例讨论函数f(x)=x在x=0处的可导性 解f(0+h)-f(0)_h h h im<(0+b)-f(0) h = m h→0+ h h-0+ h im(o+h) f(0) h→>0 h h→>0 h 即f(0)≠(0),函数y=f(x)在x=0点不可导
例 讨论函数 f (x) = x 在x = 0处的可导性. 解 y = x x yo , (0 ) (0) hh h f h f = + − hh h f h f h h → + → + = + − 0 0 lim (0 ) (0) lim = 1 , hh h f h f h h − = + − → − → − 0 0 lim (0 ) (0) lim = − 1 . ( 0 ) ( 0), + − 即 f f 函数y = f (x)在x = 0点不可导
由定义求导数举例 步骤:(1)求增量y=f(x+△x)-f(x); (2)算比值今=f(x+△x)-f(x) △x (3)求极限y=lim △x→>0△v 例1求函数∫(x)=C(C为常数)的导数 解∫(x)=im f∫(x+h)-f(x) C-C =lim h→0 h h→0 h 即(C)=0.常数的导数是零
三 由定义求导数举例 步骤: (1)求增量 y = f (x + x) − f (x);; ( ) ( ) (2) x f x x f x x y + − = 算比值 (3) lim . 0 x y y x = → 求极限 例1 求函数 f (x) = C(C为常数)的导数. 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h C C h − = →0 lim = 0. 即 (C) = 0. 常数的导数是零
例2求函数y=x"(m为正整数)的导数 (x+h)"-x 解(x")=im h→>0 (x)冬2七nh+…+h”]=nx"1 limn"+ n(n-1) h→0 即 更一般地(x“y=Aac“.(为常数 例如, 2 ′=(x-y=(-1)x 112
例2 求函数 y x (n为正整数)的导数. n = 解 h x h x x n n h n + − = → ( ) ( ) lim 0 ] 2! ( 1) lim[ 1 2 1 0 − − − → + + − = + n n n h x h h n n nx −1 = n nx ( ) . −1 = n n 即 x nx 更一般地 ( ) . ( ) x = x −1 为常数 ( ) ( ) 2 1 x = x 例如, 1 2 1 2 1 − = x . 2 1 x = ) ( ) 1 ( 1 = − x x 1 1 ( 1) − − = − x . 1 2 x = −
例3若函数f(x)=sinx,求(sinx #E (x)=(sin x )'=lim Sin(+h)-sinx →>0 h SIn lim cos(x coSx。 h→0 2 故(sinx)y=cosx 同样地,(cosx)y=sinx
例 3 若函数 f ( x ) = sin x,求(sin x ) 解 h x h x f x x h sin( ) sin ( ) (sin ) lim0 + − = = → 2 2 sin ) 2 lim cos( 0 h h h x h = + → = cos x . 故 (sin x ) = cos x 同样地，(cos x ) = sin x
例4求函数f(x)=a(a>0,a≠1)的导数 xth 解(a)=lim h→>0 h 灰分 In。 (a )=a Ina 特别地,(e)'=ex
例 4 求函数 f (x) = a (a 0,a 1)的导数. x 解 h a a a x h x h x − = + →0 ( ) lim h a a h h x 1 lim0 − = → a ln a . x = x x 特别地， ( e ) = e a ln a . x ( ) = x a