第二节数列的极限 lx-<c 都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{x.}收敛于a,记为 limx.=a, 或 +a(n→∞）. 家 如果不存在这样的常数，就说数列x,!没有极限，或者说数列x。}是发散 的，习惯上也说limx.不存在. TopSage.com 上面定义中正数ε可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式lx,-a|< e才能表达出x,与a无限接近的意思.此外还应注意到：定义中的正整数N是与 任意给定的正数ε有关的，它随着6的给定而选定， 我们给“数列{x.的极限为a”一个几何解释： 将常数a及数列x1,x,x,.,x,.在数轴上用它们的对应点表示出来，再 在数轴上作点a的&邻域即开区间(a-e,a+e)(图1-22). Q-E 2E a+E 名两后考立 图1-22 因不等式 Ix,-al<s 与不等式 Q-8<x<a+8 等价，所以当n>N时，所有的点x都落在开区间(a-6,a+e)内，而只有有限个 (至多只有N个)在这区间以外. 为了表达方便，引人记号“V”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，记 号“3”表示“存在”.于是，“对于任意给定的6>0”写成“e>0”,“存在正整数 N“写成“3正整数N”,数列极限imx,=a的定义可表达为 limx.=a台s>0,3正整数N,当n>W时，有lx。-al<e. 数列极限的定义并未直接提供如何去求数列的极限，以后要讲极限的求法， 而现在只先举几个说明极限概念的例子 例1证明数列 20 n 的极限是1. .21
第一章函数与极限 e>0,为了使1x,-al<e,只要 这个。是一个确定的实数，而对于任何- 太家网 存在，所以，任取-个大于上的正整数作为，侧则9n耐9.C0m n+(-)-<e, n n 倒2已知气，证明数列k的极限是0 E 91 Vs>0为了使1x。-al<e,只要 1 √E 这个二是一个确定的实数，大于二的正整数有无穷多个存在，任取其中一个作为 E N,则当n>N时，就有 (n+1-0e. (-1)” 多 (-1)“ imn+1=0. 注意在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列{x,}的极限时，重要 的是对于任意给定的正数6，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在. 如果知道1x,-al小于某个量（这个量与n存在函数关系），那么当这个量小于s 时，lx。-a|<e当然也成立.若令这个量小于ε能推出符合定义要求的正整数N 必定存在，就可采用这种方法.例2便是这样做的.当然，在利用极限定义证明极 限时，如果能具体找出一个满足定义要求的正整数N,那么也就证明了这种N的 ·22·
第二节数列的极限 存在，在例2中，若设8<1，就可取N后在以后的证明中，多采取这种找 一个符合定义要求的正整数N的方法 例3设Ig|<1,证明等比数列 1,q,q 的极限是0. 大家网 证Ve>0(设e<1),因为 Ix.-01-01-1.opSage.com 要使1x。-01<e,只要 1g1"-<e. 取自然对数，得(n-1)ln1gl<lna,因1gl<1,lnlg1<0,故 a>1+品6 取N=+品引则当>N时，就有 1g"-1-01<e, 即 limg=0. 二、收敛数列的性质 下面四个定理都是有关收敛数列的性质. 定理1（极限的唯一性）如果数列{x,}收敛，那么它的极限唯一 证用反证法，假设同时有无.→0及，一6，且a<6取e=会因为m, a,故3正整数N,当n>N,时，不等式 (2-2) 都成立.同理，因为imx,=b,故3正整数N,当n>N,时，不等式 -61<2 (2-3) 都成立.取N=max{N,N,}(这式子表示N是N,和N2中较大的那个数)，则当n >N时.(2-2)式及(2-3)式会同时成立，但由(2-2)式有气<，由(2-3)式有 气，”，这是不可能的这矛盾证明了本定理的断言 .23
第一章函数与极限 例4证明数列x,=（-1)+1(n=1,2,.)是发散的. 证如果这数列收敛，根据定理1它有唯一的极限，设极限为c,即Iimx。=a.按 数列极限的定义，对于6=2,3正整数N,当>N时，x,-a1<成立：即当n>N 时成都在开区间a-,a+)内但这是不可能的因为n明民 再重复取得1和-】这两个数，而这两个数不可能同时属于 为「的开区间 (a-子，a+）内.因此这数列发散， lopSage.com 由函数有界性的概念可得以下的数列有界性概念. 对于数列{x,{,如果存在正数M,使得对于一切x都满足不等式 lx.1≤M, 那么称数列{x,}是有界的：如果这样的正数M不存在，就说数列{x.是无界的， 例如，数列无中a=1,2,.)是有界的，因为可取M=1,面使 s 对于一切正整数n都成立. 数列x。=2”(n=1,2,.)是无界的，因为当n无限增加时，2"可超过任何正 数. 数轴上对应于有界数列的点x都落在某个闭区间[-M,M]上. 定理2（收敛数列的有界性）如果数列{x}收敛，那么数列{x}一定有界。 证因为数列x收敛，设1mx,=a.根据数列极限的定义，对于台=1， ヨ正整数N,当n>N时，不等式 lx。-al<1 都成立.于是，当n>N时， lxnI=l(xn-a)+al≤lx。-al+lal<1+lal. 取M=max1x,l,lxl,.,lxwl,1+1al,那么数列{x,中的一切x都满足不等 式 Ix.I≤M. 这就证明了数列{x,是有界的. 根据上述定理，如果数列x,{无界，那么数列{x}一定发散.但是，如果数列 {x,}有界，却不能断定数列{x}一定收敛，例如数列 1,-1,1,.,(-1)1,. 有界，但例4证明了这数列是发散的.所以数列有界是数列收敛的必要条件，但 24
第二节数列的极限 不是充分条件. 定理3（收敛数列的保号性）如果limx,=a,且a>0(或a<0),那么存在正 整数N,当n>N时，都有x,>0(或x。<0). 证就a>0的情形证明.由数列极限的定义，对3 号20,3整数肖n>N 时，有 ☑ l.-als号，TopSage.com 从而 x>a-2=220, 推论如果数列{x}从某项起有x。≥0（或x,≤0），且1imx。=a,那么a≥0 (或a≤0) 证设数列{x.从第N,项起，即当n>N,时有x,≥0.现在用反证法证明.若 Iimx。=a<0,则由定理3知，了正整数N2,当n>N2时，有x,<0.取N=max{N, N2},当n>N时，按假定有x,≥0，按定理3有x.<0,这引起矛盾.所以必有a≥0. 数列{x}从某项起有x。≤0的情形，可以类似地证明. 最后，介绍子数列的概念以及关于收敛数列与其子数列间关系的一个定理. 在数列{x,}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{x,!中的先后次 序，这样得到的一个数列称为原数列{x}的子数列（或子列）. 设在数列{x{中，第一次抽取x。,第二次在x。,后抽取x,第三次在x,后抽 取x,.,这样无休止地抽取下去，得到一个数列 光1，x2.,x4., 这个数列{x}就是数列{x}的一个子数列. 注意在子数列{x。}中，一般项x,是第k项，而x。,在原数列{x。}中却是第 n项.显然，n≥k. ·定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{x,}收敛于α，那么它 的任一子数列也收敛，且极限也是a 证设数列x。,}是数列{x}的任一子数列. 由于limx.=a,故Ve>0,3正整数N,当n>N时，lx,-al<e成立 取K=N,则当k>K时，m4>mk=n,≥N.于是1x,-al<,这就证明了Iim光，=a. 证毕 25