江画工太猩院 例3求函数y=x"(为正整数)的导数 解(x):m++by-r lim/nx n(n-1) h-0 2x"2h+…+2]=mxnl 即(x")y= nr-I 更一般地(x)=pr2.(∈R) 例如,(x)=x2 2√x (x)=(-1)x1l1
江西理工大学理学院 例3 求函数 y x (n为正整数)的导数. n = 解 h x h x x n n h n + − ′ = → ( ) ( ) lim0 ] 2! ( 1) lim[ 1 2 1 0 − − − → + + − = + n n n h x h h n n nx L −1 = n nx ( ) . −1 ′ = n n 即 x nx 更一般地 ( ) . ( ) 1 x ′ = µx µ∈ R µ µ− 例如, ( x)′ 1 21 21 − = x . 2 1x = ( ) 1 ′ − x 1 1 ( 1) − − = − x . 12 x = −
江画工太猩院 例4求函数∫(x)=a(a>0,≠1)的导数 解(a)=l h→0 m-1 =a lim h→0 即( Ia=a na. (e y=e
江西理工大学理学院 例4 求函数 f (x) = a (a > 0,a ≠ 1)的导数. x 解 h a a a x h x h x − ′ = + →0 ( ) lim h a a h h x 1 lim 0 − = → a ln a. x = (a ) a ln a. x x 即 ′ = ( ) . x x e ′ = e
江画工太猩院 例5求函数y= log,x(a>0,a≠1)的导数 解y=lim g,(x+ h-log,x h→0 loga(+o) =lim h→0x lim logo (lt"=l 0g已 h-→0 Bp (log, x)'==log e. (Inx)'= x
江西理工大学理学院 例5 求函数 y = log x(a > 0,a ≠ 1)的导数. a 解 h x h x y a a h log ( ) log lim0 + − ′ = → log . 1 (log ) e x a x = a 即 ′ . 1 (ln ) x x ′ = x x h x h a h 1 log (1 ) lim 0 ⋅ + = → h x a h x h x lim log (1 ) 1 0 = + → log . 1 e x = a
江画工太猩院 例6讨论函数f(x)=x在x=0处的可导性 解.f(0+)-f0)_h y1 y h ln0+)-f0=imh=1, h→0+ h h→0t+h n:f(0+h)-f(0)_-h m=-1. h-0 即f0)≠0,函数y=f(x)在x=0点不可导
江西理工大学理学院 例6 讨论函数 f (x) = x 在x = 0处的可导性. 解 y = x x y o , (0 ) (0) h h h f h f = + − Q h h h f h f h h → + → + = + − 0 0 lim (0 ) (0) lim = 1, h h h f h f h h − = + − → − → − 0 0 lim (0 ) (0) lim = −1. (0) (0), + − 即 f ′ ≠ f ′ ∴函数y = f (x)在x = 0点不可导
江画工太猩院 四、导数的几何意义与物理意义 1、几何意义 f(x)表示曲线y=f(x) y=f(r) 在点M(xnf(x)处的 T 切线的斜率,即 f(xn)=tana,(a为倾角) 切线方程为y-y=f(x)(x-x0) 法线方程为y-y0= 式- ∫(x)
江西理工大学理学院 四、导数的几何意义与物理意义 o x y y = f ( x ) α T 0 x M 1、几何意义 ( ) tan , ( ) , ( , ( )) ( ) ( ) 0 0 0 0 为倾角 切线的斜率 即 在点 处的 表示曲线 ′ = α α ′ = f x M x f x f x y f x 切线方程为 法线方程为 ( )( ). 0 x 0 x x 0 y − y = f ′ − ( ). ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − ′ − = −