《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用 3-02 第二节 洛必达法则

在(a,x)内至少存在点,使柯西定理f(x) - f(a)(在x与a之间)F(x)- F(a)Af'(x)当x→a时,→a,(3) limF'(x)x->af(x)f'(x)limlimJimAFF(x)F'(x)5ax-→ax-→a

= ( ) ( ) F x f x ( ) ( )   F f   = (在x与a之间) 当x →a时, A F x f x x a =   → ( ) ( ) (3) lim  = → ( ) ( ) lim F x f x x a 柯西定理 在(a, x)内至少存在点,使 =   = → ( ) ( ) lim F x f x x a ( ) ( ) F x f x  → a, ( ) ( ) lim    F f a   → A. − F(a) − f (a)

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.f(x)(x)注 lim(1) limF(x) (0F'(x) (0x-→ax-→af"(x)(= lim（多次用法则）=F"(x) (0x-→a(2)x→a+0,x→a-0,法则成立

注  =      → 0 0 ( ) ( ) (1)lim F x f x x a . (多次用法则) (2) x → a + 0, x → a − 0,  =        = → 0 0 ( ) ( ) lim F x f x x a 法则成立.         → 0 0 ( ) ( ) lim F x f x x a 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导

cos x例 求 lim元元x-2 x2(cos x)sinx元解原式=limlimsin12元元元2D2/1+xcosx-例求 limtsx-→01-sinx.2/1+x解原式=lim=8.3x2x-→0

例解 . 2 cos lim2  − → x x x 求 ) 2 ( (cos ) lim2 −  = →   x x x 原式 1 sin lim2 x x − = →  = − 1 . 例解 . cos 1 lim 3 0 x x x x − + → 求 2 0 3 2 11 sin lim x x x x + − − = → 原 式 ) 00 ( ) 00 ( 2 sin  = − = 

定理2 设(1) lim f(x) = 0(或oo),lim F(x) = 0(或0);1X→80(2)当x>N时,f(x)和F(x)可导,且F'(x)±0;'(x)= A (或为);(3) limF(x)x-→0f(x)f'(x)= A(或为),limlim则F(x)x- F'(x)x80证 令x==,则x→ 等价于z→0,用定理1有Z.f(x)>limlimlim1F(x)x→0Z0z-→0HH7

定理2 (1)lim ( ) = 0( ), lim ( ) = 0( ); → → 设 f x 或 F x 或 x x ( ). ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim =    = → → A 或 为 F x f x F x f x x x (2)当 x  N时, f (x)和F(x)可 导,且F(x)  0; ( ); ( ) ( ) (3)lim =    → A 或 为 F x f x x 则 证 , 1 z 令x = ( ) ( ) lim F x f x x→             = → z F z f z 1 1 lim 0 则 x →  等价于 z → 0, 用定理1有        −              −       = → 2 2 0 1 1 1 1 lim z z F z z f z

f'(x)limlimAF'(x)-0x→0F注对x→>+8(8),定理2成立;元-arctan x2例求 limx-→>+00sinx1+x?解原式= lim1x→+80·cosx

( ) ( ) lim F x f x x   = → 注 对x → +(−), 定理2成立;               = → z F z f z 1 1 lim 0 = A 例 解 . 1 sin arctan 2 lim x x x − →+   求 x x x x 1 cos 1 1 1 lim 2 2  − + − = →+  原 式 ) 0 0 ( = 1