第一章函数与极限 习题1-1 1.求下列函数的自然定义域： (1)y=√3x+2; 3)y=- 大家网 (5)y=sin; TopSage.com (6)y=tan(x+1); (7)y=aresin(x-3); (8)y=√3-x+arctan (9)y=ln(x+1); (10)y=e÷. 2.下列各题中，函数(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2,g(x)=21gx; (2)f八x)=x,g(x)=√厘： (3)f(x)=-,g(x)=xx-可： (4)f(x)=1,g(x)=sec'x-tan'x. 3.设 (lsin l,lxl<号 (x)= 0,1x1≥牙 求()(）（平）(-2)，并作出函数y=()的图形， 4.试证下列函数在指定区间内的单调性： (1)y=x（-0,): (2)y=x+lnx,(0,+m) 5.设八x)为定义在(-l,)内的奇函数，若八x)在(0，)内单调增加，证明f(x)在(-l,0) 内也单调增加。 6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(-1，)上的.证明 (1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数： (2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积 是奇函数 7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？ (1)y=x2(1-x2): (2)y=3x2-x3; 8 (4)y=x(x-1)(x+1): (5)y=sin x-cos x+1 (6)y 16
第一节映射与函数 8.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1)y=cos(x-2): (2)Y=c0s4x: (3)y=1+sin x; (4)y=x00sx: (5)y=sin'x. 9.求下列函数的反函数： (1)y=x+I: 大家网 (3)y-2的(ad-c0: 4)=2im下bSa6e.com (5)y=1+ln(x+2): (6)y2+1 10.设函数f(x)在数集X上有定义，试证：函数八x)在X上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界， 1山.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量 值x,和的函数值： (1)y=,u=sin,=石4=号； (2)y=in,u=2x,=8馬=牙 (3)y=√m,u=1+x2,x1=1,x2=2 (4)y=e,u=x2,x1=0,x2=1: (5)y=u2,u=e,x1=1,x2=-1. 12.设f(x)的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域： (1)fx2): (2)f八8inx): (3)f(x+a)(a>0): (4)fx+a)+f(x-a)(a>0) 13.设 「1，x<1, f八x)=0,1xl=1,g(x)=e, -1,1x1>1, 求几g(x)]和g[U(x)],并作出这两个函数的图形. 14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角p=40°（图1-20）.当过水断面ABCD的面积为 定值S,时，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域. 15.设x0y平面上有正方形D=1(x,y) 0≤x≤1.，0≤y≤1}及直线l:x+y=t(1≥0). 若S(:)表示正方形D位于直线（左下方部分 的面积，试求S()与：之间的函数关系。 16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏 图1-20 温度（用C表示）的转换公式，并求 ·17
第一章函数与极限 (1)90下的等价摄氏温度和-5℃的等价华氏温度： (2)是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那 么该温度值是多少？ 17.已知R:△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20，l5,动点P从C出发，沿三角形边 界按C一B一A方向移动：动点Q从C出发，沿三角形边器技AB的移制移动到南动 △CPQ的面积为y,试求y与x之间的函数关系. 18.利用以下美国人口普查局提供的世 界人口. 人口数据甲5节悠特港8年的世 年份 人口数/百万 年增长率/% 2008 6708.2 1.166 2009 6786.4 1.140 2010 6863.8 1.121 2011 6940.7 1.107 2012 7017.5 1.107 2013 7095.2 第二节数列的极限 一、数列极限的定义 极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的.例如，我国古代 数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法一割圆 术，就是极限思想在几何学上的应用. 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A,:再作内接正十二边 形，其面积记为A2;再作内接正二十四边形，其面积记为A:如此下去，每次边数 加倍，一般地，把内接正6×2-边形的面积记为A。(neN.).这样，就得到一系 列内接正多边形的面积 A1,A2,A3,.,An,., 它们构成一列有次序的数.当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以 ①这里世界人口数据是指每年年中的人口数 18
第二节数列的极限 A.作为圆面积的近似值也越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，A,终 究只是多边形的面积，而还不是圆的面积.因此，设想n无限增大（记为n+,读 作趋于无穷大)，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边 形无限接近于圆，同时A,也无限接近于某一确定的数值这个确定的数值就理 解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数所谓数列) A,A,A,A,.当n一∞时的极限，在圆面积问题中我看同，正是这个数列 的极限才精确地表达了圆的面积. 在解决实际向题中逐浙形成的这和极限方法999最A4的口种基 本方法，因此有必要作进一步的阐明 先说明数列的概念.如果按照某一法则，对每个n∈N,对应着一个确定的 实数x。,这些实数x按照下标n从小到大排列得到的一个序列 七1,2，x3,无。， 就叫做数列，简记为数列{x. 数列中的每一个数叫做数列的项，第项x,叫做数列的一般项（或通项） 例如： 123 23,4.n+. 2,4,8,.,2°，. 111 1 248.2, 1,-1,1,.,(-1),. 2分g.+0” 都是数列的例子，它们的一般项依次为 n42”,2,(-1),+-1) n 在几何上，数列{x}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x,x2, x3,.,x。,.(图1-21). 数列{x。}可看作自变量为正整数n的函数 ·对药翰文 x。=f(n),neN,· 图1-21 当自变量n依次取1,2,3，.一切正整数时，对应的函数值就排列成数列 {xn}. 对于我们要讨论的问题来说，重要的是：当n无限增大时（即n→∞时），对 应的x。=()是否能无限接近于某个确定的数值？如果能够的话，这个数值等 于多少？ 19
第一章函数与极限 我们对数列 2.-0 (2-1) 进行分析.在这数列中， 大家网 我们知道，两个数。与b之间的接近程度可以用这两 数之差的绝对值 16-a来度量（在数轴上1b-al表示点a与点b之间的树月@al越N,a与b 就越接近 就数列(2-1)来说，因为 由此可见，当n越来越大时，一越来越小，从而x就越来越接近于1.因为只要n 足够大，1x,-11即可以小于任意给定的正数，所以说，当n无限增大时，无限 接近于1.例如，给定10徵使10，只要n>10,即从第101项起，都能使不等 k.-11<10 成立.同样地，如果给定1000那么从第10001项起，都能使不等式 1x.-11<10000 成立.一般地，不论给定的正数e多么小，总存在着一个正整数N,使得当n>N 时，不等式 1x。-11<6 都成立.这就是数列，=n+(-1) -(n=1,2,.)当n→∞时无限接近于1这件 事的实质这样的-个数1，叫做数列=n+(-)二(a=12,.)当n一m时的 极限。 一般地，有如下数列极限的定义： 定义设{x,}为一数列，如果存在常数a,对于任意给定的正数e(不论它 多么小)，总存在正整数N,使得当n>N时，不等式 ·20