注意:驻点不一定是函数的极值点例如,函数 y2,在点(0.0)处的两个偏导数同时为零,即 (0,0)=0,=,(00)=0 容易看出驻点(,0不是函数的极值点 还要注意:极值点也可能不是驻点,因为偏导数 不存在的点也可能是极值点,如锥面z=1-x2+y2的些 顶点(0,0,1),偏导数不存在,但顶点是极值点 上页 页回
容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点. 注意：驻点不一定是函数的极值点.例如，函数 z=x2–y 2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即 (0,0) = 0, (0,0) = 0. x y z z 还要注意：极值点也可能不是驻点，因为偏导数 不存在的点也可能是极值点，如锥面 的 顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点. 2 2 z =1− x + y
定理107极值的充分条件)设函数=xy)在点(x03o) 的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数,且(xov是 函数的一个驻点,即f(x,y0)=0,f,(x,y)=0记 A=fx(x,y0.B=f列(x0y)C=f(xoy),则 1)当B2-AC<0,且4<0时,x0为极大值点,fx0)为 极大值;当B24C<0,且>0时,(x03o)为极小值点 f(x03y)为极小值 (2)当B2AC>0时,fx0)不是极值 (3)当B24C=0时,(x03o可能为极值,也可能不是上页 下下页 极值,此法失效
定理10.7(极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0 ) 的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0 ,y0 )是 函数的一个驻点，即 ,记 ，则 ( , ) 0, ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ), ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = xy = yy (1) 当B2–AC<0，且A<0时,(x0 ,y0 )为极大值点，f(x0 ,y0 )为 极大值；当B2–AC<0，且A>0时，(x0 ,y0 )为极小值点， f(x0 ,y0 )为极小值. (2) 当B2–AC>0时，f(x0 ,y0 )不是极值. (3) 当B2–AC=0时，f(x0 ,y0 )可能为极值，也可能不是 极值，此法失效
综合定理10.6,定理107,对于具有二阶连续偏导 数的函数=f(xy)求其极值的步骤如下 1求方程组 f(x,y)=0 的一切实数解,得到所有驻点 2求出二阶偏导数f(x,y)f3(x,y)m(x,y),并对每 一驻点,求出二阶偏导数的值A,B,C 3对每一驻点(x0),定出B2AC的符号,按照定理 107的结论判定(x03)是否为极值,是极大值还上页 下下页 是极小值
= = ( , ) 0 ( , ) 0, f x y f x y y x 综合定理10.6，定理10.7，对于具有二阶连续偏导 数的函数z=f(x,y)求其极值的步骤如下： 2.求出二阶偏导数 ，并对每 一驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C. f (x, y), f (x, y), f (x, y) xx xy yy 1.求方程组 的一切实数解，得到所有驻点. 3.对每一驻点(x0 ,y0 )，定出B2–AC的符号，按照定理 10.7的结论判定f(x0 ,y0 )是否为极值，是极大值还 是极小值