金属杨氏模量的测量【教学目的】1、用拉伸法测定钢丝的杨氏模量。2、掌握用光杠杆测量微小伸长量的原理和方法3、学会用逐差法处理实验数据。【教学重点】微小位移的测量方法。【教学难点】望远镜，光杠杆，标尺这一测量系统的调节。【教学方法】以学生实验操作为主，适当讲授、讨论、演示相结合。【实验仪器】杨氏模量仪、光杠杆、读数望远镜、螺旋测微计、卷尺、游标卡尺、钢尺、大码一套（每个码质量为1kg）。【学时】3学时【课程讲授】提问1什么是杨氏模量？答：在弹性形变范围内，按照胡克定律，胁强F/S与胁变△L/L成正比，比例系数Y，即为：FLY=SAL称为杨氏模量。本实验采用静态拉伸法测杨氏模量，就是根据定义式进行测量。2.：从上面的分析可以看出△/的测量是本实验要解决的关键问题，为了能准确测量这样微小的伸长量，必须采用哪些特殊的方法？答：（1）采用CCD系统（CCD摄像机和监视器系统），钢丝的伸长量可以在监视器上直接显示出来：（2）采用百分表系统，钢丝的伸长量可在度盘上显示出来：（3）采用光杠杆系统，将微小伸长量放大后再测该长度。本实验采用方法（3）进行测量。3.自如何根据几何光学的原理来调节望远镜、光杠杆和标尺之间的位置关系？如何调节望远镜？答：（1）望远镜，平面镜，标尺的位置关系要仔细调节，使该标尺在平面镜中的像处在望远镜的光轴上，只有这样，才能在望远镜中看到标尺的像。（2）望远镜的光轴与平面镜的法线平行。标尺平面要竖直。望远镜的调节(1）调节目镜，看清分划板。(2）调节物镜，使“目标”成像在分划板上，这里的“目标”是指什么？（尺子）4.在码盘上加载时为什么采用正反向测量取平均的办法？？答：（为了消除弹性形变的滞后效应带来的系统误差。一、实验原理及方法（1）杨氏模量定义与物理意义
金属杨氏模量的测量 【教学目的】 1、用拉伸法测定钢丝的杨氏模量。 2、掌握用光杠杆测量微小伸长量的原理和方法。 3、学会用逐差法处理实验数据。 【教学重点】 微小位移的测量方法。 【教学难点】 望远镜，光杠杆，标尺这一测量系统的调节。 【教学方法】 以学生实验操作为主，适当讲授、讨论、演示相结合。 【实验仪器】 杨氏模量仪、光杠杆、读数望远镜、螺旋测微计、卷尺、游标卡尺、钢尺、大砝码一套（每 个砝码质量为 1kg）。 【学时】 3 学时 【课程讲授】 提问 1. 什么是杨氏模量？ 答：在弹性形变范围内，按照胡克定律，胁强F/S 与胁变ΔL/L 成正比，比例系数Y， 即为： FL Y S L = 称为杨氏模量。本实验采用静态拉伸法测杨氏模量，就是根据定义式进行测量。 2. 从上面的分析可以看出Δl 的测量是本实验要解决的关键问题，为了能准确测量 这样微小的伸长量，必须采用哪些特殊的方法？ 答：（1）采用 CCD 系统（CCD 摄像机和监视器系统），钢丝的伸长量可以在监视器 上直接显示出来； （2）采用百分表系统，钢丝的伸长量可在度盘上显示出来； （3）采用光杠杆系统，将微小伸长量放大后再测该长度。 本实验采用方法（3）进行测量。 3. 自如何根据几何光学的原理来调节望远镜、光杠杆和标尺之间的位置关系？如何调 节望远镜？ 答：（1）望远镜，平面镜，标尺的位置关系要仔细调节，使该标尺在平面镜中的像处 在望远镜的光轴上，只有这样，才能在望远镜中看到标尺的像。 （2）望远镜的光轴与平面镜的法线平行。标尺平面要竖直。 望远镜的调节 (1) 调节目镜，看清分划板。 (2) 调节物镜，使“目标”成像在分划板上，这里的“目标”是指什么？（尺子） 4. 在砝码盘上加载时为什么采用正反向测量取平均的办法？？ 答：（为了消除弹性形变的滞后效应带来的系统误差。 一、实验原理及方法 （1）杨氏模量定义与物理意义
在外力作用下固体所发生的形状变化，称为形变。形变可分为弹性形变和范性形变两类。外力撤除后物体能完全恢复原状的形变，称为弹性形变。如果外力过大，致使外力撤除后物体不能完全恢复原状而留下剩余形变，就称为范性形变。本实验中，只研究弹性形变。因此，应控制外力的大小，以保证外力撤除后物体能完全恢复原状。本实验研究最简单的一种形变，即棒状物体（金属丝）仅受沿长度方向的外力作用而发生的伸长形变（称拉伸形变）。如图1所示，设一粗细均匀的金属丝，长度为L，横截面积为S，将其上端固定，下端悬挂码，于是，金属丝受外力F的作用而发生形变，伸长了△亡。定义：比值F/S是金属丝单位面积上所受到的作用力，称为胁强，它决定了物体的形变：比值△L/L是金属丝单位长度上的形变，称为胁变，它表示金属丝形变的相对大小。根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，即B-ysL(1)LAL一砖码砖码托盘图 1其比例系数：FISY=(2)△L / L称为杨氏弹性模量，简称杨氏模量。式中各单位均用SI单位时，Y的单位为N/m。由于形变△L/L无量纲，故杨氏模量(Y)和应力（F/S)具有相同的量纲。杨氏模量仅决定于物体材料的性质，与物体的几何尺寸(S，L等）以及外力F)作用的大小无关，对一定的材料而言，Y是一个物理常数。它的物理意义为：产生单位应变所需要的应力大小，即物体发生的弹性形变的难易程度。Y越大，使物体发生一定的弹性形变所需的应力越大，或在一定的应力作用下所产生的弹性形变越小，即刚度越大。由此可见，它对于机械设计及材料性能研究的重要性。（2）杨氏模量测量由式(2)可知其右端各量中F、L、S均可用一般方法测得，但伸长量△L是一个微小变量，很难用一般方法测得。因此本实验的关键问题就是如何测准△L的问题。我们采用光杠杆镜尺法可解决这个问题。（3）光杠杆镜尺法测量微小长度变化的原理
在外力作用下固体所发生的形状变化，称为形变。形变可分为弹性形变和范性形变两类。 外力撤除后物体能完全恢复原状的形变，称为弹性形变。 如果外力过大，致使外力撤除后物体不能完全恢复原状而留下剩余形变，就称为范性形 变。本实验中，只研究弹性形变。因此，应控制外力的大小，以保证外力撤除后物体能完全 恢复原状。本实验研究最简单的一种形变，即棒状物体（金属丝）仅受沿长度方向的外力作 用而发生的伸长形变（称拉伸形变）。 如图 1 所示，设一粗细均匀的金属丝，长度为 L，横截面积为 S，将其上端固定，下端 悬挂砝码，于是，金属丝受外力 F 的作用而发生形变，伸长了△L。 定义： 比值 F/S 是金属丝单位面积上所受到的作用力，称为胁强，它决定了物体的形变； 比值△L/L 是金属丝单位长度上的形变，称为胁变，它表示金属丝形变的相对大小。 根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，即 F L Y S L = （1） 图 1 其比例系数： / / F S Y L L = （2） 称为杨氏弹性模量，简称杨氏模量。式中各单位均用 SI 单位时，Y 的单位为 N/m 2。由 于形变△L/L 无量纲，故杨氏模量(Y)和应力(F/S)具有相同的量纲。 杨氏模量仅决定于物体材料的性质，与物体的几何尺寸(S，L 等)以及外力(F)作用的大 小无关，对一定的材料而言，Y 是一个物理常数。它的物理意义为：产生单位应变所需要 的应力大小，即物体发生的弹性形变的难易程度。Y 越大，使物体发生一定的弹性形变所 需的应力越大，或在一定的应力作用下所产生的弹性形变越小，即刚度越大。由此可见， 它对于机械设计及材料性能研究的重要性。 （2）杨氏模量测量 由式(2)可知其右端各量中 F、L、S 均可用一般方法测得，但伸长量△L 是一个微小变 量，很难用一般方法测得。因此本实验的关键问题就是如何测准△L 的问题。我们采用光杠 杆镜尺法可解决这个问题。 （3）光杠杆镜尺法测量微小长度变化的原理
（a）光杠杆结构（b）光杠杆的三足构成等腰三角形图2杨氏模量仪和光杠杆图3光杠杆1一横梁夹子2一夹子3一光杠杆4一固定平台5一码托6一水平调节螺旋7一望远镜8一标尺如图2金属丝没有伸长时，平面镜垂直于平台，其法线为水平线。望远镜水平地对准平面镜，从标尺r处发出的光线经平面镜反射进入望远镜中，并与望远镜中的叉丝对准。在码托上加码后，金属丝受力而伸长△L，夹子2跟着向下移动△L，光杠杆足尖A（见图3.41）也跟着向下移动△L。这样，平面镜将以刀片BC为轴、以K为半径转过一个角度α镜面的法线也由水平位置转过α角。由光的反射定律可知，这时从标尺n处发出的光线（与水平线夹角为2α）经平面镜反射进入望远镜中，并与叉丝对准，望远镜中两次读数之差[=1-ol。由图3可得1ALtg2α=tgα=KD式中，D为标尺与平面镜之间的距离。因为α很小，所以AL1,2α=aDK消去α，得KIAL(3)2D标尺金属丝望远镜ToDA光杠杆K图4光杠杆测量微小伸长的原理
1—横梁夹子 2—夹子 3—光杠杆 4—固定平台 5—砝码托 6—水平调节螺旋 7—望远镜 8—标尺 如图 2 金属丝没有伸长时，平面镜垂直于平台，其法线为水平线。望远镜水平地对准平 面镜，从标尺 r0 处发出的光线经平面镜反射进入望远镜中，并与望远镜中的叉丝对准。在 砝码托上加砝码后，金属丝受力而伸长L，夹子 2 跟着向下移动L，光杠杆足尖 A（见图 3.41）也跟着向下移动L。这样，平面镜将以刀片 BC 为轴、以 K 为半径转过一个角度， 镜面的法线也由水平位置转过角。由光的反射定律可知，这时从标尺 r1 处发出的光线（与 水平线夹角为 2）经平面镜反射进入望远镜中，并与叉丝对准，望远镜中两次读数之差 l=|r1−r0|。由图 3 可得 tg tg2 L l K D = = 式中，D 为标尺与平面镜之间的距离。 因为 很小，所以 2 L l = = K D ， 消去 ，得 2 Kl L= D （3）
这样，通过平面镜的旋转和反射光线的变化把微小位移△L转化为容易观测的大位移1，这与机械杠杆类似，所以把这种装置称为光杠杆。将式（3）代入式（2），得Y=2DFL(4)SKI本实验就是根据式（4）求出钢丝的杨氏模量Y。式中L：待测金属丝的长度：D：标尺到平面镜的距离；S：金属丝的横截面积：K：光杠杆后足尖到两前足尖连线的垂直距离：F：待测金属丝沿长度方向所受的外力：l：标尺读数的变化量。这光学放大方法，称为光杠杆放大法”。这种方法不但可以提高测量的准确度，而且可以实现非接触测量。（4）主要仪器介绍本实验的整个装置由三部分组成：(a)杨氏模量仪杨氏模量仪如图2所示。三角底座上装有两个立柱和三个调整螺丝，调节调整螺丝可使立柱与地面垂直。立柱的上端装有横梁，横梁中间小孔中有个上夹头1，用来夹紧金属丝的上端。立柱的中部有一个可以沿立柱上下移动的平台4，用来承托光杠杆3。平台上有一个圆孔和一条横槽，圆孔中有一个可以上下滑动的小圆柱形的下夹头2，用来夹紧金属丝的下端。下夹头下面挂一码托盘5，用来承托使金属丝拉长的码。(b)镜尺组镜尺组包括在一个支架上安装的望远镜7和标尺8，望远镜水平安装，标尺贴近望远镜，竖直安装，与被测长度变化方向相平行。(c)光杠杆如图3所示，光杠杆是将一小圆形平面反射镜M固定在下面有三个足尖A、B和C的“T”形三角支架上，A、B、C三点构成一个等腰三角形。后足尖A到前足尖B、C连线的垂直距离K称为光杠杆的杆长。二、实验内容与步骤①把调节好的光杠杆放在纸上，使刀片BC和足尖A在纸上印出印痕，用细铅笔作A到BC的垂线，用游标卡尺量出A到BC的距离K。②用铅垂线仔细调节杨氏模量仪底座上的水平调节螺旋6，使平台处于水平状态（即令钢丝铅直），然后在码托上加1.0kg的码，将钢丝拉直（此重量不计在外力F内），用卷尺测出横梁夹子1的紧固螺钉的边缘与夹子2的上表面之间的钢丝长度，这就是钢丝的原长L：再用螺旋测微计在钢丝的不同部位、不同方向测量5次直径d，求其平均值d和截面积S。③把光杠杆放在平台上，转动平面镜，用目测初调，使镜面与平台垂直。④移动望远镜，使标尺与光杠杆平面镜之间的距离大于100cm。③调节望远镜，使镜筒与平面镜等高。然后仔细调节望远镜筒和平面镜的方向，使得标尺经过平面镜反射后的像刚好处于望远镜的视场中（这一点初学者不易做到，下面介绍一种简便易行的调节方法：可令眼在望远镜自镜附近，通过望远镜上方缺口直接观察平面镜，如在平面镜内看不到标尺的像，可稍微转动一下平面镜，使镜面法线严格成水平状态，为了保证标尺的像被平面镜水平地反射到望远镜中，可调整望远镜下面的螺旋来调节望远镜筒的倾角，使其光轴成水平状，必要时还应稍微转动一下小平面镜，如果仍观察不到，可将望远镜镜架左右稍微移动一下，总之应先用肉眼在望远镜外看到标尺的像，然后通过望远镜观察，一般均能看到标尺的像）。此时像可能不太清晰，无法读数，可调节望远镜筒上的物镜焦距调节螺旋B，待标尺上的刻度和数字均很清晰后再调节目镜焦距螺旋A，使叉丝的像也很清
这样，通过平面镜的旋转和反射光线的变化把微小位移L 转化为容易观测的大位移 l， 这与机械杠杆类似，所以把这种装置称为光杠杆。 将式（3）代入式（2），得 2DFL Y SKl = （4） 本实验就是根据式（4）求出钢丝的杨氏模量 Y。 式中 L：待测金属丝的长度； D：标尺到平面镜的距离； S：金属丝的横截面积； K：光杠杆后足尖到两前足尖连线的垂直距离； F：待测金属丝沿长度方向所受的外力； l：标尺读数的变化量。 这光学放大方法，称为“光杠杆放大法”。这种方法不但可以提高测量的准确度，而且可 以实现非接触测量。 （4）主要仪器介绍 本实验的整个装置由三部分组成： (a) 杨氏模量仪 杨氏模量仪如图2所示。三角底座上装有两个立柱和三个调整螺丝，调节调整螺丝可使 立柱与地面垂直。立柱的上端装有横梁，横梁中间小孔中有个上夹头1，用来夹紧金属丝的 上端。立柱的中部有一个可以沿立柱上下移动的平台4，用来承托光杠杆3。平台上有一个圆 孔和一条横槽，圆孔中有一个可以上下滑动的小圆柱形的下夹头2，用来夹紧金属丝的下端。 下夹头下面挂一砝码托盘5，用来承托使金属丝拉长的砝码。 (b) 镜尺组 镜尺组包括在一个支架上安装的望远镜7和标尺8，望远镜水平安装，标尺贴近望远镜， 竖直安装，与被测长度变化方向相平行。 (c) 光杠杆 如图 3 所示，光杠杆是将一小圆形平面反射镜 M 固定在下面有三个足尖 A、B 和 C 的 “T”形三角支架上，A、B、C 三点构成一个等腰三角形。后足尖 A 到前足尖 B、C 连线的 垂直距离 K 称为光杠杆的杆长。 二、实验内容与步骤 ① 把调节好的光杠杆放在纸上，使刀片 BC 和足尖 A 在纸上印出印痕，用细铅笔作 A 到 BC 的垂线，用游标卡尺量出 A 到 BC 的距离 K。 ② 用铅垂线仔细调节杨氏模量仪底座上的水平调节螺旋 6，使平台处于水平状态（即 令钢丝铅直），然后在砝码托上加 1.0kg 的砝码，将钢丝拉直（此重量不计在外力 F 内）， 用卷尺测出横梁夹子 1 的紧固螺钉的边缘与夹子 2 的上表面之间的钢丝长度，这就是钢丝 的原长 L；再用螺旋测微计在钢丝的不同部位、不同方向测量 5 次直径 d，求其平均值 d 和 截面积 S。 ③ 把光杠杆放在平台上，转动平面镜，用目测初调，使镜面与平台垂直。 ④ 移动望远镜，使标尺与光杠杆平面镜之间的距离大于 100cm。 ⑤ 调节望远镜，使镜筒与平面镜等高。然后仔细调节望远镜筒和平面镜的方向，使得 标尺经过平面镜反射后的像刚好处于望远镜的视场中（这一点初学者不易做到，下面介绍一 种简便易行的调节方法：可令眼在望远镜目镜附近，通过望远镜上方缺口直接观察平面镜， 如在平面镜内看不到标尺的像，可稍微转动一下平面镜，使镜面法线严格成水平状态，为了 保证标尺的像被平面镜水平地反射到望远镜中，可调整望远镜下面的螺旋来调节望远镜筒的 倾角，使其光轴成水平状，必要时还应稍微转动一下小平面镜，如果仍观察不到，可将望远 镜镜架左右稍微移动一下，总之应先用肉眼在望远镜外看到标尺的像，然后通过望远镜观察， 一般均能看到标尺的像）。此时像可能不太清晰，无法读数，可调节望远镜筒上的物镜焦距 调节螺旋 B，待标尺上的刻度和数字均很清晰后再调节目镜焦距螺旋 A，使叉丝的像也很清
晰，这时标尺的像可能又较模糊，再调节B，如此反复，仔细地调节螺旋A、B，使标尺和叉丝的像同时清晰，并无视差为止。③从望远镜中读出叉丝交点指示的标尺刻度ro，记录ro。逐渐增加码托上的码（加减码时应轻放轻取），每次增加1kg，共加5次，记下望远镜中叉丝标尺像的刻度数n,r2，rs，连同ro共是6个读数；然后每次减去1kg的码，记下对应的刻度数r4，r3，…,ro，求出两组对应读数的平均值，，…，，，共得6个数据。③采用逐差法处理数据：为使每个测量值都起作用，将值分为两组：、元、，为一组，、、为一组，求出=-=-=r-，它们是拉力△F=3x1.00=3.00(kg)时相应的标尺读数之差，求出它们的平均值i。③用卷尺测出平面镜与标尺之间的距离D，且得出△D～一mm，测量时应注意使卷尺保持水平状态。根据式（4）求出钢丝的杨氏模量Y。三、数据记录及处理记录表1。表1数据记录（一)3425d(mm)次数Ad(mm)-d(mm)L(cm)AL(cm)K(cm)AD(cm)△K(cm)D(cm)表2记录望远镜中的读数及△F=3.00kg的读数差。表2数据记录（二）望远镜中的读数AF=3.00kg的读数差次数F(kg)(cm)加码减码平均值o=01.00r'o=l.=rs-ro=7o=1ni=2.00r'i=1=r4-n=r1=2r'2-T2=l,=rs-r2=3.0072=R=3r'3=4.00r3=(l。 +1,+1)= cm45.00r'4=4=r4=is=5r's=6.00rs=下面进行数据处理。钢丝截面积为I元amm?=AY_2DLAFkg*mm-2SKI并由误差递推公式得相对误差，即
晰，这时标尺的像可能又较模糊，再调节 B，如此反复，仔细地调节螺旋 A、B，使标尺和 叉丝的像同时清晰，并无视差为止。 ⑥ 从望远镜中读出叉丝交点指示的标尺刻度 r0，记录 r0。 ⑦ 逐渐增加砝码托上的砝码（加减砝码时应轻放轻取），每次增加 1kg，共加 5 次，记 下望远镜中叉丝标尺像的刻度数 r1, r2, ., r5，连同 r0 共是 6 个读数；然后每次减去 1kg 的 砝码，记下对应的刻度数 r'4，r'3, ., r'0，求出两组对应读数的平均值 0 r ， 1 r , ., 4 r ， 5 r ， 共得 6 个数据。 ⑧ 采用逐差法处理数据：为使每个测量值都起作用，将 r 值分为两组： 0 r 、 1 r 、 2 r 为 一组， 3 r 、 4 r 、 5 r 为一组，求出 0 3 0 1 4 1 2 5 2 l r r l r r l r r = − = − = − ， ， ，它们是拉力 F=31.00=3.00(kg)时相应的标尺读数之差，求出它们的平均值 l 。 ⑨ 用卷尺测出平面镜与标尺之间的距离 D，且得出 1 mm 3 D≈ ，测量时应注意使卷尺 保持水平状态。 ⑩ 根据式（4）求出钢丝的杨氏模量 Y。 三、数据记录及处理 记录表 1。 表 1 数据记录（一） 次数 1 2 3 4 5 d(mm) d(mm) d(mm) D(cm) D(cm) L(cm) L(cm) K(cm) K(cm) 表 2 记录望远镜中的读数及F=3.00kg 的读数差。 表 2 数据记录（二） 次数 F(kg) 望远镜中的读数 F=3.00kg 的读数差 加砝码 减砝码 平均值 （cm） 0 1.00 r0= r'0= r0 = 3 0 0 l r r = − = 1 2.00 r1= r'1= r1 = 4 1 1 l r r = − = 2 3.00 r2= r'2= r2 = 5 2 2 l r r = − = 3 4.00 r3= r'3= r3 = 0 1 2 1 ( ) cm 3 l l l l = + + = 4 5.00 r4= r'4= r4 = 5 6.00 r5= r'5= r5 = 下面进行数据处理。 钢丝截面积为 2 1 2 π mm 4 s d = = 2 2 kg mm DL F Y SKl − = = 并由误差递推公式得相对误差，即