例4:limsinx = 0x-0-2：函数sinx是当x→0时的无穷小y0.Tx→8?1x·函数是当x→8时的无穷小二xx(-1)"0.lim=xn-→80n012(-1)"数列是当n→8时的无穷小n
x y 1 = o x y x y 1 = 例4 limsin 0, 0 = → x x 0, 1 lim = x→ x 0, ( 1) lim = − → n n n ( 1) { } n n n − → 数列 是当 时的无穷小. → 函数sin 0 x x 是当 时的无穷小. • 1 4 • 1 2 1 3 −1 − O • • •• 1 x x → 函数 是当 时的无穷小. •
无穷小量与函数极限的关系：定理lim f(x) = A台 f(x) = A+α(x)x-→xo其中α(x)→0 (x→x)证明必要性令 α(x)= f(x)-A,设 lim f(x)= A,x-→xo因而 lim α(x)= 0,: f(x)=A+α()X-→Xo充分性若f(x)=A+α(x), 其中α(x)→o (x→x)于是 lim f(x)= lim(A+α(x)x-→xx-→xa= A+ lim α(x) = A.x-→xo
无穷小量与函数极限的关系: 证明 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令( ) ( ) , x f x A = − 0 lim ( ) 0, x x x → 因而 = = + f x A x ( ) ( ). 充分性 若f x A x ( ) ( ), = + 0 其中( ) , x o x x → → （ ） 0 0 lim ( ) lim( ( )) x x x x f x A x → → 于是 = + 0 lim ( ) . x x A x A → = + = 0 0 lim ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) x x f x A f x A x x o x x → = = + → → 其中 定理