第四章级数 By付小宁
第四章 级 数 By 付小宁
第一节复数项级数 复数列的极限 复 数 列 1.定义设{an}(m=1,2,…)为一复数列其中收 an=an+ib1,又设以=a+为一确定的复数 如果任意给定E>0,相应地都能找到一个数同 于 N(a),使an-a<E在n>N时成立 极 限 那末a称为复数列(an}当n→∞时的极限存 记作 lima=a.也称复数列{n}收敛于2.在 n→>0
一、复数列的极限 1.定义 如果任意给定 0,相应地都能找到一个正数 N( ), 使 在 n N 时成立, n − 那末 称为复数列{ }当n → 时的极限, n 记作 lim = . → n n 也称复数列{ n }收敛于. 设{ } (n = 1,2, )为一复数列,其中 n , n n n = a + ib 又设 = a + ib为一确定的复数, 第一节 复数项级数 复 数 列 收 敛 等 同 于 极 限 存 在
2复数列收敛的条件 复数列{an}(n=1,2,)收敛于a的充要条件是 limb. =b n 证如果lman=a,那末对于任意给定的E>0 n1-0 就能找到一个正数N,当n>N时, +ibn)-(a+ib)<e
2.复数列收敛的条件 复数列{ }(n = 1,2, )收敛于 的充要条件是 n lima a, limb b . n n n n = = → → lim = , → n n 如果 那末对于任意给定的 0 就能找到一个正数N, 当n N 时, (a + ib ) − (a + ib) , n n 证
从而有an-a≤(an-a)+i(bn-b)<, 所以 lima=a.同理imbn=b n→>0 反之,如果 lima=a, limb=b, n→0 那末当n>N时,an-a<分,bn-=b<5
a − a (a − a) + i(b − b) , 从而有 n n n lima a. n n = → 所以 limb b. n n = → 同理 . 2 , 2 an − a bn − b 反之, 如果 lima a, limb b, n n n n = = → → 那末当n N 时
从而有an-a=(an+ibn)-(a+ib) (am-a)+i(bn-b) ≤an-a+b-b<G 所以 lim a=a 证毕 定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性
从而有 (a ib ) (a ib) n − = n + n − + (a a) i(b b) = n − + n − 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. lim =. → n n 所以 [证毕] a − a + b − b , n n