江画工太猩院 ★单侧导数 1左导数: fx=m/)-/()=im(n+A)-/(x); x→xa-0 △ 2右导数: fro=lim f(r)-f(so= lim f(x0+△x)-f(x) x→x0+0x-x。△x→+0△v ★函数f(x)在点x处可导台左导数f(x)和右 导数f(x)都存在且相等
江西理工大学理学院 ★ 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x ∆ + ∆ − = − − ′ = → − ∆ →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x ∆ + ∆ − = − − ′ = → + ∆ →+ + 函数 f (x)在点 0 x 处可导⇔左导数 ( ) 0 f x −′ 和右 导数 ( ) 0 f x +′ 都存在且相等. ★
江画工太猩院 ★如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(a及 f(b)都存在,就说f(x)在闭区间c,b]上可导 ★设函数∫(x)= y(x),x2,讨论在点x的 xx<x 可导性 若 lim fl x0+△x)-f(x) Ar→0 =lim(x+△x)-(x) =∫(xn)存在, Ar→-0
江西理工大学理学院 如果 f (x)在开区间(a,b)内可导，且 f (a) +′ 及 f (b) −′ 都存在，就说 f (x)在闭区间[ ] a,b 上可导. ★ . , ( ), ( ), ( ) 0 0 0 可导性 设函数 讨论在点 x 的 x x x x x x f x ⎩⎨⎧ <≥ = ψϕ x f x x f x x ∆ + ∆ − ∆ →− ( ) ( ) lim 0 0 若 0 x x x x x ∆ + ∆ − = ∆ →− ( ) ( ) lim 0 0 0 ψ ϕ ( ) , = f −′ x0 存在 ★
江画工太猩院 右li f(x0+△x)-f(xn) Ax→+0 lm0x+A00x)=(x)存在, 且∫(x)=f(x)=a, 则f(x)在点x0可导, 且∫(x)=a
江西理工大学理学院 则 f (x)在点x0可导， ( ) , = f +′ x0 存在 x f x x f x x ∆ + ∆ − ∆ →+ ( ) ( ) lim 0 0 0 若 x x x x x ∆ + ∆ − = ∆ →+ ( ) ( ) lim 0 0 0 ϕ ϕ ( ) ( ) , 0 0 f ′ x = f ′ x = a 且 − + ( ) . 且 f ′ x0 = a
江画工太猩院 三、由定义求导数 步骤:(1)求增量y=f(x+△x)-f(x); (2)算比值 △yf(x+△x)-f(x) △x △v (3)求极限y=lim △x→0△ 例1求函数f(x)=C(C为常数)的导数 解∫(x)=lim ∫(x+h)-f(x),C-C =lim h→0 h 即(C)y=0
江西理工大学理学院 三、由定义求导数 步骤 : ( 1 )求增量 ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x); ; ( ) ( ) ( 2 ) x f x x f x x y ∆ + ∆ − = ∆ ∆ 算比值 ( 3 ) lim . 0 x y y x ∆ ∆ ′ = ∆ → 求极限 例1 求函数 f ( x ) = C ( C为常数 )的导数 . 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim0 + − ′ = → h C C h − = → 0 lim = 0. 即 ( C )′ = 0
江画工太猩院 例2设函数f(x)=sm,求( sin x)'x(sin x)' 解( ( Sin x)=lim ch) sin(x sIn x h-0 sIn lim cos(r cos x h→0 即(sinx)y=cosx. sin x)T=cosx x 2
江西理工大学理学院 例2 ( ) sin , (sin ) (sin ) . 4 π = = ′ ′ x 设函数 f x x 求 x 及 x 解 h x h x x h sin( ) sin (sin ) lim0 + − ′ = → 2 2 sin ) 2 limcos( 0 h h h x h = + ⋅ → = cos x. 即 (sin x)′ = cos x. 4 4 (sin ) cos π = π = ∴ ′ = x x x x . 2 2 =