例2设函数f(x)=sinx,求(sinx)'及(sinx)' 解 (sinx)=lim sin(x+h)-sinx -)0 h h =lim cos(x+ 2 =c0S. h-→0 h 2 即 (sinx)'=cos x. 2 ..(sinx) 2
例 2 ( ) sin , (sin ) (sin ) . 4 x 设函数 f x x 求 x 及 x 解 h x h x x h sin( ) sin (sin ) lim0 2 2 sin ) 2 limcos( 0 h h h x h cos x . 即 (sin x) cos x. 4 4 (sin ) cos x x x x . 22
例3求函数y=x"(n为正整数)的导数. 解(x"y=imc+)”-x” h =limx+-x-2h++h-]=m-1 h-0 2 即 (x")'=x-1. 更一般地 ()y=x-1.(（ueR) 例如，( - 2x y= x21
例3 求函数 y x (n为正整数)的导数. n 解 h x h x x n n h n ( ) ( ) lim 0 ] 2! ( 1) lim[ 1 2 1 0 n n n h x h h n n nx 1 n nx ( ) . 1 n n 即 x nx 更一般地 ( ) . ( ) 1 x x R 例如, ( x) 1 2 1 2 1 x . 2 1 x ( ) 1 x 1 1 ( 1) x . 1 2 x
例4求函数f(x)=a'(a>0,a≠1)的导数 (a*y=lim0-a 解 h-→0 h a"-1 -a*lim h-→0 h a*Ina. 即 (a)'=a'na. (er)'=e
例 4 求函数 f (x) a (a 0,a 1)的导数. x 解 h a a a x h x h x 0 ( ) lim h a a h h x 1 lim0 a ln a . x (a ) a ln a. x x 即 ( ) . x x e e
例5求函数y=log。x(a>0,a≠1)的导数. 解y'=lim og.(x+)-log。x h-→0 h h、 log (1+") C 1 =lim h-→0 h X -mlog.1+°-oe.e Xh→0 即 og。xy=lg,e.mxy=l
例 5 求函数 y log x(a 0,a 1)的导数. a 解 h x h x y a a h log ( ) log lim0 log . 1 (log ) e x a x a 即 . 1 (ln ) x x x xh xh a h 1 log (1 ) lim0 hx a h xh x limlog (1 ) 1 0 log . 1 e x a
例6讨论函数f(x)=x在x=0处的可导性 解.f(0+)-f0)_ y=X h lim()=lim h-1, h-→0t h h-→0+lh 1imf0+h)-/0)=m 0 -h=-1. h 0 即f(0)≠'(0)，.函数y=f(x)在x=0点不可导
例 6 讨论函数 f (x) x 在x 0处的可导性. 解 y x x yo , (0 ) (0) hh h f h f hh h f h f h h 0 0 lim (0 ) (0) lim 1 , hh h f h f h h 0 0 lim (0 ) (0) lim 1 . ( 0 ) ( 0), 即 f f 函数y f (x)在x 0点不可导