南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第十章 重积分

二重积分的几何意义 f(x,y)≥0，表示曲顶柱体的体积 ∫(x,y)≤0，表示曲顶柱体体积的 f(x)dxdy 负值 ∫(x,y有正有负，表示曲顶柱体体 积的代数和

二重积分的几何意义 ( , )d d D f xy x y  f xy ( , ) 0,  f xy ( , ) 0,  表示曲顶柱体的体积 表示曲顶柱体体积的 负值 f x y),( 有正有负，表示曲顶柱体体 积的代数和

三、二重积分的性质 1kfx,ydo-Jx,)do(k为常数) 2.J川nf(x,)±g(x,No =川n/x,y)do±，g(x,)do 3.f(xfxdo (D=D1UD2,D1,D2无公共内点) 4.若在D上f(x,y)=1,o为D的面积，则 积分区域 的可加性 G-1-dG=pdo

三、二重积分的性质  D yxfk d),(.1  ( k 为常数 )    D yxgyxf d)],(),([.2  .4 若在 上 yxfD  ,1),(      D D  dd1   为D 的面积, 则 ( ,, )   DDDDD 2121 无公共内点    D yxfk d),(        D D yxf  yxg d),(d),(          1 2 d),(d),(d),(.3 D D D yxf  yxf  yxf  积分区域 的可加性

5.若在D上f(xy)≤p(x,y),则 川nfx,y)do≤川p(x,y)da 特别，由于-f(x,y)≤f(x,y)≤f(xy) Sf(x.y)da≤jnf(xda 6设M=maxf(x,y),m=minf(x,y),D的面积为o, 则有 mo≤J∬nf(x,y)do≤Mo

特别, 由于    yxfyxfyxf ),(),(),( D yxf d),(  则 D yxf d),(    D yx d),(  5. 若在D上 f x y),(   x y ,),(   D yxf d),(  6. 设M f myx f yx ),,(min),,(max D D   D 的面积为 ,  Myxfm  D    则有 d),(

例.设D是第二象限的一个有界闭域，且0<y<1,则 1=∬心wda.h-do,4=da 的大小顺序为(D) (A)1≤12≤13 (B)I2≤1≤13； (C)3≤12≤11；(D)13≤1≤12 1 提示：因0<y<1,故y2≤y≤y 又因x3<0,故在D上有 D ≤r≤yx3 O x

例. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则 ,d3 1   D xyI  ,d32 2   D xyI    D xyI d 2 3 1 3 的大小顺序为 ( ) )( )(; . )( )(; ; 123 213 321 312 IIIDIIIC A I I I B I I I       提示: 因 0 < y <1, 故 ; 2 1 2  yyy D ,0 故在D上有 3 又因 x  2 3233 1  xyxyxy y o x 1 D

7.(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上 连续，o为D的面积，则至少存在一点(5,7)∈D,使 Jf(x.y)da=f(.n)o 证：由性质6可知， m≤g川%f(.da≤M 由连续函数介值定理，至少有一，点(5，)∈D使 f(5.n)-If(x.y)da 因此 f(x.y)do=f(5.n)o

7.(二重积分的中值定理) 设函数 f yx ),(    D,),( fdyxf ),(),(  D  证: 由性质6 可知, Myxfm D      d),( 1 由连续函数介值定理, 至少有一点  ),(  D   D f yxf    d),( 1 ),( fyxf ),(d),(  D   在闭区域D上  为D 的面积 ,则至少存在一点 使 使 连续, 因此