第二部分单变量积分学 Ch6不定积分 计划课时:12时 P 2004.12.12. Ch6不定积分(12时) §1不定积分的概念及运算法则(2时) 引入:微分问题的反问题,运算的反运算 不定积分的定义: 原函数: 例1填空:( 1 --2 cos x Lxarctgx-=In(1+x ]=arctan 定义.注意∫(x)是f(x)的一个原函数 原函数问题的基本内容:存在性,个数,求法 原函数的个数 Th若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则对vc- Const,F(x)+c都是 f(x)在区间I上的原函数:若G(x)也是f(x)在区间I上的原函数,则必有 G(x)=F(x)+c (证) 可见,若f(x)有原函数F(x),则∫(x)的全体原函数所成集合为{F(x)+c|c∈R} 原函数的存在性:连续函数必有原函数.(下章给出证明)
第二部分 单变量积分学 Ch 6 不定积分 计划课时： 12 时 P 85—100 2004．12．12. Ch 6 不定积分 （ 12 时 ） § 1 不定积分的概念及运算法则（ 2 时 ） 引入： 微分问题的反问题，运算的反运算. 一、 不定积分的定义: 1．原函数： 例 1 填空: 2 1 1 ( ) + x ′ = ; ( ′ = − cos2) x ; 2 ) ( x dx d = ; xe dx d x −= sin) ( ; d ) ( = xdx ; ) ( ′ = arctgx . ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− ′ = .])1ln( 2 1 [ 2 xarctgx x arctgx 定义. 注意 xf )( 是 ′ xf )( 的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若 是 在区间 上的一个原函数 xF )( xf )( I , 则对∀c — Const， 都是 )( + cxF xf )( 在区间I 上的原函数；若 也是 在区间 xG )( xf )( I 上的原函数， 则必有 )()( += cxFxG . ( 证 ) 可见，若 有原函数 xf )( xF )( ，则 xf )( 的全体原函数所成集合为 { │ )( + cxF c ∈Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 )
可见,初等函数在其定义域内有原函数;若∫(x)在区间I上有原函数,则f(x)在区间 I上有介值性 例2已知F(x)为f(x)=2x的一个原函数,F(2)=5.求F(x) 2.不定积分—原函数族::定义,不定积分的记法,几何意义 例3 arctan +c x dx=-x+c 3.不定积分的基本性质:以下设f(x)和g(x)有原函数 )(f(x)dx)=f(x),df(x)x=f(x)dr.(先积后导,形式不变) )jf(xk=f(x)+c,j4(x)=fx)+c.(先导后积多个常数) )a≠0时,jaf(x)x=!「f(x)d (4)」(f(x)±g(x)dtx=f(x)dr±g(x)dh 由(3)、(4可见,不定积分是线性运算,即对Va,B∈R,有 ∫((x)+8(x)k=a(x)+(g(x 当a=β=0时,上式右端应理解为任意常数.) 例4「f(2x-1)d=x3+x+c.求f(1) (f(1)=2) 不定积分基本公式:基本积分表P37238公式1-17 例5 dx 三.利用初等化简计算不定积分:参阅[4P81 例6P(x)=2ax”+ax“+…+an1x+an,求「P(x)dk 例7 (x2-1+ x2+1 1+x
可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 在区间 I 上有原函数, 则 在区间 上有介值性. xf )( xf )( I 例 2 已知 为xF )( xf )( = 2x 的一个原函数, F )2( =5 . 求 xF )( . 2．不定积分—— 原函数族：: 定义, 不定积分的记法, 几何意义. 例 3 ∫ += + carctgx x dx 2 1 ; ∫ += cxdxx 2 3 3 1 . 3．不定积分的基本性质: 以下设 和 有原函数 xf )( xg )( . ⑴ ( ) ∫ ∫ = = ′ )()( ),( )( dxxfdxxfdxfdxxf . (先积后导, 形式不变). ⑵ . (先导后积, 多个常数) ∫ ∫ ′ += )()( ,)()( += cxfxdfcxfdxxf ⑶ α ≠ 0时， ∫ ∫ = αα dxxfdxxf .)()( ⑷ ∫ ∫ ∫ =± ± dxxgdxxfdxxgxf .)()())()(( 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对∀α β ∈ , R , 有 ∫ ∫ ∫ + βα ))()(( = α + β dxxgdxxfdxxgxf .)()( ( 当α β == 0时,上式右端应理解为任意常数. ) 例 4 ∫ ++=− cxxdxxf 3 3 1 )12( . 求 f ) 1 ( . ( f ) 1 ( =2 ). 二. 不定积分基本公式: 基本积分表. P237—238 公式 1—17. 例 5 ∫ .3 xx dx . 三．利用初等化简计算不定积分: 参阅[4]P181. 例 6 )( 0 n 1 n−1 " n−1 ++++= axaxaxaxP n . 求 ∫ )( dxxP . 例 7 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +−= + + .) 1 2 1( 1 1 2 2 2 4 dx x dx x x x . 85
例8 例9 dx 例10()「(102-10-)2atx 例n∫|=「 -2SIn x sIn x 例12 cos- 0sin-0 ExP2411,2, §2不定积分的计算(换元积分法与分部积分法)(10时) 第一类换元法凑微法: H d sin'2x=5sin* 2xd sin 2x= 5sin* 2x(sin 2x)dx=10sin* 2xcos 2xdx ∫losm2xcs2odk=sn2x(sm2x)d=5」sin2 C xd sin2.x ussin 2x 5udu=u'+=sin 2x+c 引出凑微公式 Ih若「f(x)dx=F(x)+c,(x)连续可导,则 ∫/()()h=F()+c 该定理即为:若函数g(1)能分解为 g(0=fL(Jo(), 就有g()h=n)()h=jo)d(
例 8 ∫ + 2 2 1 x dxx . 例 9 ∫ + + dx xx x )1( )1( 2 2 . 例 10 ⑴ ; ⑵ ∫ ∫ − − dx x x 2 )1010( +− .2 132 dxe xx 例 11 ∫ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = dx " x x dx x x 2 2 2 sin sin21 sin 2cos . 例 12 ∫ θ θ θ 22 sincos d . Ex P241 1，2， § 2 不定积分的计算（换元积分法与分部积分法）（1 0 时 ） 一. 第一类换元法 ——凑微法： 由 ,2cos2sin10)2(sin2sin52sin2sin52sin5 4 4 4 xd = = ′dxxxxxd = xdxx ⇒ ∫ ∫ ∫ xdxx = ′dxxx = 2sin2sin5)2(sin2sin52cos2sin10 xxd 4 4 4 = 2sin xu ===== ∫5 +=+= .2sin 4 5 5 cxcuduu 引出凑微公式. Th 若 ∫ += cxFdxxf ,)()( φ x)( 连续可导, 则 ∫ φφ ′ φ += ctFdtttf .)]([)()]([ 该定理即为： 若函数 能分解为 tg )( = φ φ′ ttftg ),()]([)( 就有 ∫ ∫ ∫ = φφ ′ = φφ tdtfdtttfdttg )()]([)()]([)( 86
=p() =∫/(x)=F(x)+c=Fp(+c 例1∫(ax+b)”a,m≠-1,a≠ 例2sec2(5-3x)dhx Bid 3cos 3x cos 2xdx=-(cos x+cos 5x)dx= 常见微分凑法:[4]P183-190 凑法1f(ax+b)1 f(ax+b)(ar +b)If(udu 例4「mxk=J(-cxnk=…=(x-lsm2 例5 g 2+x 例6 x2+2x+312+(x+1) 2 arte x+I 2 dx 例7 x2+2x-3J(x+3)(x-1)4 由例4-7可见,常可用初等化简把被积函数化为∫(ax+b)型,然后用凑法1 例8()「x (2) 4+x054+x x5-2arctg 凑法2xf(x2)、Nf(x)d(x)=f(u)dhn,特别地,有 f(x)xdx=5/(r)d(x)=)f(u)du Fu /(x)dx=2Nxk
=φ tx )( ==== . ∫ φ )]([)()( +=+= ctFcxFdxxf 例 1 + ≠−≠ 0 , 1 ,)( . ∫ amdxbax m 例 2 . ∫ − )35(sec dxx 2 例 3 ∫ ∫ xdxx = + )5cos(cos dxxx = " 2 1 2cos3cos 常见微分凑法：[4]P183—190. 凑法 1 .)( 1 )()( 1 )( duuf a baxdbaxf a dxbaxf =++=+ 例 4 ∫ ∫ −==−= + .)2sin 2 1 ( 2 1 )cos1( 2 1 sin 2 xdx dxx " cxx 例 5 ∫ == + + . 2 2 2 2 2 c x arctg x dx " 例 6 ∫ ∫ + + == ++ = ++ . 2 1 2 2 )1(232 2 2 c x arctg x dx xx dx " 例 7 ∫∫ ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = −+ = −+ dx xx xx dx xx dx 3 1 1 1 4 1 32 )1)(3( 2 . 3 1 ln 4 1 c x x + + − " == 由例 4—7 可见，常可用初等化简把被积函数化为 + baxf )( 型，然后用凑法 1. 例8 ⑴ ∫ + 2 1 x xdx . ⑵ ∫ ∫ == + = + 10 " 510 10 14 4 )( 5 1 4 x xdx x dxx c x arctgx +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= 2 2 5 1 5 5 . 凑法 2 duuf k xdxf k dxxfx kk kk )( 1 )()( 1 )( 1 = = − . 特别地, 有 )( duufxdxfxdxxf 2 1 )()( 2 1 )( 2 22 = = 和 ( ) xdxfdx x xf 2 )( = . 87
例9「 xsin dx 例10 dx 例11 2 =2 arcsin√x+c (1 dx d(x2) 1=x 例12 x(x2+1)x2(x2+1) (x2+1) uu+ 凑法3f(sinx) cos xdx=f(sinx) d sin x=f(u)dar; f(cos x )sin xdx =-f(cos x)d cos x=-f(u)du; f(gx)sec xdx=f(gx)dtg=f(u)du 例13(1)|sin3 x cos xdx.(2)「sin3xdh sin x 例14「 sec xdx ]P247E6 例15sec0xdx +tg 例16∫ g'xsec xdx= tgxsec d sec x=Jex-) 凑法4f(e2)e2dx=f(e2)dle2=f(n)lh dt 例17 dx 凑法5f(lnx)==f( nx)dInx=f()l 例18 x(1+2In x)
例 9 . ∫ dxxx 2 sin 例 10 ∫ . sin dx x x 例 11 ∫ = − xx )1( dx ( ) ∫ = + − cx x xd arcsin2 1 2 2 . 例 12 ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ==== − + = + = + = du xx uu xd xx xdx xx dx xu 1 11 2 1 )1( )( 2 1 )1()1( 2 22 2 2 22 = c x x c u u + + =+ + 1 ln 2 1 1 ln 2 1 2 2 . 凑法 3 cos)(sin = = duufxdxfxdxxf ;)(sin)(sin sin)(cos = − = − duufxdxfxdxxf ;)(cos)(cos sec)( .)()( 2 tgxf = = duufdtgxtgxfxdx 例 13 ⑴ ⑵ ∫ .cossin3 xdxx ∫ .sin3 xdx 例 14 ∫ + − + == . sin1 sin1 ln 2 1 sec c x x xdx " [1]P247 E6 例 15 ( ) ∫ ∫ xdx += dtgxxtg = " 2 6 2 sec 1 . 例 16 ( ) ∫ ∫ ∫ sec = secsec −= = .secsec1sec 2 2 35 24 2 xdxxdxtgxdxxtg " 凑法 4 duufdeefdxeef .)()()( . xx xx = = 例 17 ∫ − − . 2 t e dt 凑法 5 duufxdxf .)(ln)(ln)(ln x dx xf = = 例 18 ∫ + . xx )ln21( dx 88