第二章量子态力学量 Ⅱ量子力学的测量假设Hilbert空间的维数n等于在一次观测过程中可以严格区分的状态数：例如，在小球-盒子模型或者自旋1/2的SG实验中，观测结果有两个，那么描述小球或者自旋1/2粒子的状态的Hilbert空间的维数等于2，即C2.量子力学的测量假设.Born-Liders规则观测量A被表示为描述量子系统的Hilbert上的厄密算子A.A的本征分解（eigen-decomposition）形式是A=aala)(al，《alas)=i（非简并情形)1=1系统的量子态在基向量αi）上的展开为[) =c[), G= (a;)i=1观测结果是其本征值，得到某个结果ai的几率等于p=c=/)12如果得到结果ai，测量后系统处于状态Qi)各个现象出现的几率的总和为1，所以1=pi=2i也就是说，量子态表示为Hilbert空间中归一化的向量需要注意的是，我们观测到的不是观测量的本征值，而是宏观层面上的现象，是表现在测量仪器上真实而客观的读数或响应.经过多轮次的实验观测，发现仪器的读数不是确定的，而是随机的.进一步地可以得到某个读数（记作mi）出现的概率.1
第二章 量子态 力学量 II 量子力学的测量假设 Hilbert 空间的维数 𝑛 等于在一次观测过程中可以严格区分的状态数. 例如, 在小球-盒子模型或者 自旋 1/2 的 SG 实验中, 观测结果有两个, 那么描述小球或者自旋 1/2 粒子的状态的 Hilbert 空间 的维数等于 2, 即 C 2 . 量子力学的测量假设, Born-Lüders 规则. 观测量 A 被表示为描述量子系统的 Hilbert 上的厄密算子 𝐴. 𝐴 的本征分解 (eigen-decomposition) 形式是 𝐴 = ∑︁𝑛 𝑖=1 𝑎𝑖 |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 | , ⟨𝛼𝑖 |𝛼𝑗 ⟩ = 𝛿𝑖𝑗 (非简并情形) 系统的量子态在基向量 |𝛼𝑖⟩ 上的展开为 |𝜓⟩ = ∑︁𝑛 𝑖=1 𝑐𝑖 |𝛼𝑖⟩, 𝑐𝑖 = ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ 观测结果是其本征值, 得到某个结果 𝑎𝑖 的几率等于 𝑝𝑖 = |𝑐𝑖 | 2 = | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 如果得到结果 𝑎𝑖 , 测量后系统处于状态 |𝛼𝑖⟩. 各个现象出现的几率的总和为 1, 所以 1 = ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 = ∑︁ 𝑖 |𝜓𝑖 | 2 也就是说, 量子态表示为 Hilbert 空间中归一化的向量. 需要注意的是, 我们观测到的不是观测量的本征值, 而是宏观层面上的现象, 是表现在测量仪器上 真实而客观的读数或响应. 经过多轮次的实验观测, 发现仪器的读数不是确定的, 而是随机的. 进一 步地可以得到某个读数 (记作 𝑚𝑖) 出现的概率. 1
至于仪器的读数mi和被测力学量A的本征值ai之间的关系，量子测量理论描述了一个理想的情形：mi和a,之间存在一一对应的函数关系，即ai=f(mi)，通过读数mi，就可以推知本征值ai，通过mi出现的几率，就可以得知力学量A在量子态l）取值ai的几率.不过，在很多情况下，为了叙述上的简明，我们经常说“测量力学量A，得到它的某个本征值a”之类的话.可以看到，通过量子测量假设，量子态和力学量这两个量子理论形式系统中的概念与实际观测结果建立了联系，更确切的说，与实际观测结果的几率分布建立了联系.特别地，如果系统的初态[）就是力学量A的某个本征态，比如说[）=|αs)，那么，测量结果一定是k，换句话说，得到结果ak的几率是1，而得到其它结果的几率一律为0.只有在这种情况下，我们才能看到确定的结果：这就是我们以前说过的，在不变的表象中可以看到受限制的经典现象设量子系统处于A的本征态αk)，我们希望知道的却是另一个力学量B的测量结果的几率分布，那么[ak)= (B;lk) [βB;)IpP = /<β;lαk) /如果[A,B]≠0，那么一般情况下IB不会是A的本征态1.对B的测量结果不是确定的，体现了不确定关系，从数学形式上说，在非简并情形下，可以定义一组一维投影算符IⅡI，=Qi)《αil，这些一维投影算符具有如下性质FEZ; = 1=,=o，i=1Z"=Ⅱ;=1实际上就是空间的完备性的体现.对于自然基向量lei)，容易验证Z;lei)(e|=1.对于基{lai)],可以有酉变换V将自然基向量le)变换为|ai)，即V[ei)=[ai)，于是ZI = lai)(ai/ = v(Zle)(el)vt = t = 1用Ⅱ，作用于[)，有)=[g) (l)=g)于是几率pi可以表示为(1)=c;/2=()=[ (]1可能有这样的情况，虽然A和B不对易，但是存在某个[)，满足A)=B)=0.2
至于仪器的读数 𝑚𝑖 和被测力学量 𝐴 的本征值 𝑎𝑖 之间的关系, 量子测量理论描述了一个理想的情 形: 𝑚𝑖 和 𝑎𝑖 之间存在一一对应的函数关系, 即 𝑎𝑖 = 𝑓(𝑚𝑖), 通过读数 𝑚𝑖 , 就可以推知本征值 𝑎𝑖 , 通 过 𝑚𝑖 出现的几率, 就可以得知力学量 𝐴 在量子态 |𝜓⟩ 取值 𝑎𝑖 的几率. 不过, 在很多情况下, 为了叙述上的简明, 我们经常说 “测量力学量 𝐴, 得到它的某个本征值 𝑎𝑖” 之 类的话. 可以看到, 通过量子测量假设, 量子态和力学量这两个量子理论形式系统中的概念与实际观测结果 建立了联系, 更确切的说, 与实际观测结果的几率分布建立了联系. 特别地, 如果系统的初态 |𝜓⟩ 就是力学量 𝐴 的某个本征态, 比如说 |𝜓⟩ = |𝛼𝑘⟩, 那么, 测量结果一定 是 𝑎𝑘, 换句话说, 得到结果 𝑎𝑘 的几率是 1, 而得到其它结果的几率一律为 0. 只有在这种情况下, 我 们才能看到确定的结果. 这就是我们以前说过的, 在不变的表象中可以看到受限制的经典现象. 设量子系统处于𝐴 的本征态 |𝛼𝑘⟩, 我们希望知道的却是另一个力学量 𝐵 的测量结果的几率分布, 那 么 |𝛼𝑘⟩ = ∑︁ 𝑖 ⟨𝛽𝑖 |𝛼𝑘⟩ |𝛽𝑖⟩ 𝑝 𝐵 𝑖 = | ⟨𝛽𝑖 |𝛼𝑘⟩ |2 如果 [𝐴, 𝐵] ̸= 0, 那么一般情况下 |𝛽𝑖⟩ 不会是 𝐴 的本征态 1 . 对 𝐵 的测量结果不是确定的, 体现了 不确定关系. 从数学形式上说, 在非简并情形下, 可以定义一组一维投影算符 Π𝑖 = |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 |, 这些一维投影算符具 有如下性质, Π𝑖 = Π† 𝑖 , Π𝑖Π𝑗 = Π𝑖𝛿𝑖𝑗 , ∑︁𝑛 𝑖=1 Π𝑖 = ✶ ∑︀𝑛 𝑖=1 Π𝑖 = ✶ 实际上就是空间的完备性的体现. 对于自然基向量 |𝑒𝑖⟩, 容易验证 ∑︀ 𝑖 |𝑒𝑖⟩⟨𝑒𝑖 | = ✶. 对 于基 {|𝛼𝑖⟩}, 可以有酉变换 𝑉 将自然基向量 |𝑒𝑖⟩ 变换为 |𝛼𝑖⟩, 即 𝑉 |𝑒𝑖⟩ = |𝛼𝑖⟩, 于是 ∑︁ 𝑖 Π𝑖 = ∑︁ 𝑖 |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 | = 𝑉 (︁∑︁ 𝑖 |𝑒𝑖⟩⟨𝑒𝑖 | )︁ 𝑉 † = 𝑉 𝑉 † = ✶ 用 Π𝑗 作用于 |𝜓⟩, 有 Π𝑗 |𝜓⟩ = |𝛼𝑗 ⟩ ⟨𝛼𝑗 |𝜓⟩ = 𝑐𝑗 |𝛼𝑗 ⟩. 于是几率 𝑝𝑗 可以表示为 𝑝𝑗 = |𝑐𝑗 | 2 = ⟨𝜓| Π𝑗 |𝜓⟩ = Tr [︀ Π𝑗 (|𝜓⟩⟨𝜓|) ]︀ (1) 1可能有这样的情况, 虽然 𝐴 和 𝐵 不对易, 但是存在某个 |𝜓⟩, 满足 𝐴 |𝜓⟩ = 𝐵 |𝜓⟩ = 0. 2
即投影算符Ⅱ，在[）中的期望值.还要注意到Zp=1ZI,=1关于量子力学的测量假设，我们有如下评述。用投影算子Il，=αi）(ai作用于山，结果是cii)：这并不是量子测量的完整过程.与本征值ai对应的ciai）是一个未归一化的态量，仍然属于Hilbert空间，尚没有表现出经典层面上的现象以及相应的儿率，需注意c是儿率幅，而几率是c2.对几率幅求模方的过程是量子力学的测量假设规定的，·测量结果是要体现在仪器上的．测量仪器一方面要能够与被测的量子系统产生相互作用，另一方面还要能够展现经典层面上的客观现象。·当某个结果（用a；标记）被观测到的时候，被测量子系统从测量前的状态[）变化为测量后的状态αi)，这个过程通常被简单地称为“塌缩”。听起来这似乎是瞬间完成的．但是，任何物理过程都需要一定的时间以后将对量子测量理论进行初步讨论投影算子Ⅱ,=αi)(αil的性质：·投影算子是厄米算子,ⅡI=I.·彼此正交，II,I,=oij·?=IⅡ，本征值为1和0.·完备，,Ⅱ=1还可以定义某个子空间上的投影算子.设Cn中的一个子空间S的基向量是lαi,)，j=1，，m，这个子空间上的投影算子是IS =loi,(ai,lj正交子空间上的投影算子也是彼此正交的如果两个力学量对易，那么它们可以有相同的本征向量A[a)=;ai),B[B,)=b,[B,),[A,B] =00 = [A, B] [αi) = (AB -BA) [αi)A(B[i) = BA|αi) = ai(B[i))暂不考虑简并情形B[ai) α [αi)3
即投影算符 Π𝑗 在 |𝜓⟩ 中的期望值. 还要注意到 ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 = 1 ⇐⇒ ∑︁ 𝑖 Π𝑖 = ✶ 关于量子力学的测量假设, 我们有如下评述. ❼ 用投影算子 Π𝑖 = |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 | 作用于 |𝜓⟩, 结果是 𝑐𝑖 |𝛼𝑖⟩. 这并不是量子测量的完整过程. 与本征 值 𝑎𝑖 对应的 𝑐𝑖 |𝛼𝑖⟩ 是一个未归一化的态矢量, 仍然属于 Hilbert 空间, 尚没有表现出经典层 面上的现象以及相应的几率. 需注意 𝑐𝑖 是几率幅, 而几率是 |𝑐𝑖 | 2 . 对几率幅求模方的过程是量 子力学的测量假设规定的. ❼ 测量结果是要体现在仪器上的. 测量仪器一方面要能够与被测的量子系统产生相互作用, 另 一方面还要能够展现经典层面上的客观现象. ❼ 当某个结果 (用 𝑎𝑖 标记) 被观测到的时候, 被测量子系统从测量前的状态 |𝜓⟩ 变化为测量后 的状态 |𝛼𝑖⟩, 这个过程通常被简单地称为 “塌缩”. 听起来这似乎是瞬间完成的. 但是, 任何物 理过程都需要一定的时间. 以后将对量子测量理论进行初步讨论. 投影算子 Π𝑖 = |𝛼𝑖⟩⟨𝛼𝑖 | 的性质: ❼ 投影算子是厄米算子, Π𝑖 = Π† 1 . ❼ 彼此正交, Π𝑖Π𝑗 = 𝛿𝑖,𝑗 . ❼ Π2 𝑖 = Π𝑖 , 本征值为 1 和 0. ❼ 完备, ∑︀ 𝑖 Π𝑖 = ✶. 还可以定义某个子空间上的投影算子. 设 C 𝑛 中的一个子空间 𝒮 的基向量是 |𝛼𝑖𝑗 ⟩, 𝑗 = 1, · · · , 𝑚, 这 个子空间上的投影算子是 Π 𝒮 = ∑︁𝑚 𝑗=1 |𝛼𝑖𝑗 ⟩⟨𝛼𝑖𝑗 | 正交子空间上的投影算子也是彼此正交的. 如果两个力学量对易, 那么它们可以有相同的本征向量. 𝐴 |𝛼𝑖⟩ = 𝑎𝑖 |𝛼𝑖⟩, 𝐵 |𝛽𝑗 ⟩ = 𝑏𝑗 |𝛽𝑗 ⟩, [𝐴, 𝐵] = 0 0 = [𝐴, 𝐵] |𝛼𝑖⟩ = (𝐴𝐵 − 𝐵𝐴)|𝛼𝑖⟩ 𝐴(𝐵 |𝛼𝑖⟩) = 𝐵𝐴 |𝛼𝑖⟩ = 𝑎𝑖(𝐵 |𝛼𝑖⟩) 暂不考虑简并情形 𝐵 |𝛼𝑖⟩ ∝ |𝛼𝑖⟩ 3
lai）是B的本征态因此，当[A,B]=0时，可以在同一个表象中描述这两个力学量，可以在相同的实验环境中测量它们，这两个力学量是相容的，观测量的期望值观测量获得本征值ai的几率是pi=I<αild)2，期望值是(A)μ=aipi1=ail (i) 2i=a; (l) (ai)i=(blai)a (al)=(A)= Tr(A [)(l)力学量的本征值对应于测量结果，期望值对应于测量结果的加权平量，它们都是需要借助测量才能体现.不能轻易地说力学量具有先验的不变的值测量后量子系统的状态测量前，系统的状态处于叠加态[) = [)强调：这是几率幅的叠加，而不是几率的混合，如果作选择，比如选择Q1)，从操作上说，当仪器的端口1上出现响应的时候，将该端口上的出射粒子保存起来（假设测量过程是非破坏的），那么这些粒子的状态就是α1）：做成这件事的概率是P1=|c1/2.这可以看作是量子态的制备过程，如果想选择端口1或端口2上的出射粒子，那么还是要在观测到端口1或端口2有响应的时候设简保存出射粒子，选择成功的几率是Psuccess = P1 + p2 = [ci/2 + [c2/2 = / (a1b) 12 + / <α2/4) [24
⃦ ⃦ ⇓ |𝛼𝑖⟩ 是 𝐵 的本征态 因此, 当 [𝐴, 𝐵] = 0 时, 可以在同一个表象中描述这两个力学量, 可以在相同的实验环境中测量它 们, 这两个力学量是相容的. 观测量的期望值 观测量获得本征值 𝑎𝑖 的几率是 𝑝𝑖 = | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 , 期望值是 ⟨𝐴⟩𝜓 = ∑︁ 𝑖 𝑎𝑖𝑝𝑖 = ∑︁ 𝑖 𝑎𝑖 | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 = ∑︁ 𝑖 𝑎𝑖 ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ ⟨𝜓|𝛼𝑖⟩ = ∑︁ 𝑖 ⟨𝜓|𝛼𝑖⟩ 𝑎𝑖 ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ = ⟨𝜓|𝐴|𝜓⟩ = Tr(𝐴 |𝜓⟩⟨𝜓|) 力学量的本征值对应于测量结果, 期望值对应于测量结果的加权平均, 它们都是需要借助测量才能 体现. 不能轻易地说力学量具有先验的不变的值. 测量后量子系统的状态 测量前, 系统的状态处于叠加态 |𝜓⟩ = ∑︁ 𝑖 𝑐𝑖 |𝛼𝑖⟩ 强调: 这是几率幅的叠加, 而不是几率的混合. 如果作选择, 比如选择 |𝛼1⟩, 从操作上说, 当仪器的端口 1 上出现响应的时候, 将该端口上的出射 粒子保存起来 (假设测量过程是非破坏的), 那么这些粒子的状态就是 |𝛼1⟩. 做成这件事的概率是 𝑝1 = |𝑐1| 2 . 这可以看作是量子态的制备过程. 如果想选择端口 1 或端口 2 上的出射粒子, 那么还是要在观测到端口 1 或端口 2 有响应的时候设 法保存出射粒子. 选择成功的几率是 𝑝success = 𝑝1 + 𝑝2 = |𝑐1| 2 + |𝑐2| 2 = | ⟨𝛼1|𝜓⟩ |2 + | ⟨𝛼2|𝜓⟩ |2 4
成功选择后，所获得的量子系统的状态是[α1）和α2）的混合（而不是叠加)，量子态|α1）出现的几率是一，量子态1a2）出现的几率是可能有这样的想法：用两维子空间上的投影算子[α1)《α1|+[Q2)(α2|作用于|)(la1)(a1/ + /2)(α2D) /)=Ci [a1)+C2 /2)得到的是两维子空间中的一个向量，归一化，给出几率P1,2 = c/2 + [c2/2归一化的量子态是(2)[1,2] =(c1 [Q1) + C2 [2)VP1,2虽然几率P1.2等于上面的Psuccess，但是，以这种方式得到的41.2）不是[α1）和[Q2)以不同几率的混合，而是α1）和[α2）以几率幅形式的叠加，二者有本质上的区别以两维投影算子[α1)(αi/+[α2)(α2|作用于[）并得到(2）的过它实际上是在简并情形下进行选择性量子测量的结果，设想观测量A的两个本征向量α1)和α2）对应于同一个本征值a1，那么，当得到观测结果a1的时候，系统的测量后的状态就是由（2)式给出的[41,2)非选择的测量过它完成后，系统的每一个测量后（post-meas于rement）的状态[αi）以一定的几率一一对应于可以严格区分的宏观现象mi，这时，系统的状态不能写为Epta)我们要表示的不是以几率幅的叠加，而是以几率的混合.暂且把这种混合状态记作&={pi，Qi)，[) 非选择测量, = [p; ai],(3)其中i=1,，n，Pi=c/=I<αild)2.它的意思是，系统以几率pi处于被测力学量A的某一个本征态lai）.这是混合态（mixedstate）混合态前面讨论了测量后系统的状态，一般情况下，测量后的状态不能表示为若干个右失的线性叠加，因此需要有一个数学形式描述测量后的量子态.这涉及混合态的概念，5
成功选择后, 所获得的量子系统的状态是 |𝛼1⟩ 和 |𝛼2⟩ 的混合 (而不是叠加), 量子态 |𝛼1⟩ 出现的几 率是 𝑝1 𝑝1+𝑝1 , 量子态 |𝛼2⟩ 出现的几率是 𝑝2 𝑝1+𝑝1 . 可能有这样的想法: 用两维子空间上的投影算子 |𝛼1⟩⟨𝛼1| + |𝛼2⟩⟨𝛼2| 作用于 |𝜓⟩, (|𝛼1⟩⟨𝛼1| + |𝛼2⟩⟨𝛼2|)|𝜓⟩ = 𝑐1 |𝛼1⟩ + 𝑐2 |𝜓2⟩ 得到的是两维子空间中的一个向量, 归一化, 给出几率 𝑝1,2 = |𝑐1| 2 + |𝑐2| 2 归一化的量子态是 |𝜓1,2⟩ = 1 √𝑝1,2 (𝑐1 |𝛼1⟩ + 𝑐2 |𝜓2⟩) (2) 虽然几率 𝑝1,2 等于上面的 𝑝success, 但是, 以这种方式得到的 |𝜓1,2⟩ 不是 |𝛼1⟩ 和 |𝛼2⟩ 以不同几率的混合, 而是 |𝛼1⟩ 和 |𝛼2⟩ 以几率幅形式的叠加, 二者有本质上的区别. 以两维投影算子 |𝛼1⟩⟨𝛼1| + |𝛼2⟩⟨𝛼2| 作用于 |𝜓⟩ 并得到 (2) 的过程实际上是在简并 情形下进行选择性量子测量的结果. 设想观测量 𝐴 的两个本征向量 |𝛼1⟩ 和 |𝛼2⟩ 对应于同一个本征值 𝑎1, 那么, 当得到 观测结果 𝑎1 的时候, 系统的测量后的状态就是由 (2) 式给出的 |𝜓1,2⟩. 非选择的测量过程完成后, 系统的每一个测量后 (post-measurement) 的状态 |𝛼𝑖⟩ 以一定的几率一 一对应于可以严格区分的宏观现象 𝑚𝑖 , 这时, 系统的状态不能写为 ✟ ❍ ✟ ❍ ✟✟✟ ❍❍❍ ∑︁ 𝑖 𝑝𝑖 |𝛼𝑖⟩ 我们要表示的不是以几率幅的叠加, 而是以几率的混合. 暂且把这种混合状态记作 ℰ = {𝑝𝑖 , 𝛼𝑖}, |𝜓⟩ 非选择测量 −−−−−−−→ ℰ = {𝑝𝑖 , 𝛼𝑖}, (3) 其中 𝑖 = 1, · · · , 𝑛, 𝑝𝑖 = |𝑐𝑖 | 2 = | ⟨𝛼𝑖 |𝜓⟩ |2 . 它的意思是, 系统以几率 𝑝𝑖 处于被测力学量 𝐴 的某一个 本征态 |𝛼𝑖⟩. 这是混合态 (mixed state). 混合态 前面讨论了测量后系统的状态, 一般情况下, 测量后的状态不能表示为若干个右矢的线性叠加, 因 此需要有一个数学形式描述测量后的量子态. 这涉及混合态的概念. 5