例5求函数y= log x(a>0,a≠1)的导数 解 li log,(x+h)-logax m h->0 h log (1+ lim h→>0 h x0(1+-)h a 即(ognx)y= loga e.特别地lnx少/
例 5 求函数 y = log x(a 0,a 1)的导数. a 解 h x h x y a a h log ( ) log lim0 + − = → log . 1 (log ) e x a x = a 即 x xh xh a h 1 log ( 1 ) lim0 + = → hx a h xh x lim log ( 1 ) 1 0 = + → log . 1 e x = a x x 1 特别地，(ln ) =
四导数的意义 1几何意义 f'(x)表示曲线y=f(x) f(r) 在点M(x0,f(x0)处的 切线的斜率,即 f(x)=tana,(a为倾角° 切线方程为y-y=f(x0)(x-x0) 法线方程为y-y0= -x f(x0)
四 导数的意义 o x y y = f (x) T x0 M 1 几何意义 ( ) tan , ( ) , ( , ( )) ( ) ( ) 0 0 0 0 为倾角 切线的斜率 即 在点 处的 表示曲线 = = f x M x f x f x y f x 切线方程为 法线方程为 ( )( ). 0 x0 x x0 y − y = f − ( ). ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = −
四、导数几何意义的应用 1、根据导数的几何意义,可以得到曲线y=f(x)在定点 M0(x2,y)处的切线方程为: y-y=f(x0)(x-x0) 2、如果f(x)≠0,则法线的斜率为-r(x),从而点M 处法线方程为: x-Xo x
四、导数几何意义的应用 1、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点 处的切线方程为： y = f (x) ( , ) 0 0 0 M x y ( )( ) 0 0 0 y − y = f x x − x 2、如果 ，则法线的斜率为 ，从而点 处法线方程为： f (x0 ) 0 ( ) 1 0 f x − ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = − M0
例6求曲线y=√x在点(4,2)处的切线方程和法线方程 解:(1)函数y=√x在x=2处的导数 4 (2)所求切线的斜率kn=1 4 (3)由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为 即x-4y+4=0 4)法线的斜率k2=-1 =-4,故所求的法线方程为 y-2=-4(x-4)即4x+y-18=0
例6 求曲线 y = x 在点（4，2）处的切线方程和法线方程。 解： （1）函数 y = x 在x=2处的导数： y x=4 = （2）所求切线的斜率 4 1 k 切 = ( 4) 4 1 y − 2 = x − 即 x − 4y + 4 = 0 （4）法线的斜率 4 ，故所求的法线方程为： 1 = − = − 切 法 k k y − 2 = −4(x − 4) 即 4x + y −18 = 0 （3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为： 4 1 2 1 x=4 = x
例7曲线y=x2上哪些点处的切线与直线y=3x-1平行? 解:由导数的几何意义可知,曲线y=x2在点M(x,y)处的 切线的斜率为: (x2)==x02 而直线y=3x-1的斜率为k=3 根据两直线平行的条件有3 解此方程,得 将x=4代入曲线方程y=x2,得y=8 3 所以,曲线y=x2在点M(48)处的切线与直线y=3x-1平行
例7 曲线 2 上哪些点处的切线与直线 平行？ 3 y = x y = 3x −1 解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的 切线的斜率为： 2 3 y = x ( , ) 0 0 M x y = = = ( 2 ) 3 0 0 y x x x 而直线 y = 3x −1 的斜率为 k = 3 3 2 3 x0 = 解此方程，得 4 x0 = 将 x0 = 4 代入曲线方程 ，得 。 2 3 y = x y0 = 8 根据两直线平行的条件有 所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行。 2 3 y = x M (4,8) y = 3x −1 0 2 1 0 2 3 2 3 x = x