85行列式的计算教学目的掌握矩阵的概念和矩阵的初等变换，熟练掌握将数字行列式化为上三角形行列式的算法.重点数字行列式化为上三角形行列式的算法教学过程下面利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法在$3我们看到，一个上三角形行列式Jaai2..anoa2...a2m:：:0..am就等于它主对角线上元素的乘积aa22*..amm这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的n级行列式化为上三角形行列式来计算定义5由sn个数排成的s行(横的）n列(纵的)的表auai2.. aina2ia22.. a2n(1)".(asa2..am)称为一个sxn矩阵数a,,i=1,2,,s,j=1,2,,n,称为矩阵(1)的元素，i称为元素a的行指标，j称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域P中的数时，它就称为这一数域P上的矩阵nxn矩阵也称为n级方阵.一个n级方阵
§5 行列式的计算 教学目的 掌握矩阵的概念和矩阵的初等变换，熟练掌握将数字行列式化 为上三角形行列式的算法. 重 点 数字行列式化为上三角形行列式的算法. 教学过程 下面利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法. 在§3 我们看到，一个上三角形行列式 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 就等于它主对角线上元素的乘积 a11a22 ann 这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的 n 级行列式化为上三角形行 列式来计算. 定义 5 由 sn 个数排成的 s 行(横的) n 列(纵的)的表 s s sn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (1) 称为一个 sn 矩阵. 数 aij ,i = 1,2, ,s, j = 1,2, ,n ,称为矩阵(1)的元素， i 称为元素 ij a 的行 指标， j 称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，它就称 为这一数域 P 上的矩阵. nn 矩阵也称为 n 级方阵.一个 n 级方阵
aua12aina21a22a2n. A=目aman2ann定义一个n级行列式aai2..ana21a22.a2n1:aman2..am称为矩阵A的行列式，记作IAI定义6所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行；2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数；3）互换矩阵中两行的位置一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，我们写成A→B若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵现在回过来讨论行列式的计算问题一个n级行列式可看成是由一个n级方阵A决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2，6，7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵A总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵J.由行列式性质2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是1A=klJl,k±0显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的例计算
= n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 定义一个 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 的行列式，记作 | A |. 定义 6 所谓数域 P 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1）以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵的某一行的 c 倍加到另一行，这里 c 是 P 中任意一个数； 3) 互换矩阵中两行的位置. 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵 B 时，我们写成 A→ B 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的 下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个 n 级行列式可看成是由一个 n 级方阵 A 决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质 2，6，7 正 是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵 A 总可以经过 一系列的初等行变换变成阶梯形方阵 J .由行列式性质 2，6，7，对方阵每作 一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是 | A |= k | J | ,k 0 显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的. 例 计算