第七章粒子在位置空间中的运动VI传播子(Propagator)传播子是时间演化算子在位置表象中的表示量子态随时间的演化是由系统的哈密顿量决定的，演化形式是一个酉变换，(1)(0)) →(t)) =(t) (0))回顾有限维空间中的情形.选择特定的表象，比如A表象，A=Z，α,lα;Xαj小l.在A表象中,可以写出(1)式的分量形式(2) (αjl(t)= (j[U(t)/(0)= (αjlU()ak) (k/(0)k再把(0)》和())在A表象中展开，[(0))=c;(0) [ai), [(0))=ci(t) [ai)i则(2)式可以写为(3) cj(t) =ujk(t)ck(0)k其中ujk(t)=(αjlU(t)lαk）是U(t)在A表象中的矩阵元.上式不过就是计算量子态在特定的基向量上的展开系数随时间的变化，是在Schrodinger绘景中描述量子态的时间演化过程.考察(3)式，可以说，在t=0时刻所有基向量上的几率幅都对t时刻在某个基向量（比如α)））上的几率幅有贡献.换句话说,c;(t)并不是由孤单一个的cj(0)发展而来的，而是由所有的ck(0)(k=1,2,…,n)共同演化而得到的结果.现在，把上面的叙述放置到位置表象中.位置表象的基向量是连续分布的r）=x，y，z).考虑量子态的时间演化，(4)(t2)) =U(t2,t1)/(t1)这里作了无关紧要的参数调整，相对于把初始时刻设为t1.我们希望了解t2时刻在r2位置的几率幅，这就需要用左矢(r2|对(4)式两端作内积(r2l(t2))= (r2|U(t2,t1)/(t1)(6)di (r2U(t2,ti)/ri) (ri(t1)用波函数表示，(r2. t2) = / d'n (r2/U(t2,ti)Iri) (r1,t1)(7) 1
第七章 粒子在位置空间中的运动 VI 传播子 (Propagator) 传播子是时间演化算子在位置表象中的表示 量子态随时间的演化是由系统的哈密顿量决定的, 演化形式是一个酉变换, j (0)i ! j (t)i = U(t)j (0)i (1) 回顾有限维空间中的情形. 选择特定的表象, 比如 A 表象, A = P j aj j˛j ih˛j j. 在 A 表象中, 可以写出 (1) 式的分量形式, h˛j j (t)i = h˛j jU(t)j (0)i = X k h˛j jU(t)j˛ki h˛kj (0)i (2) 再把 j (0)i 和 j (t)i 在 A 表象中展开, j (0)i = X i ci(0)j˛ii; j (t)i = X i ci(t)j˛ii 则 (2) 式可以写为 cj (t) = X k ujk(t)ck(0) (3) 其中 ujk(t) = h˛j jU(t)j˛ki 是 U(t) 在 A 表象中的矩阵元. 上式不过就是计算量子态在特定的基向量上的展开系数随 时间的变化, 是在 Schrödinger 绘景中描述量子态的时间演化过程. 考察 (3) 式, 可以说, 在 t = 0 时刻所有基向量上的几率幅都对 t 时刻在某个基向量 (比如 j˛j i) 上的几率幅有贡献. 换句 话说, cj (t) 并不是由孤单一个的 cj (0) 发展而来的, 而是由所有的 ck(0) (k = 1; 2; ; n) 共同演化而得到的结果. 现在, 把上面的叙述放置到位置表象中. 位置表象的基向量是连续分布的 jri = jx; y; ´i. 考虑量子态的时间演化, j (t2)i = U(t2; t1)j (t1)i (4) 这里作了无关紧要的参数调整, 相对于把初始时刻设为 t1. 我们希望了解 t2 时刻在 r2 位置的几率幅, 这就需要用左矢 hr2j 对 (4) 式两端作内积. hr2j (t2)i = hr2jU(t2; t1)j (t1)i = Z d 3 r1 hr2jU(t2; t1)jr1i hr1j (t1)i (6) 用波函数表示, (r2; t2) = Z d 3 r1 hr2jU(t2; t1)jr1i (r1; t1) (7) 1
与前面有限维空间中的形式相比，无非是将求和换做积分而已，不过，由于空间位置参量的介入，在理解上有了进一步的意义.（7)式的左端是t时刻在空间某个特定的某个位置r2处的几率幅，或者简单地说，在时空点（t2，r2）上的几率幅.右端是一个积分形式，可以说是较早的t1时刻空间各点上的几率幅的线性叠加，叠加系数是(r2|U(t2,t1)ri).这一叠加系数可以视作U(t2,t1)在位置表象中的“矩阵元"作个类比.在波动力学中有Huygens原理：在t2时刻空间某个点P处的振幅来自于较早的ti时刻的波前上每个点的振动传递到P点的振幅的叠加传播子的定义是(8) K(2, 1) = (r2|U(t2,t1)/r1)时空点（t2，r2）处的波函数表示为(r2, 2)= / d'rik(2, 1)(ri,ti)传播子在能量表象中的形式传播子是时间演化算子U（t2，t1）在位置表象中的“矩阵元”为了使这个形象的理解更为具体，我们可以选择能量表象用哈密顿量的本征向量作为基向量H [u,)= E, [u,)这里假设哈密顿量的本征值是离散的，不过可以有无穷多个.对于能谱呈连续分布的情形，只需要把求和替换为积分，在下面讨论自由粒子的传播子的时候可以看到这一点，哈密顿量的本征向量[uj)在位置表象中有相应的波函数uj(r).传播子被表示为K(2, 1) = (r2|U(t2.ti)/r1)= (r2luj) (ujlU(t2,ti)luk) (uk/r1)J.k上式中的《ujlU(t2,t1)luk）不过是U(t2,t1)在能量表象中的矩阵元.如果哈密顿量不显含时间，那么U(t2,t) = e-iH(t2-t)/h于是U(t2,ti)具有对角形式(uj|U(2,)ux)=e-x(2) 8jk传播子又被改写为K(2, 1)=ut(ri)uk(r2)e-iEk(2-n)/h(9) F传播子满足的方程首先注意到传播子只负责描述从ti时刻到t2时刻的演化，即t2>t1,所以，把K(2,1)写为K(2, 1) = (t2 -ti) ut(ri)uk(r2)e-iEk(2-n)/hk其中e(x）是阶梯函数，当x<0时为零，当x≥0时为1.2
与前面有限维空间中的形式相比, 无非是将求和换做积分而已. 不过, 由于空间位置参量的介入, 在理解上有了进一步的意义. (7) 式的左端是 t2 时刻在空间某个特定的某个位置 r2 处 的几率幅, 或者简单地说, 在时空点 (t2; r2) 上的几率幅. 右端是一个积分形式, 可以说是较早的 t1 时刻空间各点上的几 率幅的线性叠加, 叠加系数是 hr2jU(t2; t1)jr1i. 这一叠加系数可以视作 U(t2; t1) 在位置表象中的 “矩阵元”. 作个类比. 在波动力学中有 Huygens 原理: 在 t2 时刻空间某个点 P 处的振幅来自于较早的 t1 时刻的波前上每个点的振 动传递到 P 点的振幅的叠加. 传播子的定义是 K(2; 1) = hr2jU(t2; t1)jr1i (8) 时空点 (t2; r2) 处的波函数表示为 (r2; t2) = Z d 3 r1K(2; 1) (r1; t1) 传播子在能量表象中的形式 传播子是时间演化算子 U(t2; t1) 在位置表象中的 “矩阵元”. 为了使这个形象的理解更为具体, 我们可以选择能量表象, 用哈密顿量的本征向量作为基向量. H juj i = Ej juj i 这里假设哈密顿量的本征值是离散的, 不过可以有无穷多个. 对于能谱呈连续分布的情形, 只需要把求和替换为积分, 在 下面讨论自由粒子的传播子的时候可以看到这一点. 哈密顿量的本征向量 juj i 在位置表象中有相应的波函数 uj (r). 传播子被表示为 K(2; 1) = hr2jU(t2; t1)jr1i = X j;k hr2juj i huj jU(t2; t1)juki hukjr1i 上式中的 huj jU(t2; t1)juki 不过是 U(t2; t1) 在能量表象中的矩阵元. 如果哈密顿量不显含时间, 那么 U(t2; t1) = e iH(t2t1)/„ 于是 U(t2; t1) 具有对角形式, huj jU(t2; t1)juki = e iEk(t2t1) ıjk 传播子又被改写为 K(2; 1) = X k u k (r1)uk(r2)e iEk(t2t1)/„ (9) 传播子满足的方程 首先注意到传播子只负责描述从 t1 时刻到 t2 时刻的演化, 即 t2 > t1, 所以, 把 K(2; 1) 写为 K(2; 1) = (t2 t1) X k u k (r1)uk(r2)e iEk(t2t1)/„ 其中 (x) 是阶梯函数, 当 x < 0 时为零, 当 x > 0 时为 1. 2
然后，对K(2,1)中下标为2的参量作用以Schrodinger算子ih录H(r2,-itV2),其中V2是针对r2的梯度算子.注意到 30(2-)= 8(t2 - 1),有[ina-H(r2,itV2) (2. 1)= ih8(t2)(ri)uk(r2)e-iE(2n)/hat上式右端有8函数8(t2一t1)，与求和中的指数函数一起，构成8(t2 -t1)e-iEk(2-h)/h = eiEx:0/h8(t2 t1) = 8(t2 -11)这里用到了8函数的一个性质f(x)8(x -xo) = f(xo)8(x-xo)所以K(2.1)满足的方程是[in?- H(r2, -itV2)(2, 1) = it8(2 -ti) u(ri)uk(r2) = it8(t2 - 1)8(r2 - ri)(10)"atFK上面的最后一步用到了完备性(或封闭性)条件Eut(r1)uk(r2) = 8(r2 -r)K方程(10)的解是Green函数一维自由粒子的传播子一维自由粒子的哈密顿量是p2H =2m我们要计算的传播子是(ralep ] -H(2-K(2, 1) =选择动量表象，有如下过程.K(21)- dp(roexp / -H(z=n)/[Pi (pi/xi)[dp1e-P(2-h)2mt (z2lP1) (Pilx1)[ _ ip(2 -) + ipi(x2 -x1)dpiexp2元h2mhT1/2(im(x2 -xi)?m(11)exp【2元i（t2-1)(2h(t2 -t1)这就得到了自由粒子的传播子设初态波函数是Gauss波包，(12) (xi,0) =(2元g2)1/4可以验证，上式位置空间中的波函数变换到动量空间后的形式也是一个Gauss波包，具体形式是Ve-pg2这里令h=13
然后, 对 K(2; 1) 中下标为 2 的参量作用以 Schrödinger 算子 i„ @ @t H(r2; i„r2), 其中 r2 是针对 r2 的梯度算子. 注意 到 @(t2t1) @t2 = ı(t2 t1), 有 i„ @ @t H(r2; i„r2) K(2; 1) = i„ı(t2 t1) X k u k (r1)uk(r2)e iEk(t2t1)/„ 上式右端有 ı 函数 ı(t2 t1), 与求和中的指数函数一起, 构成 ı(t2 t1)e iEk(t2t1)/„ = e iEk0/„ ı(t2 t1) = ı(t2 t1) 这里用到了 ı 函数的一个性质 f (x)ı(x x0) = f (x0)ı(x x0) 所以 K(2; 1) 满足的方程是 i„ @ @t H(r2; i„r2) K(2; 1) = i„ı(t2 t1) X k u k (r1)uk(r2) = i„ı(t2 t1)ı(r2 r1) (10) 上面的最后一步用到了完备性 (或封闭性) 条件 X k u k (r1)uk(r2) = ı(r2 r1) 方程 (10) 的解是 Green 函数. 一维自由粒子的传播子 一维自由粒子的哈密顿量是 H = P 2 2m 我们要计算的传播子是 K(2; 1) = x2 ˇ ˇ ˇ ˇ exp i „ H(t2 t1) ˇ ˇ ˇ ˇ x1 选择动量表象, 有如下过程. K(2; 1) = Z dp1 x2 ˇ ˇ ˇ ˇ exp i „ H(t2 t1) ˇ ˇ ˇ ˇ p1 hp1jx1i = Z dp1e ip2 1 (t2t1)/2m„ hx2jp1i hp1jx1i = 1 2„ Z dp1 exp ip2 1 (t2 t1) 2m„ + ip1(x2 x1) „ = m 2 i„(t2 t1) 1/2 exp im(x2 x1) 2 2„(t2 t1) (11) 这就得到了自由粒子的传播子. 设初态波函数是 Gauss 波包, (x1; 0) = 1 (2 2) 1/4 exp x 2 1 4 2 (12) 可以验证, 上式位置空间中的波函数变换到动量空间后的形式也是一个 Gauss 波包, 具体形式是 2 1 4 p ep 2 2 这里令 „ = 1 3
位置算子X的标准方差是，动量算子P的标准方差是，有不确定关系1△XAP2考虑处于(x1,0)的自由粒子随时间的演化.利用传播子，对x1积分后，得到t时刻的波函数1x21(13)y(x,t)=exp(2元g2)1/44g2g2其中11/2iht2mg2图1描绘了1=0时刻以及以后某个时刻的几率密度|少2，从中可以看出几率分布随时间的扩展，(x,0)21(x,t)2x图1：初态为Gauss波包的自由粒子在初始时刻和t时刻的几率密度还可以计算谐振子的传播子，参看Sakurai书第2章2.5节，PropagatorsandFeynmanpathintegrals一个需要注意的地方：不宜用时间演化算子的展开形式代替传播子的计算。参看·B. R. Holstein, A. R. Swift, Spreading Wave Packets—A Cautionary Note. American Journal of Physics 40, 829-832 (1972).·K.Mita,Dispersion ofnon-Gaussianfreeparticle wavepackets.American Journal ofPhysics75,950-953(2007).相干态说相干态的目的：·在光学实验中，相干态很重要，·建立经典和量子的类比这里，主要讨论类比N
位置算子 X 的标准方差是 , 动量算子 P 的标准方差是 1 2 , 有不确定关系 ∆X ∆P = 1 2 考虑处于 (x1; 0) 的自由粒子随时间的演化. 利用传播子, 对 x1 积分后, 得到 t 时刻的波函数. (x; t) = 1 (2 2) 1/4 1 exp x 2 4 2 2 (13) 其中 = 1 + i„t 2m 2 1/2 图 1 描绘了 t = 0 时刻以及以后某个时刻的几率密度 j j 2 , 从中可以看出几率分布随时间的扩展. x |y(x,0)|2 |y(x,t)| 2 图 1: 初态为 Gauss 波包的自由粒子在初始时刻和 t 时刻的几率密度 还可以计算谐振子的传播子, 参看 Sakurai 书第 2 章 2.5 节, Propagators and Feynman path integrals. 一个需要注意的地方: 不宜用时间演化算子的展开形式代替传播子的计算. 参看 • B. R. Holstein, A. R. Swift, Spreading Wave Packets—A Cautionary Note. American Journal of Physics 40, 829- 832 (1972). • K. Mita, Dispersion of non-Gaussian free particle wave packets. American Journal of Physics 75, 950-953 (2007). 相 干 态 说相干态的目的: • 在光学实验中, 相干态很重要. • 建立经典和量子的类比. 这里, 主要讨论类比. 4
与经典谐振子的类比类比的对象是，量子谐振子的位置，动量和哈密顿量的期望值.希望看到的是，这些期望值随时间的变化如同经典谐振子的位置，动量和哈密顿量随时间的变化说到期望值，就要有量子态.于是要找到一个特定的量子态1少），满足上述要求谐振子的本征态n）不是我们要找的量子态，因为(n|Xn）=(n|PIn）=0.以下内容来自Cohen书ComplementGv经典情形经典谐振子的运动方程d-a(0)=p(o)md%p()=-m0*x()为了将要进行的和量子情形的类比，令1mwBx(t) = βx(t).p(t) =hpp(t),h运动方程重写为d品()=@()d%() = -0()定义α(t) =((t) +ip(t)(14)关于α()的运动方程da(t)=-iα(t) α(t) = Qoe-iardt其中αo是初条件1[(0) + ip(0)](15)αo = α(0) =相空间中的运动就是1[e-iat +felar](16)x(t) =V2[ae-iar - afe/a](17)p(t) =/2哈密顿量是守恒量，可以用t=0时的αo表示，12mp(0)2++2mo3x(0)2H=hw[(0) + P(0)= h0|0l2(18)5
与经典谐振子的类比 类比的对象是, 量子谐振子的位置, 动量和哈密顿量的期望值. 希望看到的是, 这些期望值随时间的变化如同经典谐振子 的位置, 动量和哈密顿量随时间的变化. 说到期望值, 就要有量子态. 于是要找到一个特定的量子态 j i, 满足上述要求. 谐振子的本征态 jni 不是我们要找的量子态, 因为 hnjXjni = hnjPjni = 0. 以下内容来自 Cohen 书 Complement GV. 经典情形 经典谐振子的运动方程 d dt x(t) = 1 m p(t) d dt p(t) = m!2 x(t) 为了将要进行的和量子情形的类比, 令 x˜(t) = ˇx(t); p˜(t) = 1 „ˇ p(t); ˇ = r m! „ 运动方程重写为 d dt x˜(t) = !p˜(t) d dt p˜(t) = !x˜(t) 定义 ˛(t) = 1 p 2 x˜(t) + ip˜(t) (14) 关于 ˛(t) 的运动方程 d˛(t) dt = i!˛(t) H) ˛(t) = ˛0e i!t 其中 ˛0 是初条件, ˛0 = ˛(0) = 1 p 2 x˜(0) + ip˜(0) (15) 相空间中的运动就是 x˜(t) = 1 p 2 [˛0e i!t + ˛ 0 e i!t ] (16) p˜(t) = i p 2 [˛0e i!t ˛ 0 e i!t ] (17) 哈密顿量是守恒量, 可以用 t = 0 时的 ˛0 表示, H = 1 2m p(0)2 + 1 2 m!2 x(0)2 = „! 2 [x˜(0)2 + p˜(0)2 ] = „!j˛0j 2 (18) 5