北京师范大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 数列极限（主讲：郇中丹）

第三章数列极限 郇中丹 2006-2007学年第一学期

1 第三章 数列极限 郇中丹 2006-2007学年第一学期

基本内容 §1数列的基本概念 §2数列极限 §3数列收敛条件和列紧性

2 基本内容 • §1 数列的基本概念 • §2 数列极限 • §3 数列收敛条件和列紧性

§1.数列的基本概念 常用关系式和不等式 归纳法和二项式 数列的定义和运算 数列的有界性 无穷小数列 无穷小数列举例 习题五

3 §1. 数列的基本概念 • 常用关系式和不等式 • 归纳法和二项式 • 数列的定义和运算 • 数列的有界性 • 无穷小数列 • 无穷小数列举例 • 习题五

常用关系式和不等式 对于a,b,c∈R 1.sn(a)≤x<sn(a)+10^xn};特别,a]≤a<[a]+1 2.|a-bl≤a+bl≤al+b 3. ab=la bl, la/b=la bl 4.若a≤b,则a+c≤b+c 5.若a≤b,c≥0,则ac≤bc 6.infA+ cinf bsinfa+B≤supA+B≤supA+supB 其中A,B为非空实数集,A+B={x+ y XEA,yEB}

4 常用关系式和不等式 • 对于a, b, c  R: • 1. sn(a)x<sn(a) + 10^{-n}; 特别, [a]  a < [a] +1 • 2. |a| - |b|  |a+b|  |a| + |b| • 3. |ab|=|a| |b|, |a/b|=|a|/|b| • 4. 若a  b, 则a+c  b+c • 5. 若a  b, c  0, 则ac  bc • 6. inf A+inf Binf A+Bsup A+Bsup A+sup B 其中A, B为非空实数集, A+B={x+y |xA,yB}

归纳法和二项式 归纳法:验证与自然数有关命题P(n)的程序 1)证明P(1)成立; 2)假定P(k)或P),jk成立,证明P(k+1)成立; 则命题P(n)对任何自然数都成立 例子:(1)二项式公式:(+=2c,C=(8m=6 n 一般形式 n x1+…+x k1+…+k · bernulli不等式:设x>-1,x≠0,自然数n>1则 (1+x)^n>1+nx

5 归纳法和二项式 • 归纳法: 验证与自然数有关命题P(n)的程序: – (1) 证明P(1)成立; – (2) 假定P(k)或P(j), jk,成立, 证明P(k+1)成立; – 则命题P(n)对任何自然数都成立. • 例子: (1) 二项式公式: 一般形式: • Bernulli不等式: 设x> -1, x0, 自然数n>1.则 (1+x)^n>1+nx. ( ) !( )! ! 1 , 0 k n k n k n x C x C k n n k k k n n - =        + = = = ( )  + + = + + = k k n k m k m n m m m x x k k n x x     1 1 1 1 1 ! ! !