沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第3章 向量与线性方程组

线性代数教案第3章向量与线性方程组授课题目83.1线性方程组解的判定定理课次：111.知识目标（1）理解线性方程组有解的判定定理。（2）掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。2.能力目标（1）计算能力：学生能够准确计算系数矩阵和增广矩阵的秩，并据此判断线性方程组是否有解以及解的个数。（2）应用能力：学生能够将线性方程组解的判定定理应用于实际间题中，如工程、物理、经济等领域的实际问题。（3）问题解决能力：通过学习和实践，学生能够独立解决与线性方程组解的判定相关的复杂间题。教学目标（4）逻辑思维能力：通过学习线性方程组解的判定定理，培养学生的逻辑思维和辩证思维能力，使他们能够严谨地分析和解决问题。3.情感与态度目标（1）学习兴趣：激发学生对线性代数和数学的兴趣，使他们愿意主动学习和探索相关知识。（2）学习态度：培养学生认真、严谨的学习态度，使他们能够积极面对学习中的困难和挑战。（3）合作精神：通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生的团队合作精神和沟通能力。（4）创新意识：鼓励学生勇于质疑、敢于创新，培养他们的创新意识和实践能力。教学重点线性方程组有解的判定定理教学难点初等变换法求方程组通解的方法教学手段板书与多媒体结合、学习通教学方法讲授法、启发式教学法、案例教学法、归纳总结法教学时数2课时教学过程备注一、复习引入第一章中介绍的克莱姆法则，适用于含有n个方程，n个未知量的线性方程组.当系数行列式D≠0时，方程组有唯一解.而当D=0或未知量的个数和方程个数不相等时，则方程组的解就会出现多样性，我国古代算书《张邱建算经》中有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱伍：鸡母一，值钱三：鸡三，值钱一：凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、各几何？其意思为公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小鸡值1文钱.现在用100文钱买100只鸡，问：这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？其解法如下：设公鸡、母鸡、小鸡分别为X、J、Z只，由题意得：计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §3.1 线性方程组解的判定定理 课次：11 教学目标 1.知识目标 （1）理解线性方程组有解的判定定理。 （2）掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。 2.能力目标 （1）计算能力：学生能够准确计算系数矩阵和增广矩阵的秩，并据此判断线性方程 组是否有解以及解的个数。 （2）应用能力：学生能够将线性方程组解的判定定理应用于实际问题中，如工程、 物理、经济等领域的实际问题。 （3）问题解决能力：通过学习和实践，学生能够独立解决与线性方程组解的判定相 关的复杂问题。 （4）逻辑思维能力：通过学习线性方程组解的判定定理，培养学生的逻辑思维和辩 证思维能力，使他们能够严谨地分析和解决问题。 3.情感与态度目标 （1）学习兴趣：激发学生对线性代数和数学的兴趣，使他们愿意主动学习和探索相 关知识。 （2）学习态度：培养学生认真、严谨的学习态度，使他们能够积极面对学习中的困 难和挑战。 （3）合作精神：通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生的团队合作精神和沟通 能力。 （4）创新意识：鼓励学生勇于质疑、敢于创新，培养他们的创新意识和实践能力。 教学重点 线性方程组有解的判定定理 教学难点 初等变换法求方程组通解的方法 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 讲授法、启发式教学法、案例教学法、归纳总结法 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 第一章中介绍的克莱姆法则，适用于含有 n 个方程，n 个未知量的线性方程 组．当系数行列式 D  0 时，方程组有唯一解．而当 D = 0 或未知量的个数和方 程个数不相等时，则方程组的解就会出现多样性． 我国古代算书《张邱建算经》中有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一， 值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、 母、鶵各几何？其意思为公鸡每只值 5 文钱，母鸡每只值 3 文钱，而 3 只 小鸡值 1 文钱．现在用 100 文钱买 100 只鸡，问：这 100 只鸡中，公鸡、 母鸡和小鸡各有多少只？其解法如下： 设公鸡、母鸡、小鸡分别为 x 、 y 、 z 只，由题意得：

线性代数教案第3章向量与线性方程组x+y+z=1001z=1005x+3y+=3[x=0x=4[x=8[x=12y=25,y=18，y=1l,y=4可求得符合题意的四组不同的整数解：S(z = 75= 78z=81z=84如果不考虑问题的实际背景，由于这个三元一次方程组中有两个方程，三个未知量，它有无穷多组解.在本节中将讨论m个方程，n个未知量组成的方程组在什么情况下有解，什么情况下无解，什么时候有无穷多解，有无穷多解时其解如何表示，以及怎样求方程组的解等问题。二、讲授新课（一）齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念ax +a2x2++anx,=ba21j+a22x2+..+a2nxn=b2在线性方程组中，若常数项均为0，即线性......[amx)+am2X2+*.+ammx,=bm方程组ai1x+a12X2+...+ainx,=0a2x+a2x2+..+a2nxn=0........[amlX)+am2X2+..+amrx,=0称为齐次线性方程组，若常数项不全为0，称方程组为非齐次线性方程组，显然，齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特殊情况，因而我们先研究非齐次线性方程组解的情况，再研究它的特殊情况一一齐次线性方程组解的情况，（二）非齐次线性方程组解的判定1、非齐次线性方程组有无解的判定4|3)(1 -2-9:0例106有唯一解 r(A)=3，r(A)=3，r(A)=r(A)号13(00(1 -2 4:3)例206910无解r(A)=2, r(A)=3, r(A)±r(A)0002计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 100 1 5 3 100 3 x y z x y z  + + =   + + =   ， 可求得符合题意的四组不同的整数解： 0 25 75 x y z  =   =   = ， 4 18 78 x y z  =   =   = ， 8 11 81 x y z  =   =   = ， 12 4 84 x y z  =   =   = 如果不考虑问题的实际背景，由于这个三元一次方程组中有两个方程， 三个未知量，它有无穷多组解． 在本节中将讨论 m 个方程， n 个未知量组成的方程组在什么情况下有解， 什么情况下无解，什么时候有无穷多解，有无穷多解时其解如何表示，以及怎样 求方程组的解等问题． 二、讲授新课 （一）齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念 在线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 中，若常数项均为 0，即线性 方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m m n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     称为齐次线性方程组． 若常数项不全为 0，称方程组为非齐次线性方程组． 显然，齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特殊情况，因而我们先研究非 齐次线性方程组解的情况，再研究它的特殊情况——齐次线性方程组解的情况． （二）非齐次线性方程组解的判定 1、 非齐次线性方程组有无解的判定 例 1           − − 0 0 13 0 6 9 0 1 2 4 3 2 13 有唯一解 r(A) = 3，r(A) = 3， r(A) = r(A) ． 例 2           − − − 0 0 0 2 0 6 9 0 1 2 4 3 无解 r(A) = 2，r(A) = 3， r(A)  r(A) ．

线性代数教案第3章向量与线性方程组(1 -24 :3)例3106-90有无穷多个解 r(A)=2，r(A)=2，r(A)=r(A)(0。。o)由上述观察可知，当r(A)=r(A)时，线性方程组无矛盾方程，一定有解；当r(A)±r(A)时，r(A)=r(A)+1，有矛盾方程，线性方程组一定无解、反之亦然.定理1非齐次线性方程组有解的充分必要条件为r(A)=r(A)注意：此充要条件包括四个命题：(1) 有解 r(A)= r(A)(2) 有解r(A)= r(A)(3)无解= r(A)r(A)(4) 无解≤r(A)± r(A)当r(A)=r(A)时,这两个秩数恰为有效方程的个数.例1中r(A)= r(A)=3代表有3个有效方程，例3中r(A)=r(A)=2，代表有2个有效方程2、解的个数的判定非齐次线性方程组解的个数共有两种情况，有唯一解和有无穷多个解，关键取决于有效方程的个数和未知量个数间的关系.当有效方程的个数=未知量个数时，每个未知量都被唯一限定，因而方程组有唯一解；当有效方程的个数<未知量个数时，有未知量不被限制，产生自由未知量，方程组有无穷多个解，定理 2非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为r(A)=r(A)=n(其中，n为未知量的个数）定理3非齐次线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为r(A)= r(A)<n.综上：非齐次线性方程组r(A)±r(A)无解r(A)=r(A)=n有唯一解r(A)=r(A)<n有无穷多个解(有n-r(A)个自由未知量)例1判断下列线性方程组是否有解，若有解，有多少个解？计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 例 3           − − 0 0 0 0 0 6 9 0 1 2 4 3 有无穷多个解 r(A) = 2，r(A) = 2 ，r(A) = r(A) ． 由上述观察可知，当 r(A) = r(A) 时，线性方程组无矛盾方程，一定有解； 当 r(A)  r(A) 时， r(A) = r(A) +1 ，有矛盾方程，线性方程组一定无解．反之亦 然． 定理 1 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为 r(A) = r(A) ． 注意：此充要条件包括四个命题： (1) 有解  r(A) = r(A) (2) 有解  r(A) = r(A) (3) 无解  r(A)  r(A) (4) 无解  r(A)  r(A) 当 r(A) = r(A) 时，这两个秩数恰为有效方程的个数．例1中 r(A) = r(A) = 3， 代表有 3 个有效方程，例 3 中 r(A) = r(A) = 2 ，代表有 2 个有效方程． 2、 解的个数的判定 非齐次线性方程组解的个数共有两种情况，有唯一解和有无穷多个解，关键 取决于有效方程的个数和未知量个数间的关系． 当有效方程的个数=未知量个数时，每个未知量都被唯一限定，因而方程组 有唯一解； 当有效方程的个数<未知量个数时，有未知量不被限制，产生自由未知量， 方程组有无穷多个解． 定理 2 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为 r(A) = r(A) = n (其 中，n 为未知量的个数)． 定 理 3 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 无 穷 多 个 解 的 充 分 必 要 条 件 为 r(A) = r(A)  n ． 综上：非齐次线性方程组        =   − = =    ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 有无穷多个解 有 个自由未知量 有唯一解 无解 r A r A n n r A r A r A n r A r A 例 1 判断下列线性方程组是否有解，若有解，有多少个解？

线性代数教案第3章向量与线性方程组X +2x -X, =1x -2x2 +X +x4 =12x, +X2 -x -x4 =2.(1) 322x-3x2 +x,=0;(2)2[4x +x2 -x, =-1[3x, - x2 = 3(1 2 -1:1)(12-11)-2n+r-45+5→31100-73-2解(I)A=-32(4 1 -1-1)(0-73-5(1 2-1:1)→-7 3-200-3)00：r(A)±r(A)，.线性方程组无解.(1 -211 :)(1 -211:1)2nth-1123n+>-1(2) A =21-3-3:00503)-3 3:0)-10075--(! -21 111n+→-3 -3;00510000(0：r(A)=r(A)=2<n=4，：线性方程组有无穷多个解，有4-2=2个自由未知量，[2xi +2x2 -X3 =k例2k为何值时，线性方程组X-2x2+4x3=3有解，有多少个解？X) +4x2 -5x3 =3(214-5:3)2-1: k)43n1-243-2解A=1--5i3)(4(2 2 -1k)>4-5: 34-5:31-+2>ri+r0-6910-6900→(o -6 9k-6)0ik-600：方程组有解，.r(A)=r(A)，：r(A)=2，r(A)=2，：k-6=0，即k=6时线性方程组有解.：r(A)=r(A)=2<n=3，：线性方程组有无穷多个解，有3-2=1个自由未知量.X+2x,+3x,+4x4=5例3求解方程组22x+4x+4x,+6x4=8[-x, -2x, -x, -2x, = -3解用初等行变换将增广矩阵化为行最简形计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 (1)      + − = − − + = + − = 4 1 2 3 0 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x ； (2)      − = + − − = − + + = 3 3 2 2 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x ． 解 (1) A =           − − − − 4 1 1 1 2 3 1 0 1 2 1 1 ⎯−⎯⎯+ → − + 1 3 1 2 4 2 r r r r           − − − − − 0 7 3 5 0 7 3 2 1 2 1 1 ⎯−⎯r2⎯+r3→           − − − − 0 0 0 3 0 7 3 2 1 2 1 1 ∵ r(A)  r(A) ，∴线性方程组无解． (2) A =           − − − − 3 1 0 0 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ⎯−⎯⎯+ → − + 1 3 1 2 3 2 r r r r           − − − − − 0 5 3 3 0 0 5 3 3 0 1 2 1 1 1 ⎯−⎯r2⎯+r3→           − − − 0 0 0 0 0 0 5 3 3 0 1 2 1 1 1 ∵ r(A) = r(A) = 2  n = 4 ，∴线性方程组有无穷多个解，有 4 − 2 = 2 个自由未知量． 例 2 k 为何值时，线性方程组      + − = − + = + − = 4 5 3 2 4 3 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x k 有解，有多少个解？ 解 A =           − − − 1 4 5 3 1 2 4 3 2 2 1 k ⎯r⎯1⎯r3→           − − − 2 2 1 k 1 2 4 3 1 4 5 3 ⎯−⎯⎯+ → − + 1 3 1 2 2r r r r           − − − − 0 6 9 6 0 6 9 0 1 4 5 3 k ⎯−⎯r2⎯+r3→           − − − 0 0 0 6 0 6 9 0 1 4 5 3 k ∵方程组有解，∴ r(A) = r(A) ， ∵ r(A) = 2 ，∴ r(A) = 2 ，∴ k − 6 = 0 ，即 k = 6 时线性方程组有解． ∵ r(A) = r(A) = 2  n = 3 ，∴线性方程组有无穷多个解，有 3− 2 =1 个 自由未知量． 例 3 求解方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 2 4 4 6 8 2 2 3 x x x x x x x x x x x x  + + + =   + + + =  − − − − = − 解 用初等行变换将增广矩阵化为行最简形

线性代数教案第3章向量与线性方程组213415(1 234 5)A=4682400-2-2 2→0002212-2-1-2 /-3)-1(123415)112)(12（00011100111→Y(00000)(000010)显然，R(A)=R(A)=2<4，所以Ax=b有无穷多解，其同解方程组为[x=2-2x, -x4(x =1-X4[x=k得到一般解A[x = k,[x =2-2k-k,X, =ki（k，k,为任意常数）x=1-k[x =k)（三）齐次线性方程组解的判定由于齐次线性方程组是非齐次的特殊情况，因而非齐理论对齐次也适用.下面就用非齐次线性方程组解的理论就齐次线性方程组解的情况进行探讨，1、有无解的讨论0齐次线性方程组的增广矩阵A=：0在对A进行初等行变换化阶梯阵过程中，最后一列永远为0，因而齐次线性方程组的r(A)=r(A)，永远没有矛盾方程，所以齐次线性方程组一定有解，且X) = X2=.*·= X,= 0一定是齐次线性方程组的解，称其为零解。定理4齐次线性方程组定有零解2、解的个数的讨论由于齐次线性方程组中r(A)=r(A)，故仅用系数矩阵讨论即可r(A)=n有唯一解仅有零解计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 1 2 3 4 5 2 4 4 6 8 1 2 1 2 3     =       − − − − − A 1 2 3 4 5 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 r     → − − −       1 2 3 4 5 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 r     →       1 2 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 r     →       显然， R R ( ) ( ) 2 4 A A = =  ，所以 Ax = b 有无穷多解，其同解方程组为 1 2 4 3 4 2 2 1 x x x x x  = − −   = − 令 2 1 4 2 x k x k  =   = ，得到一般解 1 1 2 2 1 3 2 4 2 2 2 1 x k k x k x k x k  = − −   =  = −    = （ 1 2 k k, 为任意常数）. （三）齐次线性方程组解的判定 由于齐次线性方程组是非齐次的特殊情况，因而非齐理论对齐次也适用．下 面就用非齐次线性方程组解的理论就齐次线性方程组解的情况进行探讨． 1、 有无解的讨论 齐次线性方程组的增广矩阵               = 0 0 0  A A ， 在对 A 进行初等行变换化阶梯阵过程中，最后一列永远为 0，因而齐次线性 方程组的 r(A)  r(A) ，永远没有矛盾方程，所以齐次线性方程组一定有解，且 x1 = x2 = = xn = 0 一定是齐次线性方程组的解，称其为零解． 定理 4 齐次线性方程组定有零解． 2、 解的个数的讨论 由于齐次线性方程组中 r(A)  r(A) ，故仅用系数矩阵讨论即可． r(A) = n  有唯一解  仅有零解．