注2一般地，对空间位置坐标作变换，r'=Tr其中T泛指一般意义上的空间变换，可以是平移，也可以是将要讨论的空间旋转变换。于是空间位置的函数，f=f(r).空间位置变换体现在函数f上，表示为f工、f"=Tf,其效果是，f(r') = f(r)由于r=Tr,所以f'(Tr) = f(r)或者表示为f'(r) = f(T-1r)(7)-类似地，在空间平移变换下，波函数(x)变为(8)'(x)=(x-a)注意到(x)=(x)，'(x)=(x)，(x-a)=(x-a)于是空间平移变换可以表示为(9)()→()=(-)上式有两种阅读方式：如果认为(）一→(x)，那么是主动观点，量子态从）变为);如果认为(）一→(x-a)那么是被动观点,左形式的基向量从(x|变为(x-al可以证明，在被动观点中，(xle-iaPx/h = (x - al(10)证明（10）(xl是位置算子X的左矢形式的本征态，(x|X=x(xl.[X,e-iaPx/h] = ae-iaPx/h(x[X,e-iaPx/h] =a (xle-iaP /h(x/ xe-iaPx/h_ (xle-iaPx /hX =a (xle-iaPx/h((xle-iaPx/h)X = (x-a)((x|e-iaPx/h)表明(xle-iaPx/是x的本征态，对应的的本征值是x-a,不考虑相因子的差异，认为(x|e-iaPx/h = (x - al用右矢形式表示，elaPx/h [x) = [x -a)6
注 2 一般地, 对空间位置坐标作变换, r T ! r 0 = Tr 其中 T 泛指一般意义上的空间变换, 可以是平移, 也可以是将要讨论的空间旋转变换. f 是空间位置的函数, f = f (r). 空间位置变换体现在函数 f 上, 表示为 f T ! f 0 = T f , 其效果是, f 0 (r 0 ) = f (r) 由于 r 0 = Tr, 所以 f 0 (Tr) = f (r) 或者表示为 f 0 (r) = f (T 1 r) (7) 类似地, 在空间平移变换下, 波函数 (x) 变为 0 (x) = (x a) (8) 注意到 (x) = hxj i; 0 (x) = hxj 0 i; (x a) = hx aj i 于是空间平移变换可以表示为 hxj i ! hxj 0 i = hx aj i (9) 上式有两种阅读方式: 如果认为 hxj i ! hxj 0 i, 那么是主动观点, 量子态从 j i 变为 j 0 i; 如果认为 hxj i ! hx aj i 那么是被动观点, 左矢形式的基向量从 hxj 变为 hx aj. 可以证明, 在被动观点中, hxj e iaPx/„ = hx aj (10) 证明 (10) hxj 是位置算子 X 的左矢形式的本征态, hxj X = x hxj. X; eiaPx/„ = aeiaPx/„ hxj X; eiaPx/„ = a hxj e iaPx/„ hxj xeiaPx/„ hxj e iaPx/„X = a hxj e iaPx/„ hxj e iaPx/„ X = (x a) hxj e iaPx/„ 表明 hxj e iaPx/„ 是 X 的本征态, 对应的的本征值是 x a, 不考虑相因子的差异, 认为 hxj e iaPx/„ = hx aj 用右矢形式表示, e iaPx/„ jxi = jx ai 6
回来看(9),有(xy") = (x -al)= (x[e-iaPx/h)(11)这就是说，在主动观点中，I")=e-iaPx/h[)(12) 这本是以前说过空间平移变换对量子态的作用，这里又说了一遍，其间的过程是：1.空间平移变换将函数f(x)变为f(x)=f(x=a),对于波函数也是如此,即(8)式.2.引入位置表象的基向量x),得到(9)，继而(10),这相当于用被动观点描述3.被动观点和主动观点可以统一地体现在（11)中，最后（12)式给出空间平移变换作用于量子态的抽象形式（第3种情形）空间平移变换作用于位置算子X，将其变为X.为了考虑X的形式，需要用到时空变换应满足的条件(2).在参考系S中，观测者A有观测量X，即位置算子.本征值和本征态分别是x和x)：作空间平移变换，在参考系S'中，观测者B有观测量X，本征值和本征态分别是x和|x).现在，Xx和Ix）的形式都不清楚条件（2）要求x=x，听起来有些奇怪，需要稍作分析.假设粒子的状态是位置算子X的本征函数，即8函数，(x)=8(x一xo).在此状态中观测者A测量位置算子X,得到的结果是本征值xo.空间平移变换之后，在参考系S中，观测者B面临的粒子的状态是（x）.在B看来，这也是一个8函数，而且也是在与原点距离为xo的地方有一个无穷大的峰值.B测量位置算子X，得到的结果也一定是xo，不可能是xo+a.观测者B必须把探测器放在参考系S'中位置x=xo的地方，才能观测到响应，放在其它地方则一无所获.因此，本征值是算子（这里是X）数学意义上固有的性质，把算子移动到另一个参考系中，本征值不改变现在有下面两个本征方程，X (x) = xx), X'(x) = x [x)基向量x）和x）之间的关系仍不清楚，再去关注(x）=(x)，即(x)= (x)因为)=e-iaPx/)，所以(x/y)= (x'le-iaPx/h)这意味着(x| = (x'e-iaPx /h也就是[x') = e-iaPx/ [x) = [x + a)把这个关系代入Xx）=xx)，X'e-iaPx/h [x) = xe-iaPx/h [x)eiaPx/hX'e-iaPx/h [x) = x [x)表明eiaPx/hX'e-iaPx/h=X，于是有X'=e-iaPx/h XeiaPx/h=X-al其中用到了Baker-Hausdorff公式7
回来看 (9), 有 hxj 0 i = hx aj i = hxje iaPx/„ j i (11) 这就是说, 在主动观点中, j 0 i = e iaPx/„ j i (12) 这本是以前说过空间平移变换对量子态的作用, 这里又说了一遍, 其间的过程是: 1. 空间平移变换将函数 f (x) 变为 f 0 (x) = f (x a), 对于波函数也是如此, 即 (8) 式. 2. 引入位置表象的基向量 jxi, 得到 (9), 继而 (10), 这相当于用被动观点描述. 3. 被动观点和主动观点可以统一地体现在 (11) 中, 最后 (12) 式给出空间平移变换作用于量子态的抽象形式. 第 3 种情形 空间平移变换作用于位置算子 X, 将其变为 X0 . 为了考虑 X 的形式, 需要用到时空变换应满足的条件 (2). 在参考系 S 中, 观测者 A 有观测量 X, 即位置算子. 本征值和本征态分别是 x 和 jxi. 作空间平移变换, 在参考系 S 0 中, 观 测者 B 有观测量 X0 , 本征值和本征态分别是 x 0 和 jx 0 i. 现在, X0 , x 0 和 jx 0 i 的形式都不清楚. 条件 (2) 要求 x = x 0 , 听起来有些奇怪, 需要稍作分析. 假设粒子的状态是位置算子 X 的本征函数, 即 ı 函数, (x) = ı(x x0). 在此状态中观测者 A 测量位置算子 X, 得到的结果是本征值 x0. 空间平移变换之后, 在参考系 S 0 中, 观测者 B 面临的粒子的状态是 0 (x 0 ). 在 B 看来, 这也是一个 ı 函数, 而且也是在与原点距离为 x0 的地方有一个无穷大 的峰值. B 测量位置算子 X0 , 得到的结果也一定是 x0, 不可能是 x0 + a. 观测者 B 必须把探测器放在参考系 S 0 中位置 x 0 = x0 的地方, 才能观测到响应, 放在其它地方则一无所获. 因此, 本征值是算子 (这里是 X) 数学意义上固有的性质, 把 算子移动到另一个参考系中, 本征值不改变. 现在有下面两个本征方程, X jxi = x jxi; X0 jx 0 i = x jx 0 i 基向量 jxi 和 jx 0 i 之间的关系仍不清楚, 再去关注 0 (x 0 ) = (x), 即 hxj i = hx 0 j 0 i 因为 j 0 i = e iaPx/„ j i, 所以 hxj i = hx 0 je iaPx/„ j i 这意味着 hxj = hx 0 j e iaPx/„ 也就是 jx 0 i = e iaPx/„ jxi = jx + ai 把这个关系代入 X0 jx 0 i = x jx 0 i, X 0 e iaPx/„ jxi = xeiaPx/„ jxi e iaPx/„X 0 e iaPx/„ jxi = x jxi 表明 e iaPx/„X0 e iaPx/„ = X, 于是有 X 0 = e iaPx/„XeiaPx/„ = X a1 其中用到了 Baker-Hausdorff 公式. 7
或者，不使用Baker-Hausdorff公式，考虑X'x"）=x[x)，也就是X'x + a) = x [x +a)可以直接看出(X-al)(x+a)=(x+a)lx+a)-a|x+a)=x[x+a)所以X'= X-al.推广到三维情形，平移量为a的空间平移变换是酉变换e-iaP/h,将量子态1)变为e-ia-P/h)，将位置表象的基向量(r)变为e-ia:P/h(r)=r+a),将位置算子R变为e-ia-P/hReja-P/h = R - al5.空间旋转变换我们将沿两种途径分析空间旋转变换途径一仿照空间平移变换的讨论，考虑以下几种情形1.对三维实空间中的向量r进行旋转变换，2.对函数(r）或者波函数（r）进行旋转变换，得到生成元的具体形式，并称之为角动量3.根据时空变换应满足的条件（2)，以及角动量的具体形式和相关的对易子，分析旋转变换对位置以及其它力学量的改变.（途径二1.直接认为角动量是空间旋转变换的生成元，但是不清楚它的具体形式，也不知道角动量与位置算子或动量算子的对易关系2.分析无穷小旋转变换，依据条件(2)，推导与角动量相关的对易子3.尽量避免指明角动量的具体形式，因而不得不借助经典力学的素材进行类比和推广，途径一的过程是在位置表象中展开的，因而其结论似乎局限于轨道角动量.途径二的主要过程也是在位置表象中进行的，但是没有用到轨道角动量的具体形式，因而可以认为在某种程度上讨论了一般意义的角动量.也正是因为缺少了角动量的具体表示，使得在推导过程中需要参考一些已有知识进行类比，5.1.途径一考虑简单的情形，绕z轴旋转角度Φ，向量rER3变为0cosS-sing0r→r'=R(z,Φ)r =singcosd10018
或者, 不使用 Baker-Hausdorff 公式, 考虑 X0 jx 0 i = x jx 0 i, 也就是 X 0 jx + ai = x jx + ai 可以直接看出 (X a1)jx + ai = (x + a)jx + ai a jx + ai = x jx + ai 所以 X 0 = X a1: 推广到三维情形, 平移量为 a 的空间平移变换是酉变换 e iaP/„ , 将量子态 j i 变为 e iaP/„ j i, 将位置表象的基向量 jri 变为 e iaP/„ jri = jr + ai, 将位置算子 R 变为 e iaP/„Re iaP/„ = R a1 5. 空间旋转变换 我们将沿两种途径分析空间旋转变换. 途径一 仿照空间平移变换的讨论, 考虑以下几种情形: 1. 对三维实空间中的向量 r 进行旋转变换. 2. 对函数 f (r) 或者波函数 (r) 进行旋转变换, 得到生成元的具体形式, 并称之为角动量. 3. 根据时空变换应满足的条件 (2), 以及角动量的具体形式和相关的对易子, 分析旋转变换对位置以及其它力学量的 改变. 途径二 1. 直接认为角动量是空间旋转变换的生成元, 但是不清楚它的具体形式, 也不知道角动量与位置算子或动量算子的 对易关系. 2. 分析无穷小旋转变换, 依据条件 (2), 推导与角动量相关的对易子. 3. 尽量避免指明角动量的具体形式, 因而不得不借助经典力学的素材进行类比和推广. 途径一的过程是在位置表象中展开的, 因而其结论似乎局限于轨道角动量. 途径二的主要过程也是在位置表象中进行 的, 但是没有用到轨道角动量的具体形式, 因而可以认为在某种程度上讨论了一般意义的角动量. 也正是因为缺少了角 动量的具体表示, 使得在推导过程中需要参考一些已有知识进行类比. 5.1. 途径一 考虑简单的情形, 绕 ´ 轴旋转角度 , 向量 r 2 R3 变为 r ! r 0 = R(´; )r = 0 B B @ cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 1 C C A r 8
也就是x'=xcos-ysing(13)y'=xsinp+ycosp'=z接着讨论对函数的旋转变换，我们直接说波函数（r）的变化.需要注意的是，要讨论的是波函数的旋转，而不是在另一个旋转了的参考系中描述同一个波函数相对于参考系S,参考系S'有一个绕z轴Φ角度的旋转.两个参考系的空间位置坐标分别是（x,y,z)和（x.yz)，它们之间的联系是X= R(z.Φ)'2将波函数(r)旋转到参考系s中，在S系中看来，波函数的形式是(r),并且'(r)=()由此得到(14)(r)=(R-(z)r)=(xcos+ysin-xsin+ycos,z)考虑无穷小变换，Φ→8，将（xcosΦ+ysind，-xsind+ycosΦ，z）展开到8Φ的一级项，得到生成元aa*%+元反过来，用Exp形式表示有限大小的旋转变换，d*%+最)((x, y,z)'(x, y,z) = exp令Lz=-ityaxdr将L，称为角动量的z分量在位置表象中的表示.旋转变换表示为y'(x, y,z)=e-igLz/hy(x, y,z)(15)类似地，考虑绕x轴和y轴的旋转变换，得到角动量的x分量和y分量在位置表象中的表示，a0(景-是)Lx=-ih(y,Ly=-in(zazay注3这里并不是通过L=R×P引入角动量的，而是考虑了旋转变换以及无穷小旋转变换，将其生成元视作角动量，由此得到的 Lx,J,z与L=R×P是一致的.-得到了角动量的具体形式之后，自然有相关的对易关系，[Lx,Ly] =ihLz.[Lz,X] =ihY,[Lz,Y] =-ihX, [Lz,Z] = 0, [Lz,Px]=ihPy,[Lz,P,] =-ihPx,[Lz,P,] =0,9
也就是 x 0 = x cos y sin y 0 = x sin + y cos ´ 0 = ´ ƒ (13) 接着讨论对函数的旋转变换, 我们直接说波函数 (r) 的变化. 需要注意的是, 要讨论的是波函数的旋转, 而不是在另一 个旋转了的参考系中描述同一个波函数. 相对于参考系 S, 参考系 S 0 有一个绕 ´ 轴 角度的旋转. 两个参考系的空间位置坐标分别是 (x; y; ´) 和 (x 0 ; y0 ; ´0 ), 它们 之间的联系是 0 B B @ x 0 y 0 ´ 0 1 C C A = R(´; ) 0 B B @ x y ´ 1 C C A 将波函数 (r) 旋转到参考系 S 0 中, 在 S 0 系中看来, 波函数的形式是 0 (r 0 ), 并且 0 (r 0 ) = (r) 由此得到 0 (r) = R 1 (´; )r = x cos + y sin ; x sin + y cos ; ´ (14) 考虑无穷小变换, ! ı , 将 x cos + y sin ; x sin + y cos ; ´ 展开到 ı 的一级项, 得到生成元 x @ @y + y @ @x 反过来, 用 Exp 形式表示有限大小的旋转变换, 0 (x; y; ´) = exp x @ @y + y @ @x (x; y; ´) 令 L´ = i„ x @ @y y @ @x 将 L´ 称为角动量的 ´ 分量在位置表象中的表示. 旋转变换表示为 0 (x; y; ´) = e i L´/„ (x; y; ´) (15) 类似地, 考虑绕 x 轴和 y 轴的旋转变换, 得到角动量的 x 分量和 y 分量在位置表象中的表示, Lx = i„ y @ @´ ´ @ @y ; Ly = i„ ´ @ @x x @ @´ 注 3 这里并不是通过 L = R P 引入角动量的, 而是考虑了旋转变换以及无穷小旋转变换, 将其生成元视作角动量, 由 此得到的 Lx;y;´ 与 L = R P 是一致的. 得到了角动量的具体形式之后, 自然有相关的对易关系, [Lx; Ly] = i„L´; [L´; X] = i„Y; [L´; Y ] = i„X; [L´; Z] = 0; [L´; Px] = i„Py; [L´; Py] = i„Px; [L´; P´] = 0; 9
现在引入位置表象的基向量r）=x，y,z)，将波函数经历的旋转变换表示为(y,z)→ (,,)(cins)=(xcosp+ysinp,-x sin+ycospzly)如果用被动观点阅读上式，就有基向量的变换(x.y.z)-→(xcosp+ysinp.-xsin+ycos,z)可以证明，(x.y,zle-isLz/h=(rcosg+y sing.-x sing+ycos.zl(16)证明（16)这里不得不借助Baker-Hausdorff公式，e-isLz/hxeisLz/h=XcosΦ+Y singe-igLz/hyeioLz/h=-X sing+Ycose-ioLz/hZeioLz/h=Z利用上面第一个等式，(x,y,zle-ioL/tx =(x,y,zl(X cos+Ysing)e-iLz/h= (xr cos+y sing)(x,y.zle-ioLz/h这表明(x,y,zle-idLz/h是X的本征态，对应的本征值是xcosΦ+ysinp.类似地，利用第二个和第三个等式，分别有(x,y,zle-idLz/h是Y 的本征态,对应的本征值是-x sin中+ ycos中.(r,y,zle-i冲Lz/h 是 z 的本征态，对应的本征值是z.因此,把 (x,y,zle-iΦLz/h 表示为 (x cosΦ + y sin g,-x sinΦ + y cos ,zl, 即 (16) 式.波函数经历的旋转变换重写为(x,y,z) → (x, y,zle-ioL/h)进而写出对量子态)的旋转变换，)→ [")=-iz/h)这里的L，脱离了的位置表象，具有抽象意义继续分析旋转变换对位置算子的改变，经过了旋转变换后，位置算子R变为R，本征态由Ir）=Ix,J,z)变为(r")）=[xy",z)，但是本征值没有改变，R'(r')=r(r")10
现在引入位置表象的基向量 jri = jx; y; ´i, 将波函数经历的旋转变换表示为 hx; y; ´j i ! hx; y; ´j 0 i Using (14) HHHHHHHHH x cos + y sin ; x sin + y cos ; ´ = hx cos + y sin ; x sin + y cos ; ´j i 如果用被动观点阅读上式, 就有基向量的变换, hx; y; ´j ! hx cos + y sin ; x sin + y cos ; ´j 可以证明, hx; y; ´j e i L´/„ = hx cos + y sin ; x sin + y cos ; ´j (16) 证明 (16) 这里不得不借助 Baker-Hausdorff 公式, e i L´/„Xei L´/„ = X cos + Y sin e i L´/„Yei L´/„ = X sin + Y cos e i L´/„Zei L´/„ = Z 利用上面第一个等式, hx; y; ´j e i L´/„X = hx; y; ´j(X cos + Y sin )e i L´/„ = (x cos + y sin )hx; y; ´j e i L´/„ 这表明 hx; y; ´j e i L´/„ 是 X 的本征态, 对应的本征值是 x cos + y sin . 类似地, 利用第二个和第三个等式, 分别有 hx; y; ´j e i L´/„ 是 Y 的本征态, 对应的本征值是 x sin + y cos . hx; y; ´j e i L´/„ 是 Z 的本征态, 对应的本征值是 ´. 因此, 把 hx; y; ´j e i L´/„ 表示为 hx cos + y sin ; x sin + y cos ; ´j, 即 (16) 式. 波函数经历的旋转变换重写为 hx; y; ´j i ! hx; y; ´je i L´/„ j i 进而写出对量子态 j i 的旋转变换, j i ! j 0 i = e i L´/„ j i 这里的 L´ 脱离了的位置表象, 具有抽象意义. 继续分析旋转变换对位置算子的改变. 经过了旋转变换后, 位置算子 R 变为 R0 , 本征态由 jri = jx; y; ´i 变为 jr 0 i = jx 0 ; y0 ; ´0 i, 但是本征值没有改变, R 0 jr 0 i = r jr 0 i 10