lim f(x)= lim(x-1) =-1 ;x-0x-→0当x>0时，(x)=x+1，则函数f(αx)的右极限，lim f(x)= lim(x+1)=1.x-→0*x-→0因为左极限和右极限存在但不相等，所以当x→0时f(x)的极限不存在，定理1：limf(x)=A成立的充要条件是lim f(x)= lim f(x)= A .（2）自变量x的绝对值网无限增大，称作x趋向于无穷大，记为x→80.定义4：设函数f(x）在xl大于某一正数M时有定义，存在常数A，对于>0,8>0，使得≤>M时,所有x满足IF(x)-AI<，则称A是函数f(α)在x→0时的极限，或称函数f(x）收敛于A，记作：lim f(x)= A.理解为：设函数f(x)在冈大于某一正数时有定义，当冈>M时，若函数f(x)的值无限接近于某一确定常数A.1）自变量x沿数轴正方向趋于无穷大，记为x→+80.定义5：设函数f(x）在x大于某一正数M时有定义，存在常数A，对于Vs>0，使得x>M时，所有x满足If(x)-A[<8，则称A是函数f(α)在x→+0时的极限，或称函数f(x)收敛于A，记作：limf(x)=A2）自变量x沿数轴负方向趋于无穷大，记为x→-00定义6：设函数f(x)）在-x大于某一正数M时有定义，存在常数A，对于Vε>0，使得-x>M时，所有x满足IF(x)-A/<8，则称A是函数f(x)在x→-00时的极限，或称函数f(x)收敛于A，记作：limf(x)=A1例3讨论函数f(x)=-在x→8时的极限.讨论：例3先让学生进行讨A论，然后随机抽学生回答相二，当x无限增大时，解：函数f(x)=-关问题。H即在x→+o0及x→-0的这两个过程中，都有对应函数值无限趋于常数0随堂练习讨论极限limarctanx是否存在？随堂练习：提前在学习通上0发布该习题，学生做好习题解：由函数f(x）=arctanx的基本图形知后拍照上传可获得相应的课堂积分，并随即可看到学生的大体情况。y-arctan x+07T221
21 0 0 lim ( ) lim( 1) 1 x x f x x ； 当 x 0 时， f (x) x 1，则函数 f (x) 的右极限， 0 0 lim ( ) lim( 1) 1 x x f x x ． 因为左极限和右极限存在但不相等，所以当 x 0 时 f (x) 的极限不存在. 定理 1： f x A x x lim ( ) 0 成立的充要条件是 f x f x A x x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 . （2）自变量 x 的绝对值 |x| 无限增大，称作 x 趋向于 无穷大，记为 x . 定义 4：设函数 f (x) 在 |x| 大于某一正数 M 时有定义， 存在常数 A，对于 > 0， > 0，使得 |x| > M 时， 所有 x 满足 | f (x) - A | < ，则称 A 是函数 f (x) 在 x 时的极限，或称函数 f (x) 收敛于 A，记作： f x A x lim ( ) . 理解为：设函数 f (x) 在 |x| 大于某一正数时有定义，当 |x| > M 时，若函数 f (x) 的值无限接近于某一确定常数 A . 1) 自变量 x 沿数轴正方向趋于无穷大，记为 x + . 定义 5：设函数 f (x) 在 x 大于某一正数 M 时有定义， 存在常数 A，对于 > 0，使得 x > M 时，所有 x 满足 | f (x) - A | < ，则称 A 是函数 f (x) 在 x + 时的极限， 或称函数 f (x) 收敛于 A，记作： f x A x lim ( ) . 2) 自变量 x 沿数轴负方向趋于无穷大，记为 x - . 定义 6：设函数 f (x) 在 -x 大于某一正数 M 时有定义， 存在常数 A，对于 > 0，使得 -x > M 时，所有 x 满 足 | f (x) - A | < ，则称 A 是函数 f (x) 在 x - 时的极 限，或称函数 f (x) 收敛于 A，记作： f x A x lim ( ) . 例 3 讨论函数 x f x 1 ( ) 在 x 时的极限. 解：函数 1 f (x) x ，当 x 无限增大时， 即在 x 及 x 的这两个过程中，都有对 应函数值无限趋于常数0 . 随堂练习 讨论极限 x xlim arctan 是否存在？ 解: 由函数 f (x) arctan x 的基本图形知 讨论：例 3 先让学生进行讨 论，然后随机抽学生回答相 关问题。 随堂练习：提前在学习通上 发布该习题，学生做好习题 后拍照上传可获得相应的 课堂积分，并随即可看到学 生的大体情况
元limarctanx=2X→-0元limarctanx=2x-→+0由于极限limarctanx，limarctanx都存在，但不相等，由定理2知，极限limarctanx不存在.定理2：limf(x)=A成立的充要条件是lim f(x)= lim f(x)= A .2.函数极限的性质难点：函数极限的性质。函数的极限与数列的极限具有一些相似的性质，这里以x→x.这种形式为代表来叙述函数的极限一些相应的性质，至于其它形式的极限的性质只要相应地作适当修改即可性质1（唯一性）函数有极限则必唯一，性质2（局部有界性）若limf(x)=A存在，则函数f(x)在点xo的某去心邻域内有界若limf(x)=A存在，则函数f(x)在xl大于某一正数M时有界性质3（局部保号性）设limf(x)=A，且A>0（A<0），则在点xo的某去心邻域内恒有f(x)>0(f(x)<0)推论1limg(x)=B ，且f(x)≥g(x)，则在设limf(x)=A，点xo的的某去心邻域内恒有A≥B三、课程小结1.函数极限的定义2.函数极限的性质四、布置作业1.教材的课后习题课后思考：布置课后思考，2.学习通上对应的作业培养学生自主思考的学习3.课后思考：数列极限与函数极限之间的区别与联系？能力，另外，培养学生对所五、板书设计学知识的归纳能力和对比能力。函数极限的定义1.4函数的极限函数极限的基本性质（重点）22
22 lim arctan x 2 x ， lim arctan x 2 x ， 由于极限 lim arctan x x ， lim arctan x x 都存在，但不相 等，由定理 2 知，极限 limarctan x x 不存在． 定理 2： f x A x lim ( ) 成立的充要条件是 f x f x A x x lim ( ) lim ( ) . 2. 函数极限的性质 函数的极限与数列的极限具有一些相似的性质，这里以 0 x x 这种形式为代表来叙述函数的极限一些相应的性质， 至于其它形式的极限的性质只要相应地作适当修改即可． 性质 1（唯一性） 函数有极限则必唯一． 性质 2（局部有界性） 若 f x A x x lim ( ) 0 存在，则函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻 域内有界. 若 f x A x lim ( ) 存在，则函数 f (x) 在|x| 大于某一正数 M 时有界. 性质 3（局部保号性） 设 f x A x x lim ( ) 0 ，且 A > 0（A < 0），则在点 x0 的某 去心邻域内恒有 f (x) > 0（f (x) < 0）. 推论 1 设 f x A x x lim ( ) 0 ， g x B x x lim ( ) 0 ，且 f (x) g (x)，则在 点 x0 的的某去心邻域内恒有 A B. 三、课程小结 1. 函数极限的定义 2. 函数极限的性质 四、布置作业 1. 教材的课后习题 2. 学习通上对应的作业 3. 课后思考：数列极限与函数极限之间的区别与联系？ 五、板书设计 难点：函数极限的性质。 课后思考：布置课后思考， 培养学生自主思考的学习 能力，另外，培养学生对所 学知识的归纳能力和对比 能力
教学反思1.成功之处我尝试引入并融合了更多的教学方法和手段，如案例教学、讨论、问题导向教学、多媒体手段等，这个过程有激发学生的学习兴趣和积极性。同时，我也根据学生的学习情况和反馈及时调整了教学过程，以提高教学效果。2.存在问题我意识到使用的教学手段虽然直观，但也可能导致学生过于依赖图像而忽视了对数学本质的理解。因此，我需要在教学中平衡好直观与抽象的关系，引导学生深入思考数学本质。3.改进措施我将加强对学生学习情况的跟踪和反馈，及时发现问题并进行针对性的辅导。同时，我也会增加练习量和难度，通过多样化的练习形式帮助学生巩固知识并提高解题能力。23
23 教学反思 1. 成功之处 我尝试引入并融合了更多的教学方法和手段，如案例教学、讨论、问题导向教学、多 媒体手段等，这个过程有激发学生的学习兴趣和积极性。同时，我也根据学生的学习情况 和反馈及时调整了教学过程，以提高教学效果。 2. 存在问题 我意识到使用的教学手段虽然直观，但也可能导致学生过于依赖图像而忽视了对数学 本质的理解。因此，我需要在教学中平衡好直观与抽象的关系，引导学生深入思考数学本 质。 3. 改进措施 我将加强对学生学习情况的跟踪和反馈，及时发现问题并进行针对性的辅导。同时， 我也会增加练习量和难度，通过多样化的练习形式帮助学生巩固知识并提高解题能力
S1.5极限的运算法则授课题目课时：2学时S1.6极限存在准则及两个重要极限知识目标：1.掌握极限的运算法则。学生能够熟悉并应用极限的四则运算法则，包括加法、减法、乘法和除法的极限运算法则，以及极限的复合运算法则。2.理解极限存在的条件。学生能够理解极限存在的充分必要条件，如夹逼准则、单调有界准则等，并能够运用这些条件判断极限是否存在。3.掌握两个重要极限。教学目标能力目标：培养学生的应用计算能力。学生能够熟练运用极限的运算法则进行计算，包括复杂的复合函数极限的计算。素养目标：培养学生的逻辑思维品质。学生通过对极限的计算，感受数学的神奇之处，体会数学逻辑运算的严密性、严谨性。教学重点：极限的运算法则和重要极限。重点难点教学难点：极限存在准则（夹逼定理、单调有界数列必收敛）。教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。方法手段教学手段：多媒体、学习通平台。导入新课央逼定理单调有界数列必有收敛极限的运lim讲解新知举例+练习+讲授算法则与极限sinx存在教学设计lim准则X→0视课程小结要极限布置作业板书设计教学反思教学过程教学活动24
24 授课题目 §1.5 极限的运算法则 §1.6 极限存在准则及两个重要极限 课时：2 学时 教学目标 知识目标： 1. 掌握极限的运算法则。学生能够熟悉并应用极限的四则运算法则， 包括加法、减法、乘法和除法的极限运算法则，以及极限的复合运算法则。 2. 理解极限存在的条件。学生能够理解极限存在的充分必要条件，如 夹逼准则、单调有界准则等，并能够运用这些条件判断极限是否存在。 3. 掌握两个重要极限。 能力目标： 培养学生的应用计算能力。学生能够熟练运用极限的运算法则进行计 算，包括复杂的复合函数极限的计算。 素养目标： 培养学生的逻辑思维品质。学生通过对极限的计算，感受数学的神奇 之处，体会数学逻辑运算的严密性、严谨性。 重点难点 教学重点：极限的运算法则和重要极限。 教学难点：极限存在准则（夹逼定理、单调有界数列必收敛）。 方法手段 教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。 教学手段：多媒体、学习通平台。 教学设计 教学过程 教学活动
导入新课导入新课：是将上堂课的课复习数列极限与函数极限导入新课。后思考问题进行的解答。利数列极限函数极限用表格式地总结知识点有定义域正整数函数式自身而定助于学生快速回顾所学知X→X→0n-→a识。自变量走向(正无穷)→x→X→#→+limf(x)=ARlim f(x)-lim f(x)=Alima,=A极限limf(n)=Aim ()-limf(x)-A二、讲解新知1.极限的四则运算重点1：极限的四则运算。对于x→xo或x→80时，下列定理成立定理3：设 lim f(x)=A ，limg(x)=B，则 :(1) lim (f(x)±g(x)= limf(x)±limg(x)= A± B(2) lim (f(x): g(x))= limf(x)-limg(x)= A·B(3) im lmy() _ 4(B0)g(x)limg(x)B推论1：设limf(x)=A，为常数，则：lim cf(x) = c(limf(x)= cA推论2:设limfi(x)=A，limf(x)=A，limf(x)=A...（有限个），对应地，C1,C2,为常数，则：limcfi(x)+cf(x)+...+c.f.(x)=c,limf.(x)+climf(x)+...+c,limf.(x)=C,A,+CA,+..+CAn推论3:设limfi(x)=A，limf(x)=A，limf(x)=A...（有限个），则：lim[f.(x)f(x)...f.(x)= limf.(x)c,limf:(x)..limf.(x)=A,A...A.特别地，若limf(x)=A存在，有正整数k，则使得，lim[f(x) =[limf(x)} = A* .例1求极限lim(2x2-3x+1)。解：由推论2、推论3得lim(2x2 - 3x +1)= lim 2x2 -lim 3x +lim 1x-→1Y+1x-→>1x→1=2limx2-3limx+1=2x12-3x1+1=0.Y技巧（1）：求多项式函数当x→xo的极限时，只要把xo代替函数中的x就可以x? +1例2求极限limx-2 3x3 - 2x2 +2解：因为提问：例2的特点是什么？lim(3x3-2x2 +2)=3×23-2×22+2=18±0,所以25
25 一、导入新课 复习数列极限与函数极限导入新课. 二、讲解新知 1. 极限的四则运算 对于 x x0 或 x 时，下列定理成立 定理 3： 设 lim f (x) A ，lim g(x) B ，则 ： (1) lim f (x) g(x) limf (x) limg(x) A B (2) lim f (x) g(x) limf (x)limg(x) A B ( 0) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) (3) lim B B A g x f x g x f x 推论 1：设 lim f (x) A ，c 为常数， 则 ： lim cf (x) climf (x) cA 推论 2：设 1 ( ) 1 lim f x A ， 2 ( ) 2 lim f x A ， 3 ( ) 3 lim f x A . （有限个），对应地， c1, c2, . 为常数， 则 ： n n n n n n c A c A c A c f x c f x c f x c f x c f x c f x . lim ( ) lim ( ) . lim ( ) lim ( ) ( ) . ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 推论 3：设 1 ( ) 1 lim f x A ， 2 ( ) 2 lim f x A ， 3 ( ) 3 lim f x A . （有限个）， 则 ： n n n A A A f x c f x f x f x f x f x . lim ( ) lim ( ).lim ( ) lim ( ) ( ). ( ) 1 2 1 2 2 1 2 特别地，若 lim f (x) A 存在，有正整数 k ，则使得， k k k lim f (x) limf (x) A . 例 1 求极限lim(2 3 1) 2 1 x x x . 解：由推论 2、推论 3 得 2 2 1 1 1 1 lim(2 3 1) lim2 lim3 lim1 x x x x x x x x 2 1 1 2lim 3lim 1 x x x x 2 21 311 0． 技巧（1）：求多项式函数当 x x0 的极限时，只要把 x0 代替函数中的 x 就可以. 例 2 求极限 3 2 2 1 lim 3 2 2 2 x x x x . 解：因为 3 2 3 2 2 lim(3 2 2) 3 2 2 2 2 18 0 x x x ， 所以 导入新课：是将上堂课的课 后思考问题进行的解答。利 用表格式地总结知识点有 助于学生快速回顾所学知 识。 重点 1：极限的四则运算。 提问：例 2 的特点是什么？