用分量形式表示X'lx'.y',z') =x[x',y',z'),Y'lx',y',z')=ylx'.y'.z'),Z'lx',y',z')=z/x',y',z')至于xy,z,可以考虑(xy,z)=(,,z),以及)=e-z/h),给出(x,y,z]=(x',y',z'le-idLz/h也就是[x, y',z') =e-ioLz/ x, y,z)将这一关系用于X'lx,y,z)=xx,y',z),有eisLz/hX'e-ioLz/h [x,y,z) =x |x,y,z)从而认为eiΦLz/hXe-iΦLz/h=X，即X'=e-isLz/hxeisLz/h=XcosΦ+Y sinp类似地，y'=e-isLz/hYeisLz/h=-Xsinp+Ycosp,Z'=Z上述形式曾出现在(16)式的证明过程中，但是在那里并没有指出e-iΦLz/hXeiΦLz/h就是X注4值得注意的是，不能将R3空间中对向量的旋转变换的结果直接类比于位置算子经历的旋转变换.比较13)式和上述X，Y的表达式.综合以上分析，旋转变换使得R-→R'=e-ioLz/h RelsLz/h5.2.途径二为了体现一般意义的角动量，这里用J表示角动量，它是一个向量算子，有三个分量，Jx，J，J，，并且直接说，角动量是空间旋转变换的生成元“角动量是旋转变换的生成元”这句话体现为，绕n方向转动角度9这个操作是一个酉变换，可以写为U(n, 0) =e-ionJ /h(17)量子态[）经历的旋转变换是)→)=(,))注5如果在R3空间中说“绕z轴旋转角度Φ”那么这就是对向量的旋转变换，很具体，也很形象.如果对函数或波函数说这句话，那么也不奇怪，无非就是让函数图像转一下，但是，如果在C2空间中说“绕之轴旋转”那么就显得难以想象于是这么说，对于C2空间中的量子态|4），存在一类酉变换，构成酉群，相应的生成元构成Lie代数，这个Lie代数具有角动量的特征，拥有与轨道角动量相同的对易关系，我们把这些生成元称为自旋角动量，其中的一个生成元S，决定了“绕z轴的旋转”当然，C2空间过于简单，其中的所有的酉变换都可以视作旋转变换.11
用分量形式表示 X 0 jx 0 ; y0 ; ´0 i = x jx 0 ; y0 ; ´0 i; Y 0 jx 0 ; y0 ; ´0 i = y jx 0 ; y0 ; ´0 i; Z0 jx 0 ; y0 ; ´0 i = ´ jx 0 ; y0 ; ´0 i 至于 jx 0 ; y0 ; ´0 i, 可以考虑 hx; y; ´j i = hx 0 ; y0 ; ´0 j 0 i, 以及 j 0 i = e i L´/„ j i, 给出 hx; y; ´j = hx 0 ; y0 ; ´0 j e i L´/„ 也就是 jx 0 ; y0 ; ´0 i = e i L´/„ jx; y; ´i 将这一关系用于 X0 jx 0 ; y0 ; ´0 i = x jx 0 ; y0 ; ´0 i, 有 e i L´/„X 0 e i L´/„ jx; y; ´i = x jx; y; ´i 从而认为 e i L´/„X0 e i L´/„ = X, 即 X 0 = e i L´/„Xei L´/„ = X cos + Y sin 类似地, Y 0 = e i L´/„Yei L´/„ = X sin + Y cos ; Z0 = Z 上述形式曾出现在 (16) 式的证明过程中, 但是在那里并没有指出 e i L´/„Xei L´/„ 就是 X0 . 注 4 值得注意的是, 不能将 R3 空间中对向量的旋转变换的结果直接类比于位置算子经历的旋转变换. 比较 (13) 式和上 述 X0 , Y 0 的表达式. 综合以上分析, 旋转变换使得 R ! R 0 = e i L´/„ R e i L´/„ 5.2. 途径二 为了体现一般意义的角动量, 这里用 J 表示角动量, 它是一个向量算子, 有三个分量, Jx, Jy, J´, 并且直接说, 角动量是空 间旋转变换的生成元. “角动量是旋转变换的生成元”, 这句话体现为, 绕 n 方向转动角度 # 这个操作是一个酉变换, 可以写为 U(n; #) = e i#nJ/„ (17) 量子态 j i 经历的旋转变换是 j i ! j 0 i = U(n; #)j i 注 5 如果在 R3 空间中说 “绕 ´ 轴旋转角度 ”, 那么这就是对向量的旋转变换, 很具体, 也很形象. 如果对函数或波函数 说这句话, 那么也不奇怪, 无非就是让函数图像转一下. 但是, 如果在 C2 空间中说 “绕 ´ 轴旋转”, 那么就显得难以想象. 于是这么说, 对于 C2 空间中的量子态 j i, 存在一类酉变换, 构成酉群, 相应的生成元构成 Lie 代数, 这个 Lie 代数具有 角动量的特征, 拥有与轨道角动量相同的对易关系, 我们把这些生成元称为自旋角动量, 其中的一个生成元 S´ 决定了 “绕 ´ 轴的旋转”. 当然, C2 空间过于简单, 其中的所有的酉变换都可以视作旋转变换. 11
现在想了解角动量与位置、动量的对易关系，以及角动量的分量之间的对易关系.对于轨道角动量，途径一已经给出了这些对易关系.现在要进行适当地推广，因此避免使用角动量的具体形式,比如L=R×P,或者S，=αz.虽然如此，我们还是要借助位置表象与位置算子的对易子考虑绕z轴的旋转变换U(z,p) =e-igJz/h为了分析J，与位置算子R=（X,Y,Z)的对易关系，需要比较两方面的素材1.在旋转变换下,位置算子R变为R=e-isJz/hReiΦJa/h，这个等式可以看作是超算子对算子的作用.由于暂不知道J，和R的对易关系一一这正是要讨论的，因此无法用Baker-Hausdorff公式继续计算下去，但是可以考虑无穷小过程，从中看到(而不是得到)对易子[Jz,R]2.另一方面，根据条件(2)，给出无穷小变换下R'的形式将这两方面的素材结合在一起，可以得到对易关系首先考虑素材1,Rj -→ R, =e-ioJz/hRjeioJz/h这里R1=X,R2=Y,R3=Z.在无穷小变换下，Φ中→8Φ，180R]→R,=R-e,R..(18)上式包含我们关心的对易子[Jz，R]]然后，考虑素材2.根据条件(2)，位置算子在变换前后本征值不变，R',(r') =rj (r')其中r=x,r2=y,r3=z.至于r"),想象一下，原来在空间r的地方有一个8函数一—这是r);现在，向量r绕z轴旋转了角度Φ,变成了r,在r"的地方有一个8函数——这是Ir).因此,r)总是R,的本征向量，本征值是j,即Rr')=(r)在无穷小变换下，参考(13),可以表示为j =(r+8pez×r)因此，对于无穷小变换，R的本征方程写为(19)Rjr")=jlr")=(r +80ez×r)r")再从另一个角度考察上式右端，注意以下关系(20)(R'+8ez×R')/r)=(r+80ez×r)(r)这个关系仍然是根据条件(2)得到的根据(19)和(20),有R,lr)=(R'+80ez×R')r)因为r"）构成了Hilbert空间的基向量，所以有Rj =(R'+8pez ×R')12
现在想了解角动量与位置、动量的对易关系, 以及角动量的分量之间的对易关系. 对于轨道角动量, 途径一已经给出了 这些对易关系. 现在要进行适当地推广, 因此避免使用角动量的具体形式, 比如 L = R P, 或者 S´ = „ 2 ´. 虽然如此, 我 们还是要借助位置表象. 与位置算子的对易子 考虑绕 ´ 轴的旋转变换 U(´; ) = e i J´/„ 为了分析 J´ 与位置算子 R = (X; Y; Z) 的对易关系, 需要比较两方面的素材: 1. 在旋转变换下, 位置算子 R 变为 R0 = e i J´/„ R e i J´/„ , 这个等式可以看作是超算子对算子的作用. 由于暂不知 道 J´ 和 R 的对易关系 —— 这正是要讨论的, 因此无法用 Baker-Hausdorff 公式继续计算下去, 但是可以考虑无 穷小过程, 从中看到 (而不是得到) 对易子 [J´; R]. 2. 另一方面, 根据条件 (2), 给出无穷小变换下 R0 的形式. 将这两方面的素材结合在一起, 可以得到对易关系. 首先考虑素材 1, Rj ! R 0 j = e i J´/„Rj e i J´/„ : 这里 R1 = X, R2 = Y , R3 = Z. 在无穷小变换下, ! ı , Rj ! R 0 j = Rj iı „ [J´; Rj ] + (18) 上式包含我们关心的对易子 [J´; Rj ]. 然后, 考虑素材 2. 根据条件 (2), 位置算子在变换前后本征值不变, R 0 j jr 0 i = rj jr 0 i 其中 r1 = x, r2 = y, r3 = ´. 至于 jr 0 i, 想象一下, 原来在空间 r 的地方有一个 ı 函数 —— 这是 jri; 现在, 向量 r 绕 ´ 轴 旋转了角度 , 变成了 r 0 , 在 r 0 的地方有一个 ı 函数 —— 这是 jr 0 i. 因此, jr 0 i 总是 Rj 的本征向量, 本征值是 r 0 j , 即 Rj jr 0 i = r 0 j jr 0 i 在无穷小变换下, 参考 (13), r 0 j 可以表示为 r 0 j = (r + ı e´ r)j 因此, 对于无穷小变换, Rj 的本征方程写为 Rj jr 0 i = r 0 j jr 0 i = (r + ı e´ r)j jr 0 i (19) 再从另一个角度考察上式右端, 注意以下关系, (R 0 + ı e´ R 0 )j jr 0 i = (r + ı e´ r)j jr 0 i (20) 这个关系仍然是根据条件 (2) 得到的. 根据 (19) 和 (20), 有 Rj jr 0 i = (R 0 + ı e´ R 0 )j jr 0 i 因为 jr 0 i 构成了 Hilbert 空间的基向量, 所以有 Rj = (R 0 + ı e´ R 0 )j 12
写成向量的形式，R'= R-8ez ×R'注意到上式右端第二项中虽然包含R，但是将R在无穷小变换下展开后，展开形式中的8Φ的一阶项还要再乘以8Φ，这就变成了8Φ的平方项，是要舍去的.因此只能保留R，得到(21)R'=R-80ez×R这是绕z轴旋转的情况，如果一般地，绕n方向旋转，在无穷小变换的情形下，有(22) R=R-8n×R将（18）式也推广到绕任意方向n的无穷小旋转变换，有i80(n.J,R)](23) Rj → R,= Rj -h比较(23)和(22)两式，可以得到[n -J,R] = -itn ×R由此可以得到Jk与R，之间的对易关系.对于R3中任意某个方向u，有[n.J,u.R)=-ih(nxR)u=it(nxu).R将方向u选择为x，y或z方向，得到(24)[Ux, X] = [Uy, Y] = [Jz, Z] = 0(25)[Ux,Y] =inZ,角动量的分量之间的对易子接下去需要考虑J的三个分量之间Jx，J和J，之间的对易关系.我们将采用类比的办法.先写出R3空间中绕x，y和z的旋转变换的矩阵，(100cos0sing(cos-sin 90R(x,0) =R(y,0) -010R(z, 0) =cOst-sindsincOs01COs 90cos9001(osin-sing分别考虑它们的无穷小变换形式，得到相应的旋转变换的生成元，(0000000Gx =00000GyGloi008有限大小的旋转变换可以表示为R(k,9)=e-ioGk,k=x,y,z.容易得到生成元之间的对易关系[Gx,Gy] =iGz,..我们把这个关系以类比的形式直接推广到角动量J的分量上，(26) [Ux,Jy]=iz,[y,Jz]=iJx,[Uz,Jx]=iJy13
写成向量的形式, R 0 = R ı e´ R 0 注意到上式右端第二项中虽然包含 R0 , 但是将 R0 在无穷小变换下展开后, 展开形式中的 ı 的一阶项还要再乘以 ı , 这 就变成了 ı 的平方项, 是要舍去的. 因此只能保留 R, 得到 R 0 = R ı e´ R (21) 这是绕 ´ 轴旋转的情况, 如果一般地, 绕 n 方向旋转, 在无穷小变换的情形下, 有 R 0 = R ı n R (22) 将 (18) 式也推广到绕任意方向 n 的无穷小旋转变换, 有 Rj ! R 0 j = Rj iı „ [n J; Rj ] (23) 比较 (23) 和 (22) 两式, 可以得到 [n J; R] = i„n R 由此可以得到 Jk 与 Rj 之间的对易关系. 对于 R3 中任意某个方向 u, 有 [n J; u R] = i„(n R) u = i„(n u) R 将方向 u 选择为 x, y 或 ´ 方向, 得到 [Jx; X] = [Jy; Y ] = [J´; Z] = 0 (24) [Jx; Y ] = i„Z; (25) 角动量的分量之间的对易子 接下去需要考虑 J 的三个分量之间 Jx, Jy 和 J´ 之间的对易关系. 我们将采用类比的办法. 先写出 R3 空间中绕 x, y 和 ´ 的旋转变换的矩阵, R(x; #) = 0 B B @ 1 0 0 0 cos # sin # 0 sin # cos # 1 C C A ; R(y; #) = 0 B B @ cos # 0 sin # 0 1 0 sin # 0 cos # 1 C C A ; R(´; #) = 0 B B @ cos # sin # 0 sin # cos # 0 0 0 1 1 C C A : 分别考虑它们的无穷小变换形式, 得到相应的旋转变换的生成元, Gx = 0 B B @ 0 0 0 0 0 i 0 i 0 1 C C A ; Gy = 0 B B @ 0 0 i 0 0 0 i 0 0 1 C C A ; G´ = 0 B B @ 0 i 0 i 0 0 0 0 0 1 C C A : 有限大小的旋转变换可以表示为 R(k; #) = e i#Gk , k = x; y; ´. 容易得到生成元之间的对易关系 [Gx; Gy] = iG´; 我们把这个关系以类比的形式直接推广到角动量 J 的分量上, [Jx; Jy] = iJ´; [Jy; J´] = iJx; [J´; Jx] = iJy: (26) 13
或者以简洁的形式表示为JxJ=ihJ(27)这里我们添上了常数.（与动量算子的对易子量最后，为了得到J的分量与动量P的分量之间的对易关系，需要考虑平移和旋转两种变换的组合，并设法构造出对易子[Jx，Py].在Hilbert空间中绕着x轴的无穷小旋转变换表示为e-ieJx，沿着y轴的无穷小平移变换可以表示为e-iePy，这里暂时令h=1.先旋转，再平移，保留到e的平方项，有eepedx=1-i(P +J)-e(p++Py)1再考虑elePyeleJx保留到e2项，有elepy elex =1+ie(Py+ J)-(Gp3+$?+ Pyl将上面的两个结果相乘eiePy eleJxe-iePy e-ieJx = 1 +e[Jx, Py](28)再考虑位置坐标的改变.从（28）式左端读出操作过程，从右到左，依次是：绕x轴旋转角度E，沿y方向平移E，绕x轴旋转角度一e，沿y方向平移一E.把这些操作按次序并落实在向量上，并保留到e的二次项，有(x,y,z)-→(x,ycose-zsine,ysine+zcose)-→(x,ycose-zsine+E,ysine+zcose)→(x,y+ecose,z-esine)→(x.y+ECOSE-E,Z-Esine)→ (x.y,z -e2)其中最后一步是的二级近似的结果，上式意味着，最终的变换效果是沿一z方向平移2.而这个操作在Hilbert空间中的表示是eie?Pz=1+ie22Pz+.….再与(28)式比较，得到[Ux, Py] = iPz最终有[Jj,Pk] =ithejki P实际上，以前得到的角动量与位置的对易关系也可以通过上述过程得到。至此，我们通过分析空间旋转变换得到了角动量与位置算子和动量算子的对易关系，注6当谈论到角动量与位置或动量的对易子的时候，角动量应该是轨道角动量.自旋角动量与空间位置或动量都是对易的.-6.角动量的本征值和本征向量角动量的分量之间的对易关系(27)）是一个特定的Lie代数形式，它是角动量理论的基础，可以根据这些对易关系获得角动量的本征值和本征向量14
或者以简洁的形式表示为 J J = i„J: (27) 这里我们添上了常数 „. 与动量算子的对易子 最后, 为了得到 J 的分量与动量 P 的分量之间的对易关系, 需要考虑平移和旋转两种变换的 组合, 并设法构造出对易子 [Jx; Py]. 在 Hilbert 空间中绕着 x 轴的无穷小旋转变换表示为 e iJx , 沿着 y 轴的无穷小平 移变换可以表示为 e iPy , 这里暂时令 „ = 1. 先旋转, 再平移, 保留到 的平方项, 有 e iPy e iJx = 1 i(Py + Jx) 2 1 2 P 2 y + 1 2 J 2 x + PyJx 再考虑 e iPy e iJx , 保留到 2 项, 有 e iPy e iJx = 1 + i(Py + Jx) 2 1 2 P 2 y + 1 2 J 2 x + PyJx 将上面的两个结果相乘, e iPy e iJx e iPy e iJx = 1 + 2 [Jx; Py] (28) 再考虑位置坐标的改变. 从 (28) 式左端读出操作过程, 从右到左, 依次是: 绕 x 轴旋转角度 , 沿 y 方向平移 , 绕 x 轴旋 转角度 , 沿 y 方向平移 . 把这些操作按次序并落实在向量上, 并保留到 的二次项, 有 (x; y; ´) ! (x; y cos ´ sin ; y sin + ´ cos ) ! (x; y cos ´ sin + ; y sin + ´ cos ) ! (x; y + cos ; ´ sin ) ! (x; y + cos ; ´ sin ) ! (x; y; ´ 2 ) 其中最后一步是 的二级近似的结果. 上式意味着, 最终的变换效果是沿 ´ 方向平移 2 . 而这个操作在 Hilbert 空间中 的表示是 e i2P´ = 1 + i22P´ + . 再与 (28) 式比较, 得到 [Jx; Py] = iP´ 最终有 [Jj ; Pk] = i„jklPl 实际上, 以前得到的角动量与位置的对易关系也可以通过上述过程得到. 至此, 我们通过分析空间旋转变换得到了角动量与位置算子和动量算子的对易关系. 注 6 当谈论到角动量与位置或动量的对易子的时候, 角动量应该是轨道角动量. 自旋角动量与空间位置或动量都是对 易的. 6. 角动量的本征值和本征向量 角动量的分量之间的对易关系 (27) 是一个特定的 Lie 代数形式, 它是角动量理论的基础, 可以根据这些对易关系获得角 动量的本征值和本征向量. 14
首先注意到J2=J·J是一个标量算子J2=J2+J3+J2可以验证[J2, Jk] = 0, k=x,y,z或者写为[J2, J] = 0对于任意方向上的角动量分量，Jn=n·J，有[J2,Jnl=0.选择（J2，Jz）作为彼此对易的力学量的集合，它们的共同本征向量记作Iβm）J?(β,m)=βt2Iβ,m),JzIβ,m)=mh(β,m)这里，β和m都是无量纲的实数.下面来分析β,m=？首先可以肯定的是β≥0.注意到J2都是半正定算子，(β,mlJ2IB,m) +(β,mlJ,IB,m)+(β,mlJ2IB,m)= (β,m|J"Iβ,m)= βh2≥(B.ml J2Iβ,m)=m2h2因此,对于给定的β,m2≤β(29)这就确定了m的上下限再引入升降算子J±，J+= Jx+iJy, J- = Jx-iJy有如下性质JI=J-, JI=J+[Uz, J+] =hJ+,[Jz, J-] =-hJ-[J+, J-] = 2hJ,即，Jz，J+和J_构成封闭的对易关系.而且，直接计算可以给出J_J+=J?-J?-hJz,J+J_=J?-J?+hJz(30)分析J+对Iβ,m）的作用效果Jz(J+Iβ,m)) =(J+Jz +hJ+)IB,m)=mh(J+Iβ,m)) +h(J+Iβ,m))= (m + 1)h(J+ Iβ,m)这表明：J+Iβ,m）是Jz的本征向量，相应的本征值是(m+1)h,或者J+Iβ,m）=0.15
首先注意到 J 2 = J J 是一个标量算子. J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 ´ 可以验证 [J 2 ; Jk] = 0; k = x; y; ´ 或者写为 [J 2 ; J] = 0 对于任意方向上的角动量分量, Jn = n J, 有 [J 2 ; Jn] = 0. 选择 (J 2 ; J´) 作为彼此对易的力学量的集合, 它们的共同本征向量记作 jˇ; mi. J 2 jˇ; mi = ˇ„ 2 jˇ; mi; J´ jˇ; mi = m„ jˇ; mi 这里, ˇ 和 m 都是无量纲的实数. 下面来分析 ˇ; m =? 首先可以肯定的是 ˇ > 0. 注意到 J 2 k 都是半正定算子, hˇ; mj J 2 x jˇ; mi + hˇ; mj J 2 y jˇ; mi + hˇ; mj J 2 ´ jˇ; mi = hˇ; mjJ 2 jˇ; mi = ˇ„ 2 > hˇ; mj J 2 ´ jˇ; mi = m 2„ 2 因此, 对于给定的 ˇ, m 2 6 ˇ (29) 这就确定了 m 的上下限. 再引入升降算子 J˙, J+ = Jx + iJy; J = Jx iJy 有如下性质 J + = J; J = J+ [J´; J+] = „J+; [J´; J] = „J [J+; J] = 2„J´ 即, J´, J+ 和 J 构成封闭的对易关系. 而且, 直接计算可以给出 JJ+ = J 2 J 2 ´ „J´; J+J = J 2 J 2 ´ + „J´ (30) 分析 J+ 对 jˇ; mi 的作用效果. J´(J+ jˇ; mi) = (J+J´ + „J+)jˇ; mi = m„(J+ jˇ; mi) + „(J+ jˇ; mi) = (m + 1)„(J+ jˇ; mi) 这表明: J+ jˇ; mi 是 J´ 的本征向量, 相应的本征值是 (m + 1)„, 或者 J+ jˇ; mi = 0. 15