第一章量子“小球”参看文献【I].Albert在该书的第一章讨论了电子的“颜色”和“硬度”，这实际上就是在谈论Stern-Gerlach实验，所谓的“颜色”和“硬度”对应于不同方向上电子的磁矩，或者说自旋角动量在这里，我们索性不说电子了，而是说量子“小球”这个量子“小球”是量子力学这门课的表象，我们将用它来叙述量子力学的基本概念和主要内容，量子小球身处微观世界，人们自身的感官无法感受量子小球在微观世界中，一定有些什么“东西”，发生了一些“事情”当我们使用某种特定的手段观测这个世界的时候，确实看到了很多现象一一非经典现象，或者说量子现象，在引言中我们说过：·谨慎使用描述现象的语言.·注意区分现象和现象的载体，慎用语言．我们将语言的使用限制在对现象的描述上．避免妄语，难免地，我们希望做一些“透过现象看本质”的事，希望知道究竞是什么东西引发了这些量子现象我们把这些看不见、摸不到的存在于微观层面上的东西称为量子系统，或者微观粒子，在经典力学中，现象和现象的载体几乎是不可分离的，二者处于同一层次．例如波动，一方面是一种现象，另一方面也介质振动的体现：我们可以通过研究介质的性质来理解波的传播.介质是可触及的，是经典世界中的事物在经典世界中，对现象的精确而严格的描述近乎对事物的性质或属性的描述，事物的性质和属性具有本体论意义上的实在性和确定性，我们身处经典世界中，又学习了经典力学的理论，逐渐地习惯用同一套语言既描述看到的现象，又刻画承载现象的事物的性质：也就是说，我们习惯了语言的混用，同时，在经典世界中，我们也没有遇到这种混用带来的麻烦，经典力学承认客观世界的实在性：经典世界中的研究对象具有不依赖于观测的独立存在的各种性质．观测只不过是彰显这些性质的一个手段．即便我们不能了解某个事物的所有性质，也不至于让我们对这个事物的实在性和真实性有所怀疑，1
第一章 量子 “小球” 参看文献 [1]. Albert 在该书的第一章讨论了电子的 “颜色” 和 “硬度”, 这实际上就是在谈论 Stern-Gerlach 实验, 所谓的 “颜色” 和 “硬度” 对应于不同方向上电子的磁矩, 或者说自旋角动量. 在这里, 我们索性不说电子了, 而是说量子 “小球”. 这个量子 “小球” 是量子力学这门课的表象, 我们将用它来叙述量子力学的基本概念和主要内容. 量子小球身处微观世界, 人们自身的感官无法感受量子小球. 在微观世界中, 一定有些什么 “东西”, 发生了一些 “事情”. 当我们使用某种特定的手段观测这个世 界的时候, 确实看到了很多现象 —— 非经典现象, 或者说量子现象. 在引言中我们说过: ❼ 谨慎使用描述现象的语言. ❼ 注意区分现象和现象的载体. 慎用语言. 我们将语言的使用限制在对现象的描述上. 避免妄语. 难免地, 我们希望做一些 “透过现象看本质” 的事, 希望知道究竟是什么东西引发了这些量子现象. 我们把这些看不见、摸不到的存在于微观层面上的东西称为量子系统, 或者微观粒子. 在经典力学中, 现象和现象的载体几乎是不可分离的, 二者处于同一层次. 例如波动, 一方面是一种 现象, 另一方面也介质振动的体现. 我们可以通过研究介质的性质来理解波的传播. 介质是可触及 的, 是经典世界中的事物. 在经典世界中, 对现象的精确而严格的描述近乎对事物的性质或属性的描述. 事物的性质和属性具 有本体论意义上的实在性和确定性. 我们身处经典世界中, 又学习了经典力学的理论, 逐渐地习惯用同一套语言既描述看到的现象, 又 刻画承载现象的事物的性质. 也就是说, 我们习惯了语言的混用. 同时, 在经典世界中, 我们也没有 遇到这种混用带来的麻烦. 经典力学承认客观世界的实在性. 经典世界中的研究对象具有不依赖于观测的独立存在的各种性 质. 观测只不过是彰显这些性质的一个手段. 即便我们不能了解某个事物的所有性质, 也不至于让 我们对这个事物的实在性和真实性有所怀疑. 1
经典世界中的小球考虑最为简单的模型：经典世界中的一个小球它可以有很多不同的属性，我们只关心其中的两个颜色和硬度用C表示颜色属性，用H表示硬度属性再假设每一个属性只有两个状态，即两个取值.C属性的取值记作c=0,1，其中0表示白色，1表示黑色.H属性的取值记作h=0,1，其中0表示硬，1表示软于是，小球的属性可以用一个二元数组表示，（c,h)，c,h=0,1.这个二元数组就是小球的经典意义上的“态”我们可以说：“这是一个白色的硬球"，或者说，小球处于状态（0,0).在这句话中，包含了两个表象一颜色表象和硬度表象.更细致地说，我们首先在颜色表象中对小球进行观测，然后在硬度表象中观测。我们还可以说：“这是一个硬的白球先是硬度表象，再是颜色表象这两种说法是等价的，于是我们说，这两个表象可以对易：进而，在颜色表象中看到的现象和中硬度表象中看到的现象是彼此相容的，是可以共存的对易一相容在经典世界中，不同的表象是彼此相容的．在一个表象中进行的测量不会影响到在另一个表象中的测量，概率设想一个大袋子里装了很多球。对其中的一部分（样本）进行观测，得到频度（frequency），然后可以有概率p(c)或p(h)，分别是观测到某种颜色或某种软硬度到概率.还可以有联合概率，p(c,h)，它是两个事件c和h同时出现的概率.这里到“同时”未必是“同一时刻”的意思：由于C测量和H测量可以对易，这两个测量过程相容，它们的测量结果可以共存.所以，“同时”应该理解为“共存”例如，p(c=0,h=0)指的是，得到白色硬球的概率.我们把这一类概率称为联合（joint）概率.可以从联合得到边缘（marginal)，例如p(c = 0)= p(c= 0, h = 0) + p(c= 0, h =1)p(h = 1) = p(c = 0, h = 1) + p(c = 1, h = 1)如果两个事件不相容，那么就不存在联合几率，也不存在从联合到边缘的求和计算过程2
经典世界中的小球 考虑最为简单的模型: 经典世界中的一个小球. 它可以有很多不同的属性, 我们只关心其中的两个: 颜色和硬度. 用 C 表示颜色属性, 用 H 表示硬度属性. 再假设每一个属性只有两个状态, 即两个取值. C 属性的取值记作 𝑐 = 0, 1, 其中 0 表示白色, 1 表 示黑色. H 属性的取值记作 ℎ = 0, 1, 其中 0 表示硬, 1 表示软. 于是, 小球的属性可以用一个二元数组表示, (𝑐, ℎ), 𝑐, ℎ = 0, 1. 这个二元数组就是小球的经典意义 上的 “态”. 我们可以说: “这是一个白色的硬球”, 或者说, 小球处于状态 (0, 0). 在这句话中, 包含了两个表象 —— 颜色表象和硬度表象. 更细致地说, 我们首先在颜色表象中对小球进行观测, 然后在硬度表象 中观测. 我们还可以说: “这是一个硬的白球”. 先是硬度表象, 再是颜色表象. 这两种说法是等价的, 于是我们说, 这两个表象可以对易. 进而, 在颜色表象中看到的现象和中硬度表象中看到的现象是 彼此相容的, 是可以共存的. 对易 =⇒ 相容 在经典世界中, 不同的表象是彼此相容的. 在一个表象中进行的测量不会影响到在另一个表象中的 测量. 概率 设想一个大袋子里装了很多球. 对其中的一部分 (样本) 进行观测, 得到频度 (frequency), 然 后可以有概率 𝑝(𝑐) 或 𝑝(ℎ), 分别是观测到某种颜色或某种软硬度到概率. 还可以有联合概率, 𝑝(𝑐, ℎ), 它是两个事件 𝑐 和 ℎ 同时出现的概率. 这里到 “同时” 未必是 “同一时 刻” 的意思. 由于 𝐶 测量和 𝐻 测量可以对易, 这两个测量过程相容, 它们的测量结果可以共存. 所 以, “同时” 应该理解为 “共存”. 例如, 𝑝(𝑐 = 0, ℎ = 0) 指的是, 得到白色硬球的概率. 我们把这一类概率称为联合 (joint) 概率. 可以从联合得到边缘 (marginal), 例如 𝑝(𝑐 = 0) = 𝑝(𝑐 = 0, ℎ = 0) + 𝑝(𝑐 = 0, ℎ = 1) 𝑝(ℎ = 1) = 𝑝(𝑐 = 0, ℎ = 1) + 𝑝(𝑐 = 1, ℎ = 1) 如果两个事件不相容, 那么就不存在联合几率, 也不存在从联合到边缘的求和计算过程. 2
量子世界中的“小球”测量仪器有两种C-boxH-bax对应于两个不同的表象C表象和H表象测量装置的一端联系着微观世界，另一端将体现观测结果.观测结果是宏观的经典层面上的现象C仪器C仪器的左侧有一个入口，量子小球通过这个入口进入C仪器中．仪器的右侧有两个出口，分别叫做白出口和黑出口.如果量子小球从白出口（或者黑出口）出来了，我们就说量子小球在颜色检验中表现出白色（或者黑色）：白出口量子小球·二出口白出口量子小球.黑出口图 1当然，量子小球是显不见的，怎么知道它们是从哪个出口出去的呢？在两个出口上安装指示灯，如果白出口上的灯亮了，就表明量子小球从白出口出去了，量子小球在这个检测过程中表现出白色：如果黑出口上的灯亮了，就表明量子小球从黑出口出去了，量子小球在这个检测过程中表现出黑色如图1所示，还需要说明的是，我们并没有显到白色或黑色.实际上，这不过是为了区分不同的观测结果而人为设定的一种说法已经假设量子小球在颜色检验中只能表现出两个不同的结果，我们把其中一个结果叫做白色，另一个结果叫做黑色.当然也可以把它们分别叫做红色和绿色.为了显到并且区分这3
量子世界中的 “小球” 测量仪器有两种, C-box H-box 对应于两个不同的表象, C 表象和 H 表象. 测量装置的一端联系着微观世界, 另一端将体现观测结果. 观测结果是宏观的经典层面上的现象. C 仪器 C 仪器的左侧有一个入口, 量子小球通过这个入口进入 C 仪器中. 仪器的右侧有两个出 口, 分别叫做白出口和黑出口. 如果量子小球从白出口 (或者黑出口) 出来了, 我们就说量子小球在 颜色检验中表现出白色（或者黑色）. C 量子小球 白出口 黑出口 C 量子小球 白出口 黑出口 图 1 当然, 量子小球是看不见的, 怎么知道它们是从哪个出口出去的呢? 在两个出口上安装指示灯, 如果 白出口上的灯亮了, 就表明量子小球从白出口出去了, 量子小球在这个检测过程中表现出白色; 如 果黑出口上的灯亮了, 就表明量子小球从黑出口出去了, 量子小球在这个检测过程中表现出黑色. 如图 1 所示. 还需要说明的是, 我们并没有看到白色或黑色. 实际上, 这不过是为了区分不同的观测结果而人为 设定的一种说法. 已经假设量子小球在颜色检验中只能表现出两个不同的结果, 我们把其中一个结 果叫做白色, 另一个结果叫做黑色. 当然也可以把它们分别叫做红色和绿色. 为了看到并且区分这 3
两个不同的结果，我们在两个出口上安装了指区灯：其中一个指区灯亮了，就对应一种观测结果，姑且叫做白色；另一个指区灯亮了，就对应另一种观测结果，姑且叫做黑色，只有被观测到的才能被称作现象.我们为现象赋予“真实”、“客观”这样一类描述，但也止步于此，H仪器设想量子小球可以表现出另一类型的现象，姑且叫做硬度.同样地为了简单起见，假设量子小球只会表现出两种硬度——硬的和软的为了于测量子小球的硬度，我们需个使用另一个仪器，叫做H仪器.和C仪器类似，H仪器的左侧有一个入口，右侧有两个出口，一个叫做硬出口，另一个叫做软出口.两个出口上各有一盏指区灯，用来表明量子小球是从哪一个出口出去的，或者说，用来表明量子小球在关于硬度的于测中表现出怎样的现象.如图2所区.量子小球量子小球一图 2颜色检验的结果用C仪器于测量子小球，如图3所区.可以看到：1.当量子小球一个一个地进入C仪器时，每次只有一盏指区灯闪亮，表明量子小球个么从白出口出来，个么从黑出口出来.两盏灯不会同时亮，就是说，一个量子小球不会同时从两个出口出来，2.，一个量子小球进入C仪器之后，我们无法断定哪一个出口上的指区灯会闪亮但是，随着进入C仪器的量子小球越来越多，观测结果呈现一定的规律：白出口上指区灯闪亮的次数和黑出口上指区灯闪亮的次数大概各占一半，为了叙述简练，下面暂且省略“大概”这个词+2+图3：在这里和以后的图示中，当我们把两个出口上的指示灯都画成红色的时候，只是为了说明在实验过程中不会只有一个指示灯在闪亮，而不是两个指示灯同时闪亮第一个现象容易理解，向C仪器输入一个量子小球，不会在输出端出来两个.第二个现象可以用经4
两个不同的结果, 我们在两个出口上安装了指示灯. 其中一个指示灯亮了,就对应一种观测结果, 姑 且叫做白色; 另一个指示灯亮了,就对应另一种观测结果，姑且叫做黑色. 只有被观测到的才能被称作现象. 我们为现象赋予 “真实”、“客观” 这样一类描述, 但也止步于此. H 仪器 设想量子小球可以表现出另一类型的现象, 姑且叫做硬度. 同样地为了简单起见, 假设量 子小球只会表现出两种硬度 —— 硬的和软的. 为了检测量子小球的硬度, 我们需要使用另一个仪器, 叫做 H 仪器. 和 C 仪器类似, H 仪器的左侧 有一个入口, 右侧有两个出口, 一个叫做硬出口, 另一个叫做软出口. 两个出口上各有一盏指示灯, 用来表明量子小球是从哪一个出口出去的, 或者说, 用来表明量子小球在关于硬度的检测中表现出 怎样的现象. 如图 2 所示. H 量子小球 硬出口 软出口 H 量子小球 硬出口 软出口 图 2 颜色检验的结果 用 C 仪器检测量子小球, 如图 3 所示. 可以看到: 1. 当量子小球一个一个地进入 C 仪器时, 每次只有一盏指示灯闪亮, 表明量子小球要么从白出 口出来, 要么从黑出口出来. 两盏灯不会同时亮, 就是说, 一个量子小球不会同时从两个出口 出来. 2. 某一个量子小球进入 C 仪器之后, 我们无法断定哪一个出口上的指示灯会闪亮. 但是, 随着进 入 C 仪器的量子小球越来越多, 观测结果呈现一定的规律: 白出口上指示灯闪亮的次数和黑 出口上指示灯闪亮的次数大概各占一半. 为了叙述简练, 下面暂且省略 “大概” 这个词. C 白出口 黑出口 1 2 1 2 量 子小球 图 3: 在这里和以后的图示中, 当我们把两个出口上的指示灯都画成 红色的时候, 只是为了说明在实验过程中不会只有一个指示灯 在闪亮, 而不是两个指示灯同时闪亮. 第一个现象容易理解, 向 C 仪器输入一个量子小球, 不会在输出端出来两个. 第二个现象可以用经 4
典小球作类比：一大袋子经典小球然中一半是白球然一半是黑球.需要注意的是然这个类比并不严格然旦是可以接受硬度检验的结果与颜色检验的结果类似.如图4所示、7图4：让量子小球一个一个地进入H仪器次只会看到一个指示灯闪亮然而且然H仪器的硬出口和软出口出去的量子小球各占一半.这个现象也可以理解重复检验在图5中然第一次颜色检验结束之后紧接着再做一次颜色检验C图 5C1仪器白出口上的指示灯不断闪亮然黑出口上的指示灯始终不亮：C2仪器黑出口上的指示灯不断闪亮然而白出口上的指示灯始终不亮同样地然于硬度的重复检验有类似的结果，重复检验的结果是确定的然不再是随机的，在进行重复检验时然殿有表象的改C.C-H检验如图6所示然这是一个测量序列然含两个不同的测量过程看到的现象是：检测硬度的两个仪器然H1和H2然黑出口和白出口上指示灯闪亮的次数各占一半交换测量次序然进行H-C序列测量然到的现象类似.以上现象也可以用经典小球类比缴仅是类比解一个大袋子装了很多经典小球然中（白，硬）然(白，软)然黑，硬)然黑，软）各占四分之一然么然经典小球的检验结果类似于对量子小球的C-H或 H-C 检验结果,5
典小球作类比: 一大袋子经典小球, 其中一半是白球, 另一半是黑球. 需要注意的是, 这个类比并不 严格, 但是可以接受. 硬度检验的结果 与颜色检验的结果类似. 如图 4 所示. H 硬出口 软出口 1 2 1 2 量 子小球 图 4: 让量子小球一个一个地进入 H 仪器, 每次只会看到一个指示 灯闪亮, 而且, 从 H 仪器的硬出口和软出口出去的量子小球各 占一半. 这个现象也可以理解. 重复检验 在图 5 中, 第一次颜色检验结束之后紧接着再做一次颜色检验. C 白出口 黑出口 C1 白出口 黑出口 C2 白出口 黑出口 量 子小球 图 5 C1 仪器白出口上的指示灯不断闪亮, 而黑出口上的指示灯始终不亮; C2 仪器黑出口上的指示灯不 断闪亮, 而白出口上的指示灯始终不亮. 同样地, 关于硬度的重复检验有类似的结果. 重复检验的结果是确定的, 不再是随机的. 在进行重复检验时, 没有表象的改变. C–H 检验 如图 6 所示, 这是一个测量序列, 包含两个不同的测量过程. 看到的现象是: 检测硬度的两个仪器, H1 和 H2, 黑出口和白出口上指示灯闪亮的次数各占一半. 交换测量次序, 进行 H–C 序列测量, 看到的现象类似. 以上现象也可以用经典小球类比 (仅仅是类比). 一个大袋子装了很多经典小球, 其中 (白,硬), (白,软), (黑,硬), (黑, 软) 各占四分之一, 那么, 对经典小球的检验结果类似于对量子小球的 C–H 或 H–C 检验结果. 5