又知道，当β一定的时候，m有上限，记作j.这意谓着J+ Iβ, j) = 0.为了得到β和之间的关系，利用(30)式J_J Iβ, j)= (βt2-j22- jn2) Iβ.j) = 0由此得到(31)β=j(j+1)再考虑用降算子J_作用于Iβ,m)，可以发现，J_Iβ,m）也是Jz的本征向量，相应的本征值是（m一1)h.当m减小达到下限k的时候，有J_ Iβ,k)= 0再次利用(30)，0 = J+J_IB,k) =h2(B2 -k2 +k)[B,k)于是有(32)β = k(k - 1),从(31)和(32)两式，有β =j(+1)=k(k-1) k=-)从此以后，将β写为j(j+1),而m的取值范围是-j≤m≤j.因为m的上下限是可以达到的，而且m的取值的个数是整数，所以2j必须是一个整数，或者说，j是整数或半整数.对于固定的j，粒子数m有2j+1个取值.将（J2,J2)的共同本征态记作lj.m)，(33)J?li.m)=j(j +1)h2lj.m),Jzj,m)=mh(i.m)以上过程只是用到了角动量算子的代数结构，没有指明具体的表象.得到的结论适用于轨道角动量和自旋角动量.不过，在随后的讨论中将看到，轨道角动量的量子数只能取整数；自旋角动量的量子数可以是整数，也可以是半整数，分别对应于玻色子和费米子注7当然也可以选择其它表象.比如（J2Jx）表象，与（J2,Jz）表象之间的关系是酉变换（旋转变换）.因而Jx的本征值还是mh，J，也是如此.-7.角动量的矩阵形式将前面得到的J±li.m）归一化J+lj.m) = c+lj.m + 1)(j.mJJ+lj.m)=(j,mJ_J+lj.m)= (j.ml(J2- J2 -hJz)j.m)16
又知道, 当 ˇ 一定的时候, m 有上限, 记作 j . 这意谓着 J+ jˇ; j i = 0: 为了得到 ˇ 和 j 之间的关系, 利用 (30) 式. JJ+ jˇ; j i = (ˇ„ 2 j 2„ 2 j „ 2 )jˇ; j i = 0 由此得到 ˇ = j (j + 1): (31) 再考虑用降算子 J 作用于 jˇ; mi, 可以发现, J jˇ; mi 也是 J´ 的本征向量, 相应的本征值是 (m 1)„. 当 m 减小达到下 限 k 的时候, 有 J jˇ; ki = 0: 再次利用 (30), 0 = J+J jˇ; ki = „ 2 (ˇ 2 k 2 + k)jˇ; ki 于是有 ˇ = k(k 1): (32) 从 (31) 和 (32) 两式, 有 ˇ = j (j + 1) = k(k 1) H) k = j 从此以后, 将 ˇ 写为 j (j + 1), 而 m 的取值范围是 j 6 m 6 j . 因为 m 的上下限是可以达到的, 而且 m 的取值的个数是整数, 所以 2j 必须是一个整数, 或者说, j 是整数或半整数. 对 于固定的 j , 粒子数 m 有 2j + 1 个取值. 将 (J 2 ; J´) 的共同本征态记作 jj; mi, J 2 jj; mi = j (j + 1)„ 2 jj; mi; J´ jj; mi = m„ jj; mi (33) 以上过程只是用到了角动量算子的代数结构, 没有指明具体的表象. 得到的结论适用于轨道角动量和自旋角动量. 不过, 在随后的讨论中将看到, 轨道角动量的量子数只能取整数; 自旋角动量的量子数可以是整数, 也可以是半整数, 分别对应 于玻色子和费米子. 注 7 当然也可以选择其它表象. 比如 (J 2 ; Jx) 表象, 与 (J 2 ; J´) 表象之间的关系是酉变换 (旋转变换). 因而 Jx 的本征值 还是 m„, Jy 也是如此. 7. 角动量的矩阵形式 将前面得到的 J˙ jj; mi 归一化. J+ jj; mi = c+ jj; m + 1i hj; mjJ +J+jj; mi = hj; mjJJ+jj; mi = hj; mj(J 2 J 2 ´ „J´)jj; mi 16
= j(j +1)2-m2t?-mh2= [c+/2将c+选为正的实数，c+ =h[j(j +1)-m(m +1)1/2(34)类似地，J-lj,m)=c-ljm-1)，c- = n[j(j + 1) -m(m -1)/2(35)至此，ljm）构成了无限维Hilbert空间的基向量，满足正交归一完备关系，Z lj,mXj,ml = 1(36)(j',m'lj.m)=8jj-8m,mj,m利用升降算子，可以写出J的各分量的矩阵形式首先，因为lj.m）是J，的本征向量，所以Jz的矩阵形式一定是对角矩阵(j',mJzlj.m)=mh8j.j-8mm具体地，回112元Jz =h(37)0从左上到右下，对角线上的每一个块依次对应于j=0,j=，j=1,…在每一个块中，用m的降序取值来标记行和列.例如,在j=这个块中,第一行和第二行分别对应于m=和m'=一，第一列和第二列分别对应于m=和m=-2继续考虑J,和J,的矩阵形式.注意[J2,J]=0,有(j',mjJ?Jlj.m)=(j'.m'jJJlj.m)j'(j"+1)h?(j,mJlj,m)=j(j+1)h2(j'.m'Jlj,m)如果j≠j,那么,上式成立一《j,mJli.m)=0(38)这表明，Jk的矩阵形式一定是块对角的(block-diagonal).为了有更清楚的直观图像，我们把Jk的矩阵形式写为Jk= Z (Jk)'mli',mXj.ml即，Jk的第（j,m'）行第（j.m）列的矩阵元是(J)m = (1mlJali,m)17
= j (j + 1)„ 2 m 2„ 2 m„ 2 = jc+j 2 将 c+ 选为正的实数, c+ = „[j (j + 1) m(m + 1)]1/2 (34) 类似地, J jj; mi = c jj; m 1i, c = „[j (j + 1) m(m 1)]1/2 (35) 至此, fjj; mig 构成了无限维 Hilbert 空间的基向量, 满足正交归一完备关系, hj 0 ; m0 jj; mi = ıj;j 0ım;m0 ; X j;m jj; mihj; mj = 1 (36) 利用升降算子, 可以写出 J 的各分量的矩阵形式. 首先, 因为 jj; mi 是 J´ 的本征向量, 所以 J´ 的矩阵形式一定是对角矩阵, hj 0 ; m0 jJ´jj; mi = m„ ıj;j 0ım;m0 具体地, J´ = 0 B B B B B B B B B B B B B B B B @ 0 1 2 1 2 1 0 1 : : : 1 C C C C C C C C C C C C C C C C A „ (37) 从左上到右下, 对角线上的每一个块依次对应于 j = 0, j = 1 2 , j = 1, . 在每一个块中, 用 m 的降序取值来标记行和 列. 例如, 在 j = 1 2 这个块中, 第一行和第二行分别对应于 m0 = 1 2 和 m0 = 1 2 , 第一列和第二列分别对应于 m = 1 2 和 m = 1 2 . 继续考虑 Jx 和 Jy 的矩阵形式. 注意 [J 2 ; J] = 0, 有 hj 0 ; m0 jJ 2 Jjj; mi = hj 0 ; m0 jJJ 2 jj; mi j 0 (j 0 + 1)„ 2 hj 0 ; m0 jJjj; mi = j (j + 1)„ 2 hj 0 ; m0 jJjj; mi 如果 j ¤ j 0 , 那么, 上式成立 H) hj 0 ; m0 jJjj; mi = 0 (38) 这表明, Jk 的矩阵形式一定是块对角的 (block-diagonal). 为了有更清楚的直观图像, 我们把 Jk 的矩阵形式写为 Jk = X j 0 ;m0 j;m Jk j 0 ;m0 j;m jj 0 ; m0 ihj; mj 即, Jk 的第 (j 0 ; m0 ) 行第 (j; m) 列的矩阵元是 Jk j 0 ;m0 j;m = hj 0 ; m0 jJkjj; mi 17
li.m）可以视作li）m)，当然，这里的m不是完全独立的，它的取值取决于jlj',m'Xj.m|=li'Xilm'Xml于是1iXi标记了大矩阵中的块= 0, j :=0.j07T=j.1=j= 1,j :=j=::因此，(38）说的是，在Jk的矩阵形式中，非对角块中的矩阵元一律为零。升降算子J±的矩阵元易于求出。j=0111=00m-1二号105'=0m=0021m=j=100J10 V20m'=00V2h0j'=110000300m'=-20V40J=002n000J-=J,矩阵形式亦可得.而Jx=(J++J-),J,=(J+-J-),所以Jx和J,也是容易写出的以上分析得到的对角块的结构告诉我们，整个Hilbert空间是一系列的以i标记的子空间的直和J = 6①j(39) -8.EPR问题，简介我们要借助自旋角动量讨论量子力学中的“值”的问题，在这一节，有必要简单介绍一下EPR问题。在经典物理中，力学量具有明确的值.“值”是力学量固有性质或者实在性（reality)的定量反映.量子力学中关于实在性的讨论起源于EPR(Einstein-Podolsky-Rosen）发表于1935年PhysicalReview的论文，CanQuantum-MechanicalDescriptionofPhysicalRealitybeConsideredComplete?Einstein相信物理学的实在性，这是EPR论点的起因.在EPR看来，一个完备的物理理论需要有一个必要条件：完备性Everyelement ofthephysical realitymusthavea counterpart inthephysicaltheory.如何说明物理实在性要素(elementofthephysicalreality)？EPR给出这样的说法：18
jj; mi 可以视作 jj i ˝ jmi, 当然, 这里的 m 不是完全独立的, 它的取值取决于 j . jj 0 ; m0 ihj; mj = jj 0 ihj j ˝ jm 0 ihmj 于是 jj 0 ihj j 标记了大矩阵中的块. 0 B B B B B B B B B B @ j 0 = j = 0 j 0 = 0; j = 1 2 j 0 = 0; j = 1 j 0 = 1 2 ; j = 0 j 0 = j = 1 2 j 0 = 1 2 ; j = 1 j 0 = 1; j = 0 j 0 = 1; j = 1 2 j 0 = j = 1 : : : : : : : : : : : : 1 C C C C C C C C C C A 因此, (38) 说的是, 在 Jk 的矩阵形式中, 非对角块中的矩阵元一律为零. 升降算子 J˙ 的矩阵元易于求出. J + J = J +, 矩阵形式亦可得. 而 Jx = 1 2 (J+ + J), Jy = 1 2i (J+ J), 所以 Jx 和 Jy 也是容易写出的. 以上分析得到的对角块的结构告诉我们, 整个 Hilbert 空间是一系列的以 j 标记的子空间的直和. H = M j Hj : (39) 8. EPR 问题, 简介 我们要借助自旋角动量讨论量子力学中的 “值” 的问题, 在这一节, 有必要简单介绍一下 EPR 问题. 在经典物理中, 力学量具有明确的值. “值” 是力学量固有性质或者实在性 (reality) 的定量反映. 量子力学中关于实在 性的讨论起源于 EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) 发表于 1935 年 Physical Review 的论文, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? Einstein 相信物理学的实在性, 这是 EPR 论点的起因. 在 EPR 看来, 一个完备的物理理论需要有一个必要条件: 完备性 Every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory. 如何说明物理实在性要素 (element of the physical reality) ? EPR 给出这样的说法: 18
物理实在性If,withoutinanywaydisturbingasystem,wecanpredictwithcertainty(i.e.,withprobabilityequaltounity) the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to thisphysical quantity这就是EPR的物理实在性判据.显然，如果存在一个物理实在性要素，那么就一定对应于一个物理量，该物理量具有确定的值接着，EPR认为，物理实在性应该具有下面两个特性：可分性如果两个动力学系统在空间上彼此分离，那么每一个系统都具有独立于另一个系统的性质定域性对于两个空间上彼此分离的动力学系统，对其中一个施加的影响不会直接作用到另一个系统上.尤其是，对一个系统的测量不会改变另一个系统的性质可分性和定域性可以看作是实在性的内涵上述概念之间的关系可以用图2表示实在性要素对应于物理量个实在性要索都在理论物理理论是完备的实在性要素应该满足可分性和定域性物理量有确定的值图2：其中的箭头可以理解为impliesP→q的意思就是,如果p,那么 qEPR注意到一个量子力学中的一个事实：事实F在量子力学中，如果两个物理量对应的厄密算子不对易，那么它们不能同时具有确定的值强调一下，事实F来自于量子理论.在量子力学中，如果量子态是某个力学量A的本征态，那么力学量A有确定的值，即相应的本征值.但是，在A的本征态中，另一个与A不对易的力学量B则不能表现出确定的值.一般地，没有这样的量子态，使得两个不对易的力学量都能获得确定的值，这就是不确定关系.在EPR看来，两个不对易的力学量不能同时具有确定的值，这就意味着：下面两个命题至少有一个是真的命题P1由量子态给出的关于物理实在性的描述是不完备的命题P2两个不对易的厄密算子所对应的两个物理量不能同时具有实在性，用V表示逻辑“或”EPR的结论就是(40)结论C1:F一P1VP2考虑图2所示过程的逆否，不难得到这个结论.用符号一表示逻辑“非”一P1由量子态给出的关于物理实在性的描述是完备的-P2两个不对易的厄密算子所对应的两个物理量可以同时具有实在性于是立即有-P1^-P2 -F19
物理实在性 If, without in any way disturbing a system, we can predict with certainty (i.e., with probability equal to unity) the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity. 这就是 EPR 的物理实在性判据. 显然, 如果存在一个物理实在性要素, 那么就一定对应于一个物理量, 该物理量具有确 定的值. 接着, EPR 认为, 物理实在性应该具有下面两个特性: 可分性 如果两个动力学系统在空间上彼此分离, 那么每一个系统都具有独立于另一个系统的性质. 定域性 对于两个空间上彼此分离的动力学系统, 对其中一个施加的影响不会直接作用到另一个系统上. 尤其是, 对一个 系统的测量不会改变另一个系统的性质. 可分性和定域性可以看作是实在性的内涵. 上述概念之间的关系可以用图 2 表示. 图 2: 其中的箭头可以理解为 implies. p ! q 的意思就是, 如果 p, 那么 q. EPR 注意到一个量子力学中的一个事实: 事实 F 在量子力学中, 如果两个物理量对应的厄密算子不对易, 那么它们不能同时具有确定的值. 强调一下, 事实 F 来自于量子理论. 在量子力学中, 如果量子态是某个力学量 A 的本征态, 那么力学量 A 有确定的值, 即 相应的本征值. 但是, 在 A 的本征态中, 另一个与 A 不对易的力学量 B 则不能表现出确定的值. 一般地, 没有这样的量子 态, 使得两个不对易的力学量都能获得确定的值, 这就是不确定关系. 在 EPR 看来, 两个不对易的力学量不能同时具有 确定的值, 这就意味着: 下面两个命题至少有一个是真的 命题 P 1 由量子态给出的关于物理实在性的描述是不完备的. 命题 P 2 两个不对易的厄密算子所对应的两个物理量不能同时具有实在性. 用 _ 表示逻辑 “或”, EPR 的结论就是 结论 C1 : F H) P 1 _ P 2 (40) 考虑图 2 所示过程的逆否, 不难得到这个结论. 用符号 : 表示逻辑 “非”. :P 1 由量子态给出的关于物理实在性的描述是完备的. :P 2 两个不对易的厄密算子所对应的两个物理量可以同时具有实在性. 于是立即有 :P 1 ^ :P 2 H) :F 19