第五章I两体量子系统开放量子系统的演化系统O和仪器M的Hilbert空间分别记作e和yeM.考虑有限维情形e的维数设为n，yeM的维数应该至少为n，暂时设为n.设系统和仪器的初态均为纯态，它们分别是l）Ee?和lo)eeM,二者整体的初态是直积态/(0))=l）l）ee2eM.在t时刻的整体的量子态/(t)）是由酉变换U(t)决定的，(t))=U()(0))=U(t)(1)/))也可以用密度矩阵表示.令=)《,=l)《l,(0)=(0))((0)l,亚(t)=(t))((t)I,有d(t) = U(t)d(0)Ut(t) = U(t)( β)Ut(t)于是，系统的t时刻的量子态是(1)po(t)=Trm(t)如图1所示.p(t)山&U(t)甲(t)4图 1虽然（1）式已经能够告诉我们t时刻系统的状态，但是这个形式本身还可以继续运算下去.设eM的基向量是lμ)，μ=0,1,,n-1，它们可以是自然基向量，也可以是某个非简并力学量的本征向量。为了使计算Trm亚(t)的过程更清晰，我们把酉变换U(t）表示为U(t) =μ)(lμ,V=0注意这里的uu是eo上的nxn的矩阵，而不是矩阵元.由于U(t）是酉矩阵，uu须满足Zut=810Euut=8uu10.(2)这里19是光Q上的单位矩阵.1
第五章 两体量子系统 II 开放量子系统的演化 系统 Q 和仪器 M 的 Hilbert 空间分别记作 H Q 和 H M . 考虑有限维情形, H Q 的维数设为 n, H M 的维数应该至 少为 n, 暂时设为 n. 设系统和仪器的初态均为纯态, 它们分别是 j i 2 H Q 和 j'i 2 H M , 二者整体的初态是直积 态 jΨ(0)i = j i ˝ j'i 2 H Q ˝ H M . 在 t 时刻的整体的量子态 jΨ(t)i 是由酉变换 U(t) 决定的, jΨ(t)i = U(t)jΨ(0)i = U(t)(j i ˝ j'i) 也可以用密度矩阵表示. 令 = j ih j, ' = j'ih'j, Ψ(0) = jΨ(0)ihΨ(0)j, Ψ(t) = jΨ(t)ihΨ(t)j, 有 Ψ(t) = U(t)Ψ(0)U (t) = U(t)( ˝ ')U (t) 于是, 系统的 t 时刻的量子态是 Q(t) = TrM Ψ(t) (1) 如图 1 所示. Ut t t Q 图 1 虽然 (1) 式已经能够告诉我们 t 时刻系统的状态, 但是这个形式本身还可以继续运算下去. 设 H M 的基向量是 ji, = 0; 1; ; n 1, 它们可以是自然基向量, 也可以是某个非简并力学量的本征向量. 为了使计算 TrM Ψ(t) 的过程更清晰, 我们把酉变换 U(t) 表示为 U(t) = Xn1 ;=0 u ˝ jihj 注意这里的 u 是 H Q 上的 n n 的矩阵, 而不是矩阵元. 由于 U(t) 是酉矩阵, u 须满足 X uu 0 = ı01 Q; X u 0u = ı01 Q (2) 这里 1 Q 是 H Q 上的单位矩阵. 1
2在t时刻两体系统整体量子态的密度矩阵是(t) =U(t)( @)Ut(t)= (uutw)(lu)(vlov)(u'1)(3)uu'y在空间光eM上求迹，有Trmd(t)= (uuvyatw) (vlo) (olv)Ve关注上式中的uv(v),注意到Trm [U(1 l0)(μD] = TrME(uuw8 lμ')(v(1& o)(ul)w'vEu(vlo)=Eu (lo)&上面的最后一步只是求和指标的替换.现在令(4)Kμ=uμv (vl0) = Trm [U(1 α lo)(μD)] = (μ|U l0)上式最后一个表达式是简化的写法：U是M上的酉矩阵，而lu）和l）是M中的态量，《ulUlo）中涉及的内积仅仅是eM中向量之间的内积，结果得到yeQ上的矩阵，即K.而K的厄密共轭形式是KI =ut, (lv) = Trm [Ut(1 & lμ)(oD)] = (olUt Iμ)(5)综合以上过程以及（1),并将系统的初态写为=p2(0).有n-1p(t) =Zku(t)p(0)kt(t)(6)μ=0算符K被称为Kraus算符.可以验证，kKu=19,即tk=utw(0lv)(vl0)=128(0)(l0)=19(7)uvUUA上面的第二个等式用到了iu的条件（2)Kraus算符满足ZKKu=19,这意味着系统量子态在演化过程中的迹是不变的（即保迹演化），Tr p(t) = Tr Kμ(t)p2(0)t(t) = Tr t(t)Kμ(t)p(0) = Tr p(0uu关于系统量子态的演化以及Kraus算符，有以下说明1.我们用两种形式，（1）和（6)，描述了系统和仪器有相互作用的情况下系统量子态的演化过程.它们的共同特征是系统和仪器作为一个整体，在酉变换U(t)的作用下从初态/(O))演化到t时刻的(t)).然后从/亚(t))中抛弃与仪器有关的部分（表现为在eM上求迹)，从而得到t时刻系统的量子态.不过这两种形式也是有些区别的.在（1)式的推导过程中，虽然我们说Q和M的初态具有直积态的形式，即[）)，但是最后的结论并没有用到这个条件.而为了得到（6）式，系统和仪器的初态必须是直积态，否则不能得到Kraus算符.因此，在此强调指出，这里及以后谈到的系统和仪器的初态或者系统与环境的初态一律设为直积态！近年的研究涉及了系统和仪器的初态并非直积态的情况下系统的演化过程，这些内容超出了课程范围，故不作讨论
2 在 t 时刻两体系统整体量子态的密度矩阵是 Ψ(t) = U(t)( ˝ ')U (t) = X 0 0 u u 0 0 ˝ jihj ' j 0 ih 0 j (3) 在空间 H M 上求迹, 有 TrM Ψ(t) = X 0 u uˆ 0 hj'i h'j 0 i 关注上式中的 P u hj'i, 注意到 TrM U(1 ˝ j'ihj) = TrM 2 4 X 0 0 (u0 0 ˝ j 0 ih 0 j)(1 ˝ j'ihj) 3 5 = X 0 u0 h 0 j'i = X u hj'i 上面的最后一步只是求和指标的替换. 现在令 K = X u hj'i = TrM U(1 ˝ j'ihj) = hjU j'i (4) 上式最后一个表达式是简化的写法: U 是 H Q ˝ H M 上的酉矩阵, 而 ji 和 j'i 是 H M 中的态矢量, hjU j'i 中 涉及的内积仅仅是 H M 中向量之间的内积, 结果得到 H Q 上的矩阵, 即 K. 而 K 的厄密共轭形式是 K = X u h'ji = TrM U (1 ˝ jih'j) = h'jU ji (5) 综合以上过程以及 (1), 并将系统的初态写为 = Q(0), 有 Q(t) = Xn1 =0 K(t) Q(0)K (t) (6) 算符 K 被称为 Kraus 算符. 可以验证 P K K = 1 Q, 即 X K K = X 0 u 0u h'j 0 i hj'i = X 0 1 Q ı0 h'j 0 i hj'i = 1 Q (7) 上面的第二个等式用到了 uˆ 的条件 (2). Kraus 算符满足 P K K = 1 Q, 这意味着系统量子态在演化过程中 的迹是不变的 (即保迹演化), Tr Q(t) = TrX K(t) Q(0)K (t) = TrX K (t)K(t) Q(0) = Tr Q(0) 关于系统量子态的演化以及 Kraus 算符, 有以下说明. 1. 我们用两种形式, (1) 和 (6), 描述了系统和仪器有相互作用的情况下系统量子态的演化过程. 它们的共同特征是, 系统和仪器作为一个整体, 在酉变换 U(t) 的作用下从初态 jΨ(0)i 演化到 t 时刻的 jΨ(t)i. 然后从 jΨ(t)i 中抛弃与 仪器有关的部分 (表现为在 H M 上求迹), 从而得到 t 时刻系统的量子态. 不过这两种形式也是有些区别的. 在 (1) 式的推导过程中, 虽然我们说 Q 和 M 的初态具有直积态的形式, 即 j i ˝ j'i, 但是最后的结论并没有用到这个条 件. 而为了得到 (6) 式, 系统和仪器的初态必须是直积态, 否则不能得到 Kraus 算符. 因此, 在此强调指出, 这里及以 后谈到的系统和仪器的初态或者系统与环境的初态一律设为直积态 1 . 1近年的研究涉及了系统和仪器的初态并非直积态的情况下系统的演化过程, 这些内容超出了课程范围, 故不作讨论.
32.上面的推导过程可以不作任何修改而适用于系统的初态是混合态的情形．而且，我们还可以把测量仪器看成是系统周围的环境，进而用类似的语言描述开放量子系统的演化。设系统的初态是P(O)，环境的初态是纯态=lo)(al.描述环境的希尔伯特空间的基向量记作Iu).系统和环境之间从t=0时刻开始发生相互作用，在t时刻整体的量子态是U(t)(p())Ut(t).就系统的状态而言，在时刻t的量子态可以表示为(8)p(t) =Kμ(t)p(0)Kt(t)H其中Kraus算符是Kμ(t) = (μ|U(t) l0),xi(t)Kμ(t) = 10还可以推广到非保迹的演化过程以及环境的初态是混合态的情形，在此不作进一步讨论了3.在（4)式中,Kraus算符Ku的具体形式依赖于整体的酉变换U(t)，仪器的初态以及仪器的Hilbert空间yeM的基向量，因此，选择不同的基向量就会得到不同形式的Kraus算符。设eM的另外一组基向量是(lα)，α0,，n-1.重复以上推导过程，得到另一组Kraus算符，记作Ja，Jα = (α[U l)注意到两组基向量之间的关系是某个酉矩阵V,矩阵元aμ=(αl)，基向量Iμ)可以用lα）表示，即[μ)=> [α代入（4)式，Ku-Zuau (alU lo)=-ZvauJ这表明两组Kraus算符之间的变换是酉变换.虽然Kraus算符的形式不是唯一的，但是系统在t时刻的量子态却是不依赖与光M的基向量的选择，下面的计算表明了这一点po(t)=Kμupe(0)tu=ZauUa'uJap(0)Jtuao'Euau aru) Jap (0)Jt>1=8ααJαp(0)Jt=Jap(0)JtRO4.式(6)或者（8)描述了较为一般的情形下量子态的演化.有两个极端情形值得一提.一是酉演化，此时所有的K等于某个作于系统的酉变换U9(t)，于是得到我们熟悉的p(t) =U (t)pe(0)((t)另一个是投影测量，此时Kraus算符就是投影算符ⅡI,=αi)(αil,这里设[αi）是系统的某个力学量A的本征向量于是，测量后系统的状态是p(t) =lip(0)Il, = (αil p(0) [αi) αi)(αi l(9)μ这是对测量后对结果不作任何选择的情况下系统的状态.可以看出，在基向量α）上p2（t）具有对角形式，非对角的相干项全都消失为零
3 2. 上面的推导过程可以不作任何修改而适用于系统的初态是混合态的情形. 而且, 我们还可以把测量仪器看 成是系统周围的环境, 进而用类似的语言描述开放量子系统的演化. 设系统的初态是 ˆ(0), 环境的初态是纯态 ' = j'ih'j. 描述环境的希尔伯特空间的基向量记作 ji. 系统和环境之间从 t = 0 时刻开始发生相互作用, 在 t 时 刻整体的量子态是 U(t) (0) ˝ ' U (t). 就系统的状态而言, 在时刻 t 的量子态可以表示为 (t) = X K(t)(0)K (t) (8) 其中 Kraus 算符是 K(t) = hjU(t)j'i; X K (t)K(t) = 1 Q 还可以推广到非保迹的演化过程以及环境的初态是混合态的情形, 在此不作进一步讨论了. 3. 在 (4) 式中, Kraus 算符 K 的具体形式依赖于整体的酉变换 U(t), 仪器的初态以及仪器的 Hilbert 空间 H M 的基向量, 因此, 选择不同的基向量就会得到不同形式的 Kraus 算符. 设 H M 的另外一组基向量是 fj˛ig, ˛ = 0; ; n 1. 重复以上推导过程, 得到另一组 Kraus 算符, 记作 J˛, J˛ = h˛jU j'i 注意到两组基向量之间的关系是某个酉矩阵 V , 矩阵元 v˛ = h˛ji, 基向量 ji 可以用 j˛i 表示, 即 ji = X ˛ v˛ j˛i 代入 (4) 式, K = X ˛ v ˛ h˛jU j'i = X ˛ v ˛J˛ 这表明两组 Kraus 算符之间的变换是酉变换. 虽然 Kraus 算符的形式不是唯一的, 但是系统在 t 时刻的量子态却是 不依赖与 H M 的基向量的选择, 下面的计算表明了这一点. Q(t) = X K Q(0)K = X ˛˛0 v ˛v˛0J˛ Q(0)J ˛0 = X ˛˛0 X v ˛v˛0 ! J˛ Q(0)J ˛0 = X ˛˛0 ı˛˛0J˛ Q(0)J ˛0 = X ˛ J˛ Q(0)J ˛ 4. 式 (6) 或者 (8) 描述了较为一般的情形下量子态的演化. 有两个极端情形值得一提. 一是酉演化, 此时所有的 K 等于某个作于系统的酉变换 U Q(t), 于是得到我们熟悉的 Q(t) = U Q(t) Q(0) U Q(t) 另一个是投影测量, 此时 Kraus 算符就是投影算符 Πi = j˛iih˛i j, 这里设 j˛ii 是系统的某个力学量 A 的本征向量. 于是, 测量后系统的状态是 Q(t) = X i Πi Q(0)Πi = X h˛i j Q(0)j˛ii j˛iih˛i j (9) 这是对测量后对结果不作任何选择的情况下系统的状态. 可以看出, 在基向量 j˛ii 上 Q(t) 具有对角形式, 非对角 的相干项全都消失为零.
4几个典型的量子演化过程有必要先介绍一下等距变换（isometry).酉变换U作用系统和仪器的初态，使得))()))设仪器的初态1）是固定不变的，仅仅关注系统量子态的改变，有(10))()())这是一个从空间eQ到空间光e=QeM的变换，记作V.设系统的希尔伯特空间的基向量是li)，变换V的作用效果是[i) [2) = U(li) 8 [0) 3e(11)变换V保证了变换前后量子态的正交归一性，即(illi)=8→(2;1/2,) =8,可以写出变换V的矩阵形式V=E((12)这是一个dQM×d的矩阵，这里dQM和d?分别是光QM和e2的维数容易验证vtv=10(13)19是e2上的单位矩阵，故V是等距变换(isometry).需注意到VV≠1M,这里1M是eM上的单位矩阵.引入等距变换之后，系统量子态的演化被简写为=t(14)接着还需要对亚在光eM上求迹，eM的基向量依旧记作lu)→=t→=t)A定义Kraus算符Ku= (μ|V=Z(μlli)(il这里，ul2i）涉及eM上的内积，其结果是2上的右矢.容易验证ZKK=1.另外，还应该注意到，虽然（14)式说的是系统的纯态在等距变换后的结果，但是同样适用于混合态，pe→p= Vpevt当系统和仪器的整体的酉变换难以表述或者不需要有明确表示的时候，可以利用等距变换很方便地写出Kraus算符
4 几个典型的量子演化过程 有必要先介绍一下等距变换 (isometry). 酉变换 U 作用系统和仪器的初态, 使得 j i ˝ j i ! U(j i ˝ j i) 设仪器的初态 j i 是固定不变的, 仅仅关注系统量子态的改变, 有 j i ! U(j i ˝ j i) (10) 这是一个从空间 H Q 到空间 H = H Q ˝ H M 的变换, 记作 V . 设系统的希尔伯特空间的基向量是 jii, 变换 V 的 作用效果是 jii V ! jΩii U(jii ˝ j i) 2 H (11) 变换 V 保证了变换前后量子态的正交归一性, 即 hij jj i = ıij V ! hΩi j jΩj i = ıij 可以写出变换 V 的矩阵形式 V = X i jΩiihij (12) 这是一个 d QM d Q 的矩阵, 这里 d QM 和 d Q 分别是 H QM 和 H Q 的维数. 容易验证 V V = 1 Q (13) 1 Q 是 H Q 上的单位矩阵, 故 V 是等距变换 (isometry). 需注意到 V V ¤ 1 M , 这里 1 M 是 H M 上的单位矩阵. 引入等距变换之后, 系统量子态的演化被简写为 ! Ψ = V V (14) 接着还需要对 Ψ 在 H M 上求迹, H M 的基向量依旧记作 ji, ! Ψ = V V ! = X hj V V ji 定义 Kraus 算符 K = hj V = X i hj jΩii hij 这里, hj jΩii 涉及 H M 上的内积, 其结果是 H Q 上的右矢. 容易验证 P K K = 1 Q. 另外, 还应该注意到, 虽 然 (14) 式说的是系统的纯态在等距变换后的结果, 但是同样适用于混合态, Q ! = VQV 当系统和仪器的整体的酉变换难以表述或者不需要有明确表示的时候, 可以利用等距变换很方便地写出 Kraus 算 符.
5相位阻尼（phasedamping)相位阻尼过程指的是，演化过程中量子系统和环境的相互作用使得量子态的相干性逐渐消失，但是没有带来系统的能量的损失.描述环境的希尔伯特空间兆E的维数是相当大的，但是在这个简单的模型中，我们只需要用到环境的无激发的状态（可以视作基态，记作J0E））和仅有一个激发的状态（可以视作第一激发态，记作[1E））.并且假设初始时刻环境处于基态[0E).双值系统的基态和第一激发态分别记作109)和[19).系统和环境之间相互作用的唯象的效果是[09) [0E) →[20) =[09) [0F)(15)[19) [0F) →[21) = V1-p[19) [0F) + /P[19) /1E)(16)这里pe[0,1].可以看到，系统和仪器之间没有能量交换.再者，上面两个方程不足以给出整体酉变换的具体形式，于是考虑等距变换VV = [20)(09 +[21)(19]Kraus算符0Ko=(0F|V=J0°)(09+ V1- p/19)(19]=V1-pKi = (1FV= VPl19)(19|=0p设系统的初态是p=(1+r·),这里1是2×2单位阵，r是Bloch向量，r=(rsincos，rsinsin，rcosの)相位阻尼对p的影响是(1 +r.)p-→p = KopK +KipK= 计算结果是r=rV1-psingcosr,=r-psinosingr=rcoso可以看到，当P从0增大到1的过程中，布洛赫向量在xy平面内的分量逐渐减小为零，最后只剩下始终不变的z方向上的分量.当p=1时，p具有对角形式，相干性完全消失振幅阻尼（amplitudedamping）在振幅阻尼过程中，系统和环境之间的相互作用表现为如下唯象过程[09] [0F) →[20] = [09] [0F)(17)[19) [0F)→[21) = V1-p[12)10F) + /P[09) [1E)(18)上面的第二个方程表明系统和环境之间有能量交换.等距变换V=[2o)(09|+|21)(19,由此得到Kraus算符0DKoK1VI-P
5 相位阻尼 (phase damping) 相位阻尼过程指的是, 演化过程中量子系统和环境的相互作用使得量子态的相干性逐渐消失, 但是没有带来系统 的能量的损失. 描述环境的希尔伯特空间 H E 的维数是相当大的, 但是在这个简单的模型中, 我们只需要用到环 境的无激发的状态 (可以视作基态, 记作 j0 E i) 和仅有一个激发的状态 (可以视作第一激发态, 记作 j1 E i). 并且假 设初始时刻环境处于基态 j0 E i. 双值系统的基态和第一激发态分别记作 j0 Qi 和 j1 Qi. 系统和环境之间相互作用的 唯象的效果是 j0 Qi j0 E i ! jΩ0i = j0 Qi j0 E i (15) j1 Qi j0 E i ! jΩ1i = p 1 p j1 Qi j0 E i + p p j1 Qi j1 E i (16) 这里 p 2 [0; 1]. 可以看到, 系统和仪器之间没有能量交换. 再者, 上面两个方程不足以给出整体酉变换的具体形式, 于是考虑等距变换 V , V = jΩ0ih0 Qj + jΩ1ih1 Qj Kraus 算符 K0 = h0 E j V = j0 Qih0 Qj + p 1 p j1 Qih1 Qj = 0 @ 1 0 0 p 1 p 1 A K1 = h1 E j V = p p j1 Qih1 Qj = 0 @ 0 0 0 pp 1 A 设系统的初态是 = 1 2 (1 + r σ), 这里 1 是 22 单位阵, r 是 Bloch 向量, r = (r sin cos '; r sin sin '; r cos ). 相位阻尼对 的影响是 ! 0 = K0K 0 + K1K 1 = 1 2 (1 + r 0 σ) 计算结果是 r 0 x = r p 1 p sin cos ' r 0 y = r p 1 p sin sin ' r 0 z = r cos 可以看到, 当 p 从 0 增大到 1 的过程中, 布洛赫向量在 xy 平面内的分量逐渐减小为零, 最后只剩下始终不变的 z 方向上的分量. 当 p = 1 时, 0 具有对角形式, 相干性完全消失. 振幅阻尼 (amplitude damping) 在振幅阻尼过程中, 系统和环境之间的相互作用表现为如下唯象过程 j0 Qi j0 E i ! jΩ0i = j0 Qi j0 E i (17) j1 Qi j0 E i ! jΩ1i = p 1 p j1 Qi j0 E i + p p j0 Qi j1 E i (18) 上面的第二个方程表明系统和环境之间有能量交换. 等距变换 V = jΩ0ih0 Qj + jΩ1ih1 Qj, 由此得到 Kraus 算符 K0 = 0 @ 1 0 0 p 1 p 1 A K1 = 0 @ 0 pp 0 0 1 A