◆练习 求曲线y=x在点(1,1)处的切线方程和法线方程 解:y11=3x21=3即切线的斜率为:km=3 所以,切线方程为: y-1=3(x-1)即3x-y-2=0 法线方程为: 1=--(x-1)即x+3y-4=0
◆ 练习 求曲线 在点（1，1）处的切线方程和法线方程 3 y = x 解： y x=1 = k 切 = 3 所以，切线方程为： y −1 = 3(x −1) 法线方程为： ( 1) 3 1 y −1 = − x − 即 3x − y − 2 = 0 即 x + 3y − 4 = 0 3 1 3 2 x x= = 即切线的斜率为：
例8求曲线y=x2在点(2,4)处的切线的 斜率,并写出在该点处的切线程和法线方程 解根据导数的几何意义,得切线斜率为k=y1l2 y=(x2y=2xk=y1|x2=4 所求切线方程为y-4=4x-2),即4x-y-4=0. 法线方程为y-4=-(x-4,即x+4y-17=0
例8 , . (2,4) 2 斜 率 并写出在该点处的切线方程和法线方程 求曲线y = x 在 点 处的切线的 解 根据导数的几何意义, 得切线斜率为 =2 = x k y 所求切线方程为 法线方程为 y − 4 = 4(x − 2), ( 4), 4 1 y − 4 = − x − 即4x − y − 4 = 0. 即 x + 4y −17 = 0. y (x ) 2x 2 = = k = y x=2 = 4
2简单的物理意义 1)变速直线运动中路程对时间的导数为物 体的瞬时速度 △sds ()=Im →>0△tat 2)交流电路中电量对时间的导数为电流强 度 △qde i(t=lim 4→0△tdlt 3)非均匀物体中质量对长度(面积体积)的 导数为物体的线(面体)密度 △ndh P(P)=lim △P+0△PdP
2 简单的物理意义 1）变速直线运动中路程对时间的导数为物 体的瞬时速度. ( ) lim . 0 dt ds t s v t t = = → 2）交流电路中电量对时间的导数为电流强 度. ( ) lim . 0 dt dq t q i t t = = → 3）非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的 导数为物体的线(面,体)密度. ( ) lim . 0 dP dm P m P P = = →
五可导与连续的关系 结论:可导的函数一定是连续的。 证设函数∫(x)在点x可导, △y lim f"(x0) ∫'(x)+a △x→0△x △x a→>0(△x→0)A=f(x0)△x+a△x imy=limf(x0)△x+△x=0 △x→>0 △x→0 函数f(x)在点x连续
五 可导与连续的关系 结论： 可导的函数一定是连续的。 证 ( ) , 设函数 f x 在点 x0可导 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) x0 f x y y = f (x0 )x +x lim lim[ ( ) ] 0 0 0 y f x x x x x = + → → = 0 ( ) . 函数 f x 在点 x0连续 → 0 (x → 0)
注意:反之不成立即连续不一定可导。比如 函数∫(x)=x在x=0处连续但不可导 解f(0+h)-f(0)_h h h im<(0+b)-f(0) h = m h→0+ h h-0+ h f(0+h)-f(0) h→>0 h h→>0 即f(0)≠(0),函数y=f(x)在x=0点不可导
比如 函 数 f (x) = x 在x = 0处连续但不可导 解 y = x x y o , (0 ) (0) h h h f h f = + − h h h f h f h h → + → + = + − 0 0 lim (0 ) (0) lim = 1, h h h f h f h h − = + − → − → − 0 0 lim (0 ) (0) lim = −1. (0) (0), + − 即 f f 函数y = f (x)在x = 0点不可导. 注意: 反之不成立.即连续不一定可导