SF01(数) Ch3函数极限与连续函数 计划课时:26时 P21-39 2004.09.30
S F 01（数） Ch 3 函数极限与连续函数 计划课时： 2 6 时 P 21—39 2004．09．30．
Ch3函数极限与连续函数 §1函数极限(10时) x→x时函数f(x)的极限: 由f(x)= ∫2x+1x≠2 考虑x→2时的极限引入 定义函数极限的“E-0”定义 几何意义 用定义验证函数极限的基本思路 例1验证limC=C. 例2验证Iimx=x0 例3验证lime=1.[P71E1(取6=min{n(1+E),-ln(1-E)}) 例4验证lim P72E2 例5验证im P72E3 例6验证 证由x≠3x3-3x2+3x-912|(x2+3)(x-3)12 2x2-7x+35(2x-1(x-3)5 +312|5 为使|5x-9=5x-15+6≤5x-3+6511需有|x 为使2x-1=2x-6+5≥5-2x-3>1, 需有 2
Ch 3 函数极限与连续函数 § 1 函数极限 （ 1 0 时 ） 一． → xx 0时函数 xf )( 的极限： 由 考虑 时的极限引入. ⎩ ⎨ ⎧ = ≠+ = .2 ,0 ,2 ,12 )( x xx xf x → 2 定义 函数极限的“ε −δ ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 1 验证 .lim0 CCxx = → 例2 验证 0 .lim0 xx xx = → 例 3 验证 1lim . [1]P71 E1 ( 取 0 = → x x e δ = + ε − − ε )}1ln( , )1min{ln( ) 例 4 验证 4lim . [1]P72 E2 2 2 = → x x 例 5 验证 1 )1( lim 2 1 − − → x xx x . [1]P72 E3 例 6 验证 . 5 12 372 933 lim 2 23 3 = − + −+− → x x xxx x 证 由 x ≠ ,3 5 12 )3( )12( )3( )3( 5 12 372 933 2 2 23 − −− −+ =− +− −+− xx xx xx xxx = = . 12 395 125 395 5 12 12 3 2 − −− ≤ − −− =− − + x xx x xx x x 为使 xx x ≤+−≤+−=− ,11635615595 需有 x <− ;13 为使 xx x >−−≥+−=− ,1325562 12 需有 x <− .23 21
于是,倘限制0<x-3<1,就有 23+3x9-12|5931=-1-3 例7证明: lim sin x=sinx.(sinx-snx=、x-xx+x 二.单侧极限 1.定义:单侧极限的定义及记法 几何意义:回顾半邻域U,(a,0)={x0≤x-a<8},U.(a.6)= (a-o,al,∪,(a,δ)=(a,a+δ),U(a,δ)=(a-8,a) 然后介绍 limf(x)等的几何意义 例8验证lim 证考虑使-x<的6 例9求 lim sgn x和 lim sgn x 例10f(x)=ex,求f(0+0)和f(0-0).[P79E8 2.单侧极限与双侧极限的关系 Th lim f(x)=A, o f(o+0)=f(xo-0)=A 类似有:f(∞)=A,分∫(-∞)=f(+∞)=A x2+x 例11证明极限lim 不存在 Ex[]P841()-(4 三.函数极限定义的扩充:[P80.几种无穷大量
于是, 倘限制 x <−< 130 , 就有 5 12 372 933 2 23 − +− −+− xx xxx 12 395 − −− ≤ x xx .311 "" 1 311 −= − ≤ x x 例 7 证明: 0 sinsinlim0 xx xx = → . （ ) 2 cos 2 sin2sinsin 0 0 0 xxxx xx − + =− 二. 单侧极限: 1. 定义： 单侧极限的定义及记法. 几何意义: 回顾半邻域 δ 0 {),( <−≤= δ }, ∪+ axxa ∪− a δ ),( = ). , (),( ), , (),( ], , ( 0 0 − δ aa ∪+ δ aaa += δ ∪− −= δδ aaa 然后介绍 )(lim0 xf xx→ + 等的几何意义. 例 8 验证 .01lim 2 1 =− → − x x 证 考虑使 2 2 2 1 x <− ε 的δ . "" 例 9 求 和x . x sgnlim0−→ x x sgnlim0+→ 例 10 ,)( 1 x = exf 求 f + )00( 和 f − )00( . [1]P79 E8 2. 单侧极限与双侧极限的关系: Th 0 0 .)0()0( ,)(lim0 AxfxfAxf xx = ⇔ + = − = → 类似有: ∞ = ⇔ −∞ +∞= = AffAf .)()( ,)( 例 11 证明极限 1 2 lim 2 1 − −+ → x xx x 不存在. Ex [1]P84 1⑴―⑷. 三. 函数极限定义的扩充: [1]P80. 几种无穷大量. 22
例12验证极限lime=0. 证E∈(0,1),取X=ln->0,Wx<-X,→0<e<e-x=E 此即lime2=0 例13验证lim 2x2+x 2 3-2/=/x+4/3x|+4冲42x 4 证 x 例14验证极限lim x→l-x-1 1-x1 证对G>0,为使一<-G,只要 为使 xH1-x-1|≥1-|1-x,→|1-xk一,又x<1,应有0<1-x< 于是,对上述G>0,取6=mm{1,1 例15x的有理分式当x→>∞时的极限.[1jP82El 四.极限的否定 例16写出“limf(x)=A”的否定命题的分析表述 例17写出下列命题的“否定命题”的分析表述: (1){an}是负无穷大量 (2)f(x)在点x的右极限是A Ex[1]P84-851(5)-(8)
例 12 验证极限 = 0lim . −∞→ x x e 证 ε ∈∀ ), 1 , 0 ( 取 ε ε =<<⇒−<∀>= −Xx X 0 , , 0 eeXx 1 ln . 此即 = 0lim −∞→ x x e 例 13 验证 .2 2 2 lim 2 2 = − + ∞→ x xx x 证 . 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 x x x x x x x x xx x x =≤ − + ≤ − + =− − + > > …… 例 14 验证极限 −∞= −→ −1 lim 2 1 x x x . 证 对 G >∀ 0 , 为使 G x x −< −1 2 , 只要 x G x 11 2 < − ；为使 , 2 1 |1| , 2 1 xx x |1|1|11||| x <−⇒>−−≥−−= 又 x < ,1 应有 2 1 10 x <−< . 于是, 对上述G > 0 , 取 }, "" 4G 1 , 2 1 δ = min{ 例 15 x 的有理分式当 x ∞→ 时的极限. [1]P82 E11 四． 极限的否定： 例 16 写出“ Axf ax = → )(lim ”的否定命题的分析表述. 例 17 写出下列命题的“否定命题”的分析表述: ⑴ }{ 是负无穷大量. an ⑵ 在点 的右极限是 xf )( 0 x A . Ex [1]P84—85 1⑸―⑻，8. 23
五.函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出,并证明 1.唯一性 2.局部有界性:Th2 3.局部保号性:Th3 4.单调性(不等式性质) Th4若Iimf(x)和limg(x)都存在,且存在点x的空心邻域∪(x0,),使 vx∈U(x,6)都有f(x)≤g(x),→limf(x)≤limg(x) 证设Iimf(x)=A,limg(x)=B.(现证对ⅤE>0,有a<B+2E.) VE>0,36>0,x∈Ux0,),→A-E<∫(x)≤g(x)<B+E,→A<B+2E 註:若在Th4的条件中,改“f(x)≤g(x)”为“f(x)<g(x)”,未必就有 A<B.以f(x)=1+x2,g(x)≡1,x0=0举例说明 Th5若lmf(x)=A,Img(x)=B,且A>B.则存在δ>0,当 0<x-x0k6时成立f(x)>g(x) A-B 证取E 5.迫敛性(双逼原理) Th6 6.四则运算性质:(只证“+”和“×”)Th7 例18证明:Iim5x=1 [P75E4 例19证明:im1+ [P82E2 Ex 1P842
五. 函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出，并证明. 1. 唯一性: Th 1 2. 局部有界性: Th 2 3. 局部保号性: Th 3 4. 单调性( 不等式性质 ): Th 4 若 和 都存在 )(lim , 且存在点 的空心邻域 , 使 0 xf →xx )(lim0 xg →xx 0 x ),( 0 0 ∪ x δ ′ ),( 0 0 ∈∀ ∪ xx δ ′ 都有 ≤ xgxf ⇒ ),()( )(lim0 xf →xx ).(lim0 xg →xx ≤ 证 设 )(lim = ( 现证对 0 xf →xx .)(lim , 0 BxgA xx = → ∀ε > ,0 有 < Ba + ε.2 ) .2 ,)()( ),,( ,0 ,0 0 0 δε ∈∀>∃>∀ ∪ xx δ ε BxgxfA ε BA +<⇒+<≤<−⇒ ε 註: 若在 Th 4 的条件中, 改“ ≤ xgxf )()( ”为“ < xgxf )()( ”, 未必就有 < BA . 以 0 ,1)( ,1)( 举例说明. 0 2 += xxgxxf =≡ Th 5 若 BxgAxf xx xx = = → → )(lim , )(lim0 0 , 且 A > B . 则存在δ > 0 , 当 xx 0 ||0 <−< δ 时成立 > xgxf )()( . 证 取 , "" 2 0 − BA ε = 5. 迫敛性( 双逼原理 ): Th6 6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“×”) Th7 例 18 证明: 1 sin lim 0 = → x x x . [1]P75 E4 例 19 证明: e x x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ 1 1lim . [1]P82 E12 Ex [1]P84 2. 24