《数学分析》课程教学资源（讲稿）第三章 极限续论

Ch3极限续论(实数基本定理) 计划课时:12课时 P95-119 2004.12.08 Ch3实数基本定理(12时) §0连续统假设简介(2时) 数的发展简史 1.自然数的产生:十九世纪数学家 Leopold Kronecker说:上帝创造了整数,其余 则是我们人类的事了 2.从自然数系到有理数系: 3.算术连续统假设的建立及其破灭:不可公度性的发现及其深远影响 Pythagoras(约在纪元前六世纪), Hippasus, Leonardo da vinci称为“无 理的数”. Eudoxus, Euclid 4.微积分的建立: Newton, Leibniz; Euler, Lagrange,D′ Alembert, Laplace, Voltaire, B. Berkeley 十九世纪分析学理论的重建工作:B. Bolzano, A. Cauchy,Abel, Dirichlet Weierstrass, Archimedes数域 5.实数系的建立 十九世纪后半叶由 weierstrass,Mray, Dedekind, Cantor等完成 连续统假设: 1连续统假设:以 Cantor实数为例做简介. Cauchy(1789—1857,法), Bolzano (1781-1845), Cantor(18291920).在他们的著作中表现了实数连续性的观点 1900年,哥庭根大学教授 Hilbert(1862-1943,德)在巴黎国际数学家代表大会上 的致辞中,提出了二十三个研究课题,其中的第一题就是所谓连续统假设.首当其 冲的是关于连续统观点的算术陈述.(参阅D.J.斯特洛伊克著《数学简史》P160 161).连续统假设的研究现况. 三、实数基本定理 连续统假设的等价命题.共有九个定理,我们介绍其中的七个.另外还有上、下极限 定理和实数完备性定理 §1实数基本定理的陈述(4时 确界存在定理:回顾确界概念 Th1非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界 二、单调有界原理:回顾单调和有界概念

Ch 3 极限续论（实数基本定理） 计划课时：12 课时 P 95-119 2004．12．08. Ch 3 实数基本定理 （ 1 2 时） § 0 连续统假设简介 （ 2 时 ） 一、 数的发展简史 1．自然数的产生: 十九世纪数学家 Leopold Kronecker 说: 上帝创造了整数, 其余 则是我们人类的事了. 2． 从自然数系到有理数系: 3． 算术连续统假设的建立及其破灭 : 不可公度性的发现及其深远影响 . Pythagoras （约在纪元前六世纪）， Hippasus， Leonardo da Vinci 称为“无 理的数”. Eudoxus , Euclid. 4． 微积分的建立: Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , D′Alembert , Laplace ; Voltaire , B. Berkeley . 十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet, Weierstrass . Archimedes 数域. 5． 实数系的建立: 十九世纪后半叶由 Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成. 二、 连续统假设: 1 连续统假设: 以 Cantor 实数为例做简介. Cauchy ( 1789—1857, 法 ), Bolzano (1781—1845 ), Cantor ( 1829—1920 ).在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900 年, 哥庭根大学教授 Hilbert( 1862—1943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上 的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 ,其中的第一题就是所谓连续统假设. 首当其 冲的是关于连续统观点的算术陈述.( 参阅 D.J.斯特洛伊克著《数学简史》P160— 161 ).连续统假设的研究现况. 三、 实数基本定理: 连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有上、下极限 定理和实数完备性定理. § 1 实数基本定理的陈述 （ 4 时 ） 一、 确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 二、 单调有界原理: 回顾单调和有界概念

Th2单调有界数列必收敛 三、 Cantor闭区间套定理 1.区间套:设{[an,bn]}是一闭区间序列若满足条件 i>对Vn,有[an,bn]c[an,bn],即an≤an<bn≤b,亦即后 个闭区间包含在前一个闭区间中 i>bn-an→0,(n→∞).即当n→>∞时区间长度趋于零.则称该闭区间 序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套简而言之,所谓区间套是指一个“闭、 缩、套”区间列区间套还可表达为 ≤a2≤…≤an≤…<…≤b≤…≤b2≤b (n→>∞).我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列{an}和{bn},其中{an} 递增,{bn}递减.例如{[ ]}和{[0,-]}都是区间套.但 {[1+ ,1+-]}、{(0,-]}和{[--,1+-]}都不是 n 2. Cantor区间套定理: Th3设{[an,bnl}是一闭区间套.则存在唯一的点,使对Vn有∈[an,bn] 简言之,区间套必有唯一公共点 四. Cauchy收敛准则—数列收敛的充要条件 1.基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为 Cauchy列 例1验证以下两数列为 Cauchy列 )x=09sin09+092siny09+…+09″sin√9 解()|xn。-xn|=1094si"09+…+096sm"09|s ≤0.9″ +0.9″+P<0.9″+1+…+0.9″+P+…= =10×0.9+1 1-0.9 lg 对vE>0,为使|xm-xn|<E,易见只要n+1>10.于是取N lg0.9 1)”2,(-1) a 2n+1 2(n+p)

Th 2 单调有界数列必收敛 . 三、 Cantor 闭区间套定理 : 1．区间套: 设 ba nn } ] , [ { 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ> 对 , 有 ∀ n ] , [ , 即 ba nn ++ 11 ⊂ ] , [ ba nn ≤ < ++ 11 ≤ bbaa nnnn , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> ab nn →− ,0 n ∞→ )( . 即当 n → ∞ 时区间长度趋于零.则称该闭区间 序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、 缩、套” 区间列.区间套还可表达为: , 21 aaa n n ≤≤<≤≤≤≤ """" ≤ ≤ bbb 12 − ab nn → ,0 . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.例如 n ∞→ )( } { an } {bn } { an } {bn } ] 1 , 1 [ { nn − 和 } ] 1 , 0 [ { n 都是区间套 . 但 } ] 2 1 , ) 1 ( 1 [ { nn n + − + 、 } ] 1 , 0 ( { n 和 } ] 1 1 , 1 [ { nn +− 都不是. 2． Cantor 区间套定理: Th 3 设 ba nn } ] , [ { 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ ,使对 ∀ n 有ξ ∈ ] , [ ba nn . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1．基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为 Cauchy 列. 例 1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : ⑴ n n n x 9.0sin9.09.0sin9.09.0sin9.0 2 = + "++ . ⑵ 12 ) 1 ( 5 1 3 1 1 1 − − +−+−= + n a n n " . 解 ⑴ =− ++ ≤ + + + + + | 9.0sin9.09.0sin9.0| || n 1 n 1 pn pn npn xx " <++≤ + + 9.09.0 n 1 " " pn " +++ + + 9.09.0 n 1 pn 1 1 9.010 9.01 9.0 + + ×= − = n n ; 对 ε >∀ 0，为使 <− || ε + npn xx ，易见只要 9.0lg 10 lg 1 ε n >+ .于是取 N = "" . ⑵ 1)(2 )1( 32 )1( 12 )1( || 2 3 1 −+ − ++ + − + + − =− + + ++ + nn pn aa n n pn npn " 71

(-1) n n 当p为偶数时,注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号,有 1-1+ 2n+12n+3 2(n+p) > 2n+12n+3)(2 2(n+p)-32(n+p)-1 又 2n+12n+3 2(n+p)-1 2n+1(2n+32n+5 2(n+P)-52n+)-3)2(n+x 当p为奇数时 2n+12n+3 2(n+p)-1 ≥0 2n+12n+3 (n+p)-52(n+p)-3)2(m+p) 2n+12n+3 2(n+p) 2n+1(2n+32n+5 2(n+p)-32(n+p)-1)-2 综上,对任何自然数p,有 0≤ +P) n Cauchy列的否定: 例2x,=∑1.验证数列{x,;不是Caz列 k 取p=n,有 1n+2 因此,取E0 Cauchy收敛原理:

1)(2 )1( 32 1 12 1 1 −+ − ++ + − + = + nn pn p " . 当 p 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 = −+ −+ + − + 1)(2 1 32 1 12 1 nn pn " 0 1)(2 1 3)(2 1 72 1 52 1 32 1 12 1 ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − −+ ⎟ ++⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + nnnn pnpn " , 又 = −+ −+ + − + 1)(2 1 32 1 12 1 nn pn " ≤ −+ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − −+ ⎟ −−⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − + = 1)(2 1 3)(2 1 5)(2 1 52 1 32 1 12 1 nnn pnpn pn " 12 1 + ≤ n . 当 p 为奇数时 , = −+ −+ + − + 1)(2 1 32 1 12 1 nn pn " 0 1)(2 1 3)(2 1 5)(2 1 32 1 12 1 ≥ −+ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − −+ ⎟ ++⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = nn pnpn pn " , = −+ −+ + − + 1)(2 1 32 1 12 1 nn pn " 12 1 1)(2 1 3)(2 1 52 1 32 1 12 1 + ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − −+ ⎟ −−⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − + = nnn pnpn n " . 综上 , 对任何自然数 p , 有 12 1 1)(2 )1( 32 1 12 1 0 1 + ≤ −+ − ++ + − + ≤ + nn npn p " n 1 < . …… Cauchy 列的否定: 例 2 ∑= = n k n k x 1 1 . 验证数列 }{ 不是 Cauchy 列. n x 证 对 , 取 ∀n p = n , 有 2 1 2 1 2 1 1 1 || => + ++ + + + + =− n n nn nn xx npn " . 因此, 取 2 1 ε 0 = ,…… 2． Cauchy 收敛原理: 72

Th4数列{an}收斂分{an}是 Cauchy列 要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy准则,并以 Cauchy收敛原理为依据, 利用 Heine归并原则给出证明 五.致密性定理 数集的聚点(亦称为接触点) 定义设E是无穷点集.若在点ξ(未必属于E)的任何邻域内有E的无穷多个点 则称点5为E的一个聚点数集E={-}有唯一聚点0,但0∈E;开区间(0,1)的 全体聚点之集是闭区间[0,1];设Q是[0,1]中全体有理数所成之集,易见Q的聚 点集是闭区间[0,1] 1.列紧性:亦称为 Weierstrass收敛子列定理 Th5( Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列 2.聚点原理: Weierstrass聚点原理 Ih6每一个有界无穷点集必有聚点 六. HeineBorel有限复盖定理: 1.复盖:先介绍区间族G={l2,A∈A} 定义(复盖)设E是一个数集,G是区间族,若对x∈E,彐4∈A,x∈l2 则称区间族G复盖了E,或称区间族G是数集E的一个复盖.记为 EcUl2A∈A.若每个都是开区间,则称区间族G是开区间族开区间族常 记为M={(a12,B2),a2<B2,A∈A} 定义(开复盖)数集E的一个开区间族复盖称为E的一个开复盖,简称为E的 个复盖 子复盖、有限复盖、有限子复盖 M={(x,3x),x∈(0,1)}复盖了区间(0,1),但不能复盖 b [0,1];H={(x ),x∈(a,b)}复盖[a,b),但不能复盖 [a,b] 2. Heine- Borel有限复盖定理: h7闭区间的任一开复盖必有有限子复盖 §1(附加)实数基本定理等价性的证明(4时) 证明若干个命题等价的一般方法本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明 按以下三条路线进行

Th 4 数列 } { 收敛 是 Cauchy 列. an ⇔ } { an ( 要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy 准则，并以 Cauchy 收敛原理为依据， 利用 Heine 归并原则给出证明 ) 五. 致密性定理: 数集的聚点(亦称为接触点): 定义 设 E 是无穷点集. 若在点ξ (未必属于 E )的任何邻域内有 E 的无穷多个点, 则称点ξ 为 E 的一个聚点.数集 E = } 1 { n 有唯一聚点 0 , 但 0∉ E ; 开区间 的 全体聚点之集是闭区间 ; 设Q 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚 点集是闭区间 . ) 1 , 0 ( ] 1 , 0 [ ] 1 , 0 [ Q ] 1 , 0 [ 1． 列紧性: 亦称为 Weierstrass 收敛子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 六．Heine–Borel 有限复盖定理: 1． 复盖: 先介绍区间族 = λ Λ∈ } , { λ IG . 定义( 复盖 ) 设 E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对∀ ∈ Ex ∃λ ∈ Λ , , ∋ λ ∈ Ix , 则称区间族 G 复盖了 E , 或称区间族 是数集 G E 的一个复盖 . 记 为 ⊂ λ Λ∈ . , λ λ ∪IE , ) , ( { 若每个 都是开区间, 则称区间族G 是开区间族 . 开区间族常 记为 λ I = α β α β , λ ∈< Λ } M λλ λ λ . 定义( 开复盖 ) 数集 E 的一个开区间族复盖称为 E 的一个开复盖, 简称为 E 的一 个复盖. 子复盖、有限复盖、有限子复盖. 例 1 } ) 1 , 0 ( ), 2 3 , 2 = ( { x ∈ xx M 复盖了区间 , 但不能复盖 ; ) 1 , 0 ( ] 1 , 0 [ } ) , ( , ) 2 , 2 ( { bax xb x xb xH ∈ − + − −= 复盖 , 但不能复盖 . ba ) , [ ba ] , [ 2． Heine–Borel 有限复盖定理: Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖. § 1（附加） 实数基本定理等价性的证明 （ 4 时 ） 证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明 按以下三条路线进行: 73

I:确界原理→单调有界原理→区间套定理→ Cauchy收敛准则→确 界原理 Ⅱ:区间套定理→致密性定理→ Cauchy收敛准则 Ⅲ:区间套定理→ Heine- Borel有限复盖定理→区间套定理 “I”的证明:(“确界原理→单调有界原理η已证明过 1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th2单调有界数列必收敛.(证) 2.用“单调有界原理”证明“区间套定理” Th3设{[an,bl]}是一闭区间套.则存在唯一的点5,使对n有∈[an,b] 系1若ξ∈[an,bn]是区间套{[an,bn]}确定的公共点,则对VE>0,彐N,当 n>N时,总有[an,bn]cU(,E) 系2若5∈[an,bn]是区间套{[an,bn]}确定的公共点,则有an5,b~5, (n→∞) 3.用“区间套定理”证明“ Cauchy收敛准则” Th4数列{an}收敛{an}是 Cauchy列 引理 Cauchy列是有界列.(证) mh4的证明:(只证充分性)教科书P217-218上的证明留作阅读.现采用 [3]P70-71例2的证明,即三等分的方法,该证法比较直观 4.用“ Cauchy收敛准则”证明“确界原理”: Th1非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界 证(只证“非空有上界数集必有上确界”)设E为非空有上界数集.当E为有限 集时,显然有上确界下设E为无限集,取a不是E的上界,b1为E的上界 对分区间[a1,b1],取[a2,b2],使a2不是E的上界,b2为E的上界.依此得闭区 间列{[an,bn]}.验证{bn}为 Cauchy列,由 Cauchy收敛准则,{bn}收敛;同理 {an}收敛.易见bn、.设b、B.有anB.下证SupE=B.用反证法验证β的 上界性和最小性. Ⅱ”的证明: 1.用“区间套定理”证明“致密性定理” Th5( Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列 证(突出子列抽取技巧) Th6每一个有界无穷点集必有聚点

Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 确 界原理 ; ⇒ ⇒ ⇒ Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine–Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 . 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ). 1． 用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 .（证） 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: Th 3 设 ba nn } ] , [ { 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ ,使对 ∀ n 有ξ ∈ ] , [ ba nn . （证） 系 1 若ξ ∈ ] , [ ba nn 是区间套 ba nn } ] , [ { 确定的公共点, 则对 ∀ε > 0 , ∃N, 当 > Nn 时, 总有 ] , [ ba nn ⊂ ∪ ξ ε ) , ( . 系 2 若ξ ∈ ] , [ ba nn 是区间套 ba nn } ] , [ { 确定的公共点, 则有 ↗ an ξ , bn ↘ξ , n ∞→ ) ( . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”: Th 4 数列 } { 收敛 是 Cauchy 列. an ⇔ } { an 引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 ) Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书 P217—218 上的证明留作阅读 . 现采用 [3]P70—71 例 2 的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观. 4．用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ： Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 E 为非空有上界数集 . 当 E 为有限 集时 , 显然有上确界 .下设 E 为无限集, 取 a1 不是 E 的上界, b1 为 E 的上界. 对分区间 ba 11 ] , [ , 取 ba 22 ] , [ , 使 a2 不是 E 的上界, b2 为 E 的上界. 依此得闭区 间列 . 验证 为 Cauchy 列, 由 Cauchy 收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 ↘. 设 ↘ } ] , [ { ba nn } {bn } {bn } { an bn bn β .有 an ↗ β .下证sup E = β .用反证法验证 β 的 上界性和最小性. 二、 “Ⅱ” 的证明: 1．用“区间套定理”证明“致密性定理”: Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 74