Ch5微分学的基本定理及其应用 计划课时:16学时 P174235 2004.I1,0 §1中值定理(3时 极值概念 1.极值:图解,定义(区分一般极值和严格极值) 2.可微极值点的必要条件: Th( Fermat)(证) 函数的稳定点,稳定点的求法 二.微分中值定理: 1.Roll中值定理:叙述为Th1.(证)定理条件的充分但不必要性 2. Lagrange中值定理:叙述为Th2.(证)图解 用分析方法引进辅助函数,证明定理.也可用几何直观引进辅助函数 Lagrange中值定理的各种形式关于中值点的位置 系1函数f(x)在区间I上可导且f(x)≡0,→f(x)为I上的常值函数(证) 系2函数f(x)和g(x)在区间I上可导且 f(x)≡g(x),→f(x)=g(x)+c,x∈L 系3设函数f(x)在点x0的某右邻域U,(x0)上连续,在∪(x0)内可导.若 imf(x)=f(x+0)存在,则右导数f(x0)也存在,且有∫(x0)=f(x0+0)(证) 但是,∫(x0+0)不存在时,却未必有f(x0)不存在.例如对函数 x sin X≠ f(x) 0, 0, 虽然∫(0+0)不存在,但∫(x)却在点x=0可导(可用定义求得f(0)=0) Th(导数极限定理)设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内连续,在∪(x)内 可导.若极限Imf(x)存在,则∫(x)也存在,且∫(x)=limf(x).(证) 由该定理可见,若函数f(x)在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数 f(x)的连续点,要么是∫(x)的第二类间断点.这就是说,当函数f(x)在区间I上 点点可导时,导函数∫(x)在区间I上不可能有第二类间断点 系4(导函数的介值性)若函数∫在闭区间{a,b上可导,且∫(a)(b)<0, →3∈(a,b),3f(5)=0.(证) Th( Darboux)设函数∫(x)在区间[a,b上可导且f∫(a)≠∫(b).若k为介于 f'(a)与∫(b)之间的任一实数,则彐∈(a,b),3f'()=k (设∫(b)<k<∫(a),对辅助函数F(x)=f(x)-kx,应用系4的结果(证) 3. Cauchy中值定理 Th3设函数∫和g在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,∫'和g'在(a,b) 内不同时为零,又g(a)≠g(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ,使 f∫'(5)f(b)-f(a) g(5)g(b)-g(a)
Ch 5 微分学的基本定理及其应用 计划课时： 16 学时 P174—235 2004．11．05. § 1 中值定理 （ 3 时 ） 一、 极值概念： 1．极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2．可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. 二. 微分中值定理: 1. Rolle 中值定理: 叙述为 Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性. 2．Lagrange 中值定理: 叙述为 Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理. 也可用几何直观引进辅助函数. Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系 1 函数 在区间 xf )( I 上可导且 ′ xf ⇒≡ xf )( ,0)( 为 I 上的常值函数. (证) 系 2 函数 和 在区间 xf )( xg )( I 上可导且 ′ ≡ ′ +=⇒ cxgxfxgxf ,)()( ),()( x ∈I. 系 3 设函数 在点 的某右邻域 上连续, 在 内可导. 若 存在, 则右导数 也存在, 且有 xf )( 0 x )( 0 x ∪+ )( 0 + x D ∪ 0 )0()(lim0 ′ = ′ + → + xfxf xx )( 0 xf + ′ ).0()( + ′ 0 = ′ xfxf 0 + (证) 但是, ′ xf 0 + )0( 不存在时, 却未必有 不存在 + ′ xf 0 )( . 例如对函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = .0 ,0 ,0 , 1 sin )( 2 x x x x xf 虽然 不存在 f ′ + )00( , 但 却在点 可导 xf )( x = 0 (可用定义求得 f ′ = 0)0( ). Th ( 导数极限定理 ) 设函数 在点 的某邻域 内连续, 在 内 可导. 若极限 存在, 则 也存在, 且 xf )( 0 x )( 0 ∪ x )( 0 x D ∪ )(lim0 xf xx ′ → )( 0 ′ xf ).(lim)( 0 0 xfxf xx ′ = ′ → ( 证 ) 由该定理可见, 若函数 在区间 I 上可导, 则区间 I 上的每一点, 要么是导函数 的连续点, 要么是 的第二类间断点. 这就是说, 当函数 在区间 I 上 点点可导时, 导函数 在区间 I 上不可能有第二类间断点. xf )( ′ xf )( ′ xf )( xf )( ′ xf )( 系 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导 f ba ],[ , 且 ′ ′ < ,0)()( −+ bfaf ξ ∋∈∃⇒ fba ′ ξ = .0)( ),,( ( 证 ) Th ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 xf )( ba ],[ ′ ≠ ′ bfaf )()( . 若 为介于 与 之间的任一实数, 则 k ′ af )( ′ bf )( ξ ∈∃ ∋ ′ ξ = kfba .)( ),,( （设 ′ << ′ afkbf ),()( 对辅助函数 = )()( − kxxfxF , 应用系 4 的结果. ( 证 )） 3．Cauchy 中值定理: Th 3 设函数 f 和 g 在闭区间 上连续 ba ],[ , 在开区间 内可导 ba ),( , f ′和 g′ 在 内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 ba ),( =/ bgag ).()( ba ),( ξ, 使 )()( )()( )( )( agbg afbf g f − − = ′ ′ ξ ξ
证分析引出辅助函数F(x)=f()-(b)-f(a) g(x).验证F(x)在[a,b上满 (b)-g(a) 足Role定理的条件,→3∈(an,b), F'(5)=f(5)- g(5)=0. g(b)-g(a) 必有g'()≠0,因为否则就有∫'()=0.这与条件“∫'和g'在(a,b)内不同时为 零”矛盾.→ Ccly中值定理的几何意义 Ex[P1791-4 三.中值定理的简单应用:(讲1时 1.证明中值点的存在性:参阅[3]P104 例1设函数∫在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则彐5∈(a,b),使得 b f(b)-f(a)=5ln-·f'() 证在Cach中值定理中取g(x)=nx 例2设函数∫在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有f(a)=∫(b)=0.试证明 3ξ∈(a,b),)f(5)-f(5)=0 2.证明恒等式:原理 例3证明对Vx∈R,有 ariga+ arctan=f 例4设函数∫和g可导且f(x)≠0,又 ∫9≠0.则g(x)=cf(x).(证明 例5设对x,h∈R,有|f(x+h)-f(x)≤Mh2,其中M是正常数则函数 f(x)是常值函数 (证明∫=0) 3.证明不等式:原理 例6证明不等式h>0时 h 1+h2 g<arctgh< h 例7证明不等式:对n,有—,<ln(1+-)< n+1 4.证明方程根的存在性 例8证明方程sinx+ Xcosx=0在(0,丌)内有实根 例9证明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内有实根 Ex[1jP163- §2 Taylor公式(3时) 问题和任务 用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度 二. Taylor(1685-1731)多项式: 定义( Taylor多项式P(x)及 Maclaurin多项式) 例1求函数f(x)=x3-4x2+2在点x0=2的ayor多项式 Taylor公式和误差估计: Rn(x)=∫(x)-P(x)为余项.称给出Rn(x)的定量或定性描述的式
证 分析引出辅助函数 xfxF )()( −= )()( )()( agbg afbf − − xg )( . 验证 在 上满 足 Rolle 定理的条件, xF )( ba ],[ ∃⇒ ξ ∈ ba ),,( ∋ ′ ξ = fF ′ ξ )()( − )()( )()( agbg afbf − − g′ ξ = .0)( 必有 g′ ξ =/ 0)( , 因为否则就有 f ′ ξ = 0)( .这与条件“ f ′ 和 g′ 在 内不同时为 零”矛盾. ba ),( ⇒ "" Cauchy 中值定理的几何意义. Ex [1]P179 1—4； 三．中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 1. 证明中值点的存在性: 参阅[3]P104. 例 1 设函数 在区间 上连续 f ba ],[ , 在 内可导 ba ),( , 则∃ξ ∈ ba ),( , 使得 − afbf )()( f ξξ )(ln a b ⋅= ′ . 证 在 Cauchy 中值定理中取 = ln)( xxg . 例 2 设函数 在区间 f ba ],[ 上连续, 在 ba ),( 内可导, 且有 = bfaf = 0)()( .试证明: ξ ξ −∋∈∃ ffba ′ ξ = 0)()( ),,( . 2． 证明恒等式: 原理. 例 3 证明: 对 x ∈∀ R , 有 2 π arctgx arcctgx =+ . 例 4 设函数 f 和 g 可导且 xf ≠ ,0)( 又 = .0 gf ′′ gf 则 = xcfxg )()( .( 证明 ′ = 0) ( f g . ) 例 5 设对 hx , ∈∀ R , 有 , 其中 2 ≤−+ |)()(| Mhxfhxf M 是正常数. 则函数 xf )( 是常值函数. (证明 f ′ = 0 ). 3． 证明不等式: 原理. 例 6 证明不等式: h > 0时, harctgh h h << + 2 1 . 例 7 证明不等式: 对 ，有 ∀n n nn 1 ) 1 1 ln( 1 1 <+< + . 4. 证明方程根的存在性: 例 8 证明方程 xxx =+ 0cossin 在 π ),0( 内有实根. 例 9 证明方程 234 ++=++ cbacxbxax 在 内有实根. 3 2 ) 1 , 0 ( Ex [1]P163—164 § 2 Taylor 公式 ( 3 时 ) 一. 问题和任务: 用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 1685—1731 )多项式: 定义 ( Taylor 多项式 n xP )( 及 Maclaurin 多项式 ) 例 1 求函数 24)( 在点 的 Taylor 多项式. 23 xxxf +−= x0 = 2 三. Taylor 公式和误差估计: 称 n −= n xPxfxR )()()( 为余项 . 称给出 的定量或定性描述的式 xR )( n 51
f(x)=P(x)+Rn(x)为函数f(x)的 Taylor公式 1.误差的定量刻画(整体性质)— Taylor中值定理: Th1设函数∫满足条件 i>在闭区间[a,b]上∫有直到n阶连续导数 i)在开区间(a,b)内∫有n+1阶导数 则对x∈(an,b),彐5∈(a,b),使 (x)=f(a)+r(ax-a)+Va)(x-a)2+…+"(a)(x-ay”+ f(m(5) f(a) n+1) (x-a)= (x-a)+ k (n+1)! 证[1]P188-189 称这种形式的余项Rn(x)为 Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的7 aylor公式为 具 Lagrange型余项的7 aylor公式. Lagrange型余项还可写为 fm(a+0(x-a) (x-a),∈(0,1) a=0时,称上述 Taylor公式为 Maclaurin公式,此时余项常写为 R (x) fnl(at)x”,0<6<1 关于aylo公式中 Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfano,G. Azpeitia, On the Lagrange reminder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89 (1982) Ex[1]P192 2.误差的定性描述(局部性质)— Peano型余项: Th2若函数∫在点a的某邻域∪(a)内具有n-1阶导数,且f(a)存在,则 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ f"(a) (x-a)2+ (x-a)"+o((x-a)" 21 n 证设Rn(x)=f(x)-Pn(x),G(x)=(x-a)”.应用L' Hospital法则n-1次,并 注意到f(a)存在,就有 0 R,(x) Rm-l(x)=lin (-(x)-fm(a)-fm(a(x-a) x→aG(x) x→aG(n-1 n(n-1)…2(x-a) =m/ (n-1) 称R,(x)=(x-a))为ay1or公式的Pano型余项,相应的 Maclaurin公式的Pmo 型余项为Rn(x)=(x").并称带有这种形式余项的 Taylor公式为具 Peano型余项的 7 aylor公式(或 Maclaurin公式) 四函数的 Taylor公式(或 Maclaurin公式)展开: 1.直接展开: 例2求f(x)=e的 Maclaurin公式
xRxPxf )()()( n += n 为函数 的xf )( Taylor 公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数 满足条件 f : ⅰ> 在闭区间 上 有直到 阶连续导数 ba ],[ f n ; ⅱ> 在开区间 内 有 ba ),( f n +1阶导数. 则对 ξ ∈∃∈∀ babax ),,( ),,( 使 ++− +− ′′ += ′ +− n n ax n af ax af axafafxf )( ! )( )( !2 )( ))(()()( )( 2 " 1 )1( )( )!1( )( + + − + + n n ax n f ξ ∑= = +− n k k k ax k af 0 )( )( ! )( 1 )1( )( )!1( )( + + − + n n ax n f ξ . 证 [1]P188—189. 称这种形式的余项 为 Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为 具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 xR )( n ,)( )!1( ))(( )( 1 )1( + + − + −+ = n n n ax n axaf xR θ θ ∈ ) 1 , 0( . a = 0 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 ,)( )!1( 1 )( + )1( +1 + = n n n xxf n xR θ < θ < 10 . 关于Taylor公式中Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula.Amer. Math. Monthly, 89(1982). Ex [1]P192 2． 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数 在点 的某邻域 内具有 f a ∪ a)( n −1阶导数, 且 )( 存在, 则 )( af n ++− +− ′′ += ′ +− n n ax n af ax af axafafxf )( ! )( )( !2 )( ))(()()( )( 2 " ( ) n D − ax )( , 证 设 n −= n xPxfxR )()()( , . 应用 n −= axxG )()( L′ Hospital 法则 n −1次, 并 注意到 )( 存在, 就有 )( af n ==== = − − → → )( )( lim )( )( lim )1( )1( 0 0 xG xR xG xR n n n ax n ax )(2)1( ))(()()( lim )1( )1( )( axnn axafafxf n n n ax −− −− − − − → " = 0)( )()( lim ! 1 )( )1( )1( =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − → af ax afxf n n n n ax . 称 ( ) n n D −= axxR )()( 为 Taylor 公式的 Peano 型余项, 相应的 Maclaurin 公式的 Peano 型余项为 . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 ). )()( n n = D xxR 四. 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 )展开: 1. 直接展开: 例 2 求 的 Maclaurin 公式. x )( = exf 52
解c=1+x+x+…+x+ (0<6<1) nl(n+1)! 例3求f(x)=Sinx的 Maclaurin公式 解 SInx=x (2m-1)+E2m(x) 2m+ Rm(x) (2m+Di Sin a+(m+a)I 0<6<1 例4求函数∫(x)=ln(1+x)的具 peano型余项的 Maclaurin公式 解f"(x)=(-1)x(-1)!f((0)=(-1)y-(n-1) (1+x) In(1+x)=x +(-1)nx +o(x") 例6把函数f(x)=gx展开成含x3项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 2.间接展开:利用己知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式 例6把函数f(x)=sinx2展开成含x4项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 SInx=x +o(x) 3!5!7 sinx = x 351-n+( 例7把函数f(x)=cos2x展开成含x°项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 2!4!6 o(x°), 4x426x6 COS 2x +(x°),(注意,o(kx)=(x),k≠0) 2x425x6 cOS x=-(+ cos 2x)=1-x 3! 6(x5) 例8先把函数∫(x)=,展开成具 Peano型余项的 Maclaurin公式.利用得到的 展开式,把函数g(x) 3+5x 在点x0=2展开成具 Peano型余项的 Taylor公式 解f f("(0)=(-1)”n f(x)=1-x+x2-x+…+(-1)"x"+o(x); g(x) 3+5x13+5(x-2)131,5( (x-2)+(5)(x-2-+(1)5(x-y)+.(x-2y) 例9把函数shx展开成具 Peano型余项的 Maclaurin公式,并与sinx的相应展开式 进行比较
解 ) 10 ( , )!1(!!2!1 1 1 2 << + +++++= + θ θ n n x x x n e n xxx e " . 例 3 求 = sin)( xxf 的 Maclaurin 公式. 解 )( )!12( ) 1 ( !5!3 sin 2 12 1 53 xR m xx x xx m m m + − −+−+−= − " − , 10 ,) 2 1 (sin )!12( )( 12 2 ⎟ << ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + = + θ mx π θ m x xR m m . 例 4 求函数 += xxf )1ln()( 的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 )!1() 1()0( , )1( )!1( ) 1()()( 1 )( 1 −−= + − −= − − f n x n xf n n n n n . )() 1( 32 )1ln( 1 32 n n n x n xx x xx " +−+−+−=+ D − . 例 6 把函数 )( = tgxxf 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 5 x 2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式. 例 6 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 2 = sin)( xxf 14 x 解 ) ( !7!5!3 sin 7 753 x xxx xx +−+−= D , ) ( !7!5!3 sin 14 106 14 22 x xxx xx +−+−= D . 例 7 把函数 xxf 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 2 = cos)( 6 x 解 ) ( !6!4!2 1cos 6 642 x xxx x +−+−= D , ), ( !6 2 !3 4 212cos 6 664 2 x xx xx +−+−= D ( 注意, = DD kxkx ≠ 0 ),()( ) ∴ ) ( !6 2 !3 2 1)2cos1( 2 1 cos 6 654 2 2 x xx x xx +−+−=+= D . 例 8 先把函数 x xf + = 1 1 )( 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得到的 展开式, 把函数 x xg 53 1 )( + = 在点 展开成具 2 Peano 型余项的 Taylor 公式. x0 = 解 , )1( !)1( 1 )( + + − = n n n x n f !)1()0( . )( f n n n −= 1)( ); ()1( 32 nn n xxxxf " +−++−+−= D xx 13 )2(5 1 1 13 1 )2(513 1 53 1 )( − + = −+ = + = xx x xg = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+−−+−− − nn n x x x )2() 13 5 () 1()2() 13 5 ()2( 13 5 1 13 1 2 2 " + ( ).)2( n D x − 例 9 把函数 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ，并与 的相应展开式 进行比较. shx sin x 53
解ex x!x +o( x (-1)-+o(x e sInx=x- +=-)“x+ (2m-1)! 五. Taylor公式应用举例: 1.证明e是无理数 例10证明e是无理数 证把e展开成具 Lagrange型余项的 Maclaurin公式,有 e=1+1+ +…+一+ 0<5<1 n!(n+1)! 反设e是有理数,即e=P(p和q为整数),就有ne=整数+2对 n+1 n>9,ne=n也是整数于是es P n2-整数=整数一整数=整数但由 0<5<1,→0<e<e<3,因而当n>3时,不可能是整数.矛盾 n+1 2.计算函数的近似值: 例11求e精确到0.000001的近似值 解 0<5<1 nl(n+1)! 注意到0<5<1→0<e<e<3,有|R(1)≤ <0.000001 (n+ 1)为使 只要取n≥9.现取n=9,即得数e的精确到0.0000010的近似值为 e≈1+1+-+-+…+-≈2.718281 3.利用 Taylor公式求极限:原理
解 ), ( !!2!1 1 2 n n x x n xxx e +++++= D" )( ! )1( !2!1 1 2 n n x n x n xx x e " +−+−+−= D ; ∴ ) ( 2 )!12(!5!3 12 53 12 − − − + − ++++= − = m xx m x m xxx x ee shx " D . 而 ) ( )!12( )1( !5!3 sin 12 53 121 − −− + − − +−+−= m mm x m xx x xx " D . 五. Taylor 公式应用举例: 1. 证明 是无理数 e : 例 10 证明 是无理数 e . 证 把 展开成具 e x Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有 10 , )!1(! 1 !3 1 !2 1 11 << + ++++++= ξ ξ n e n e " . 反设 是有理数 e , 即 p q p e = ( 和 q 为整数 ), 就 有 !en = 整 数 + n +1 eξ . 对 q p nenqn !! , ⋅=>∀ 也是整数. 于是, −⋅= + q p n n e ! 1 ξ 整数 = 整数―整数 = 整数.但由 0 ,10 ee <<<⇒<< ,3 因而当 时， ξ ξ n > 3 n +1 eξ 不可能是整数. 矛盾. 2． 计算函数的近似值: 例 11 求 精确到 的近似值 e 000001.0 . 解 10 , )!1(! 1 !3 1 !2 1 11 << + ++++++= ξ ξ n e n e " . 注意到 0 ,10 ee <<<⇒<< ,3 有 ξ ξ )!1( 3 ) 1 ( + ≤ n Rn . 为使 000001.0 )!1( 3 < n + , 只要取 n ≥ 9 . 现取n = 9, 即得数e 的精确到 的近似值为 000001.0 718281.2 !9 1 !3 1 !2 1 e 11 " ≈+++++≈ . 3. 利用 Taylor 公式求极限: 原理: 54