 们得到 Xn `=1 U uk ` = ck j ki h kj 由 j ki h kj j ki = j ki 可以确定 ck = n. 综上所述, 有 (1) 式. 下一步, 构造 j˛mi, m = 1; ; n. 用 j ki 展开 j˛mi, j˛mi = Xn k=1 h kj˛mi j ki 对于展开系数, 作如下设定. 对于 j˛ni, 令 h kj˛ni = 1 p n ; k = 1; ; n (2) 对于 j˛mi, m = 1; ; n 1, 令 h kj˛mi = 1 p n e i2 km n ; k = 1; ; n (3) 如果在 (3) 中令 m = n, 则是 (2) 式的结果. 重写各个 j˛ki: j˛ni = 1 p n Xn k=1 j ki (4) j˛mi = 1 p n Xn k=1 e i2 km n j ki; m = 1; ; n 1 (5) 实际上, 这已经表明 j˛ki 是归一的并且彼此正交的. 而且, 容易验证 U j˛ki = j˛k+1i
4离散Fourier变换下面，我们要将αk）用作另一个西变换V的本征向量。设酉变换V有如下性质，Vn=1(/V=(+1)(" =(+/=()将V的本征值记作ve=ei2元，相应的本征向量记作[se)，将看到1pe）=[αe与(1)类似,有[pe) (pel考虑《k|和（kl之间的关系，E(xl0) (gel(k/=)l=1计算其中的一项(nloe）《pel,V12Wal((val0e) (el =1E(yn+luzknk=1-12m（中kl(6)-k=用[）右乘上式，给出1nle) =n对所有的l，选择内积《nlpe）为正实数，有1(7)(nl0e)=l=l....,nn将(7)代入(6),有F11-12元（ykln (0e/ =>nk=1也就是1Ee12元[10k)100)=(8)Vk=与前面的lαk）的形式（4)和（5)比较[)=[α，l=1.....n
4 离散 Fourier 变换 下面, 我们要将 j˛ki 用作另一个酉变换 V 的本征向量. 设酉变换 V 有如下性质, V n = 1 h kj V = h k+1j h kj V n = h k+nj = h kj 将 V 的本征值记作 v` = e i2 ` n , 相应的本征向量记作 j'`i, 将看到 j'`i = j˛`i. 与 (1) 类似, 有 j'`i h'`j = 1 n Xn k=1 V v` k 考虑 h'kj 和 h kj 之间的关系, h kj = Xn `=1 h kj'`i h'`j 计算其中的一项 h nj'`i h'`j, h nj'`i h'`j = 1 n Xn k=1 h nj V v` k = 1 n Xn k=1 h n+kj v k ` = 1 n Xn k=1 e i2 k` n h kj (6) 用 j ni 右乘上式, 给出 jh nj'`ij 2 = 1 n 对所有的 `, 选择内积 h nj'`i 为正实数, 有 h nj'`i = 1 p n ; ` = 1; ; n (7) 将 (7) 代入 (6), 有 1 p n h'`j = 1 n Xn k=1 e i2 k` n h kj 也就是 j'`i = 1 p n Xn k=1 e i2 k` n j ki (8) 与前面的 j˛ki 的形式 (4) 和 (5) 比较, j'`i = j˛`i; ` = 1; ; n
5而且k）和[ge）之间的内积也就是由（3）式给出的结果1012元k(9)(l) =Vn稍作小结·在e=Cn空间中构造了两组基向量，（1k）和（lp），满足江1)/=Jn》和（1pe）被称为两组彼此互补的基向量.。酉矩阵U和V的本征向量分别是lk）和lse)，相应的本征值分别是el2和ei2·酉矩阵U使loe）循环平移；酉矩阵V使（yk/循环平移对于）E兆，现在有两种展开方式，(=(4实际上就是表象的变换)=[E( () [k)e12（pel）==iV量子态在这两个表象之间的联系是离散Fourier变换与连续Fourier变换的比较（令=1)Fourier变换连续情形离散情形(00)=e12(alp) = elxp可以有这样的类比2元2元(10)酉矩阵U和V之间的联系接着考虑酉变换U和V的一些性质.）(kl，k=e12元U=k
5 而且 j ki 和 j'`i 之间的内积也就是由 (3) 式给出的结果, h kj'`i = 1 p n e i2 k` n (9) 稍作小结 在 H = Cn 空间中构造了两组基向量, fj kig 和 fj'`ig, 满足 jh kj'`ij = 1 p n fj kig 和 fj'`ig 被称为两组彼此互补的基向量. 酉矩阵 U 和 V 的本征向量分别是 j ki 和 j'`i, 相应的本征值分别是 e i2 k n 和 e i2 ` n . 酉矩阵 U 使 j'`i 循环平移; 酉矩阵 V 使 h kj 循环平移. 对于 j i 2 H , 现在有两种展开方式, j i = X k j ki h kj i = X ` j'`i h'`j i 实际上就是表象的变换. j i = X k hX ` h kj'`i h'`j i i j ki h kj i = X ` h kj'`i h'`j i = Xn `=1 1 p n e i2 k` n h'`j i 量子态在这两个表象之间的联系是离散 Fourier 变换. 与连续 Fourier 变换的比较 (令 „ = 1): Fourier 变换 连续情形 离散情形 hxjpi = p 1 2 e ixp h kj'`i = p 1 n e i2 k` n 可以有这样的类比 r 2 n k x; r 2 n ` p (10) 酉矩阵 U 和 V 之间的联系 接着考虑酉变换 U 和 V 的一些性质. U = X k uk j ki h kj ; uk = e i2 k n