归纳特点：a,aay,aa,.a(1)1,2,3,4,.n11111(2) 22'4'8'16"(3), 1, 1, -1...(1)导入新课：让学生先观几当，无限增大时，通项a的变化趋势组数列的特点，然后讨论，n(1)1234,一无限大最后试着进行总结，以此培1111养学生的观察分析素养，提(2)-接近于024'8'16升学习的自主性。(-11, -1, 1, -1,...-(3)1或-1二、讲解新知1.数列极限的定义定义1：按正整数顺序1,2,3，排列的无穷多个数，称为数列．记作：ai,a2,a..a，一般简记为：（an)．其中的每个数称为：数列的项：an被称为：数列的通项或一般项.定义2：对数列(anl，存在常数A，Vε>0，总存在正整数N，当n>N时，lan-A|<s恒成立，则（an)的极限为A，或称数列(an)收敛于A，记作：lima=A.注：（1）N和相关，且N的取值不唯一（2）ε可理解为误差要求，可取无限小（3）根据ε找到满足要求的N以证明极限存在与否可理解为：设数列an)，当n无限增大时，若an无限接近于一个确定的常数A，则称数列an以A为极限如果当n无限增大时，an不能无限接近于某个确定的常数，则称当n无限增大时，数列（an）发散或极限不存在.引例：提问：借助学习通随机提问当n无限增大时，通项a的变化趋势：学生引例中的数列是否收(1)1,2,3,4,n敛。一发散11111(2)→收敛224816(-1)m(3) 1, 1, 1, -,...发散此外，几个比较常见的极限：(1) lim(a±0)=lime"(a+0)lim|1+(2) lim /a=1 (α>0)(3) lim /n =1(4)lima"=0(0<a<1)16
16 归纳特点： 二、讲解新知 1. 数列极限的定义 定义 1：按正整数顺序 1, 2, 3, 排列的无穷多个数，称 为数列. 记作： , , ,., ,. a1 a2 a3 an ，一般简记为：{an}. 其中的 每个数称为：数列的项；an 被称为：数列的通项或一般项. 定义 2： 对数列{an}，存在常数 A ， > 0，总存在正 整数 N，当 n > N 时，|an - A | < 恒成立，则 {an} 的极限 为 A ，或称数列{an} 收敛于 A，记作： an A n lim . 注：（1）N 和 相关，且 N 的取值不唯一 （2） 可理解为误差要求，可取无限小 （3）根据 找到满足要求的 N 以证明极限存在与否 可理解为：设数列 {an}， 当 n 无限增大时，若 an 无 限接近于一个确定的常数 A ，则称数列{an}以 A 为极限. 如果当 n 无限增大时， an 不能无限接近于某个确定的 常数，则称当 n 无限增大时，数列 {an} 发散或极限不存在. 引例： 此外，几个比较常见的极限： 导入新课：让学生先观察几 组数列的特点，然后讨论， 最后试着进行总结，以此培 养学生的观察分析素养，提 升学习的自主性。 提问：借助学习通随机提问 学生引例中的数列是否收 敛
2.数列极限的性质重点（也是难点）：数列极性质1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。限的基本性质。定义3：对数列(an)，若存在正数M，使得对于一切正整数n，恒有lal≤M，则称数列（an)有界，否则无界.性质2（有界性）收敛数列必为有界数列.收敛数列有界数列X((-1)")推论无界数列必定发散性质3（保号性）设lima,=a，limb,=b,且a>b，则必存在正整数N，当n>N时，有an>bn.推论1设lima，=a，limb,=b，且存在正整数N，当n>N时，有an>bn，则a>b推论2若lima，=a，且a>0（或a<0），则必存在正整数N，当n>N时，恒有a>0（或an<0）推论3若数列（an）从某项起有an≥0（或an≤0），且limaa=a，则a≥0（或a≤0)定义4：将数列（an）在保持原有顺序的情况下，任取其中无穷多项所构成的新数列称为数列（an）的子数列，简称子列.例如a，a2，，a，aa.子数列1a2，a，a,ag，.a2..子数列2：a，a，as，a，…，a2m-1,.性质4（收敛数列与其子列间的关系）如果数列（an）收敛于A，那么它的任一子列也收敛，且均收敛于A推论1若数列（a）有两个子列收敛于不同的极限，则数列(an）是发散的.例如：1,-1,1,-1,.(-1)子数列1：1，1，1，1，，1，…子数列2：-1,-1，-1,-1,.，-1,...定义5若数列（an）满足条件an≤an+I（an≥an+I）（neZ+），则称数列（an）是单调增加的（单调递减的）三、课程小结1.数列极限的定义2.常见数列的极限3.数列极限的性质四、布置作业课后思考：布置课后思考，培养学生自主思考的学习1.教材的课后习题能力，并将数学与中国文诗2.学习通上对应的作业词结合，培养学生的文学素3.思考：中国古诗词中有哪些诗或词中可以反映极限的养。思想？17
17 2. 数列极限的性质 性质 1（唯一性） 收敛数列的极限是唯一的． 定义 3： 对数列 {an}，若存在正数 M， 使得对于一 切正整数 n，恒有 |an| ≤ M ，则称数列 {an}有界，否则无界. 性质 2（有界性） 收敛数列必为有界数列． 推论 无界数列必定发散． 性质 3（保号性） 设 an a n lim ， bn b n lim ，且 a > b，则必存在正整数 N ，当 n >N 时，有 an > bn . 推论 1 设 an a n lim ， bn b n lim ，且存在正整数 N ， 当 n >N 时，有 an > bn ， 则 a > b . 推论 2 若 an a n lim ，且 a > 0 （或 a < 0），则必存 在正整数 N ，当 n >N 时，恒有 an > 0（或 an < 0）. 推论 3 若数列 {an} 从某项起有 an ≥ 0（或 an ≤ 0）， 且 an a n lim ，则 a ≥ 0（或 a ≤ 0） . 定义 4： 将数列 {an} 在保持原有顺序的情况下，任取 其中无穷多项所构成的新数列称为数列 {an} 的子数列，简 称子列． 性质 4（收敛数列与其子列间的关系）如果数列 {an} 收 敛于 A ，那么它的任一子列也收敛，且均收敛于 A . 推论 1 若数列 {an} 有两个子列收敛于不同的极限，则 数列 {an} 是发散的． 定义 5 若数列 {an} 满足条件 an ≤ an+1 （an ≥ an+1 ） （ nZ + ），则称数列 {an} 是单调增加的（单调递减的）. 三、课程小结 1. 数列极限的定义 2. 常见数列的极限 3. 数列极限的性质 四、布置作业 1. 教材的课后习题 2. 学习通上对应的作业 3. 思考：中国古诗词中有哪些诗或词中可以反映极限的 思想？ 重点（也是难点）：数列极 限的基本性质。 课后思考：布置课后思考， 培养学生自主思考的学习 能力，并将数学与中国文诗 词结合，培养学生的文学素 养
五、板书设计数列极限的定义1.3数列的极限数列极限的基本性质（重点）教学反思1.成功之处我利用了多媒体等现代化教学手段辅助教学，通过动画、板书等方式展示数列极限的概念和性质，学生能够直观地看到一组数列的变化趋势，判断数列的极限是否存在，进而理解数列的极限。2.存在问题极限的定义语言本身难于理解，这也导致部分学生在听讲时已经有所放弃，故而后面讲解的数列极限的基本性质也没有认真听讲，使得整堂课的听讲幅度大大变小。3.改进措施今后可利用通俗的语言解释极限的定义，减小学生理解定义的难度，以此保证学生对高等数学知识的学习积极性。18
18 五、板书设计 教学反思 1. 成功之处 我利用了多媒体等现代化教学手段辅助教学，通过动画、板书等方式展示数列极限的 概念和性质，学生能够直观地看到一组数列的变化趋势，判断数列的极限是否存在，进而 理解数列的极限。 2. 存在问题 极限的定义语言本身难于理解，这也导致部分学生在听讲时已经有所放弃，故而后面 讲解的数列极限的基本性质也没有认真听讲，使得整堂课的听讲幅度大大变小。 3. 改进措施 今后可利用通俗的语言解释极限的定义，减小学生理解定义的难度，以此保证学生对 高等数学知识的学习积极性
授课题目81.4函数极限课时：2学时知识目标：1.理解函数极限的基本概念。学生能够清晰理解函数极限的定义，包括左极限、右极限和极限的概念。2.掌握极限的运算法则。学生能够熟悉并应用极限的四则运算法则，包括加法、减法、乘法和除法的极限运算法则。能力目标：教学目标培养学生的分析和观察能力。学生能够通过观察函数的表达式或图形，分析函数的极限状态，包括极限是否存在、极限值是多少等。。素养目标：培养学生的数学素养。学生需要严谨地处理数学符号和逻辑关系，这有助于培养他们的数学素养。教学重点：函数极限的定义。重点难点教学难点：函数极限的性质。教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。方法手段教学手段：多媒体、学习通平台。寻入新课函数极限的定义讲解新知案例分析+讨论法+讲授函数极限的性质函数课程小结教学设计极限布置作业板书设计教学反思教学过程教学活动一、导入新课导入新课：利用学习通平台复习数列极限进行导入新课抽学生回答数列极限的基二、讲解新知本性质，以此引导学生快速进入课堂。1.函数极限的定义目的：设函数f(x)的定义域为D，函数f(x)的极限就是自变量x在定义域D内变化时，相应的函数值f(x)的变化趋势.两种情形：19
19 授课题目 §1.4 函数极限 课时：2 学时 教学目标 知识目标： 1. 理解函数极限的基本概念。学生能够清晰理解函数极限的定义，包 括左极限、右极限和极限的概念。 2. 掌握极限的运算法则。学生能够熟悉并应用极限的四则运算法则， 包括加法、减法、乘法和除法的极限运算法则。 能力目标： 培养学生的分析和观察能力。学生能够通过观察函数的表达式或图形， 分析函数的极限状态，包括极限是否存在、极限值是多少等。 素养目标： 培养学生的数学素养。学生需要严谨地处理数学符号和逻辑关系，这 有助于培养他们的数学素养。 重点难点 教学重点：函数极限的定义。 教学难点：函数极限的性质。 方法手段 教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法。 教学手段：多媒体、学习通平台。 教学设计 教学过程 教学活动 一、导入新课 复习数列极限进行导入新课. 二、讲解新知 1. 函数极限的定义 目的：设函数 f (x) 的定义域为 D ，函数 f (x) 的极限 就是自变量 x 在定义域 D 内变化时，相应的函数值 f (x) 的变化趋势. 两种情形： 导入新课：利用学习通平台 抽学生回答数列极限的基 本性质，以此引导学生快速 进入课堂
（1）自变量x任意接近于xo，且x≠xo，记为x→xo重点：两种函数极限的定定义1：设函数f(x）在点xo的某一去心邻域内有定义，义。在点xo处可以没有定义，存在常数A，对于V>0，38>0，使得（xo-8,xo）U（xo,xo+8）中的所有x满足IF(x)-A<，则称A是函数f(x)在x→xo时的极限，或称函数(x）收敛于A，记作：limf(x)=Ayfx0xXoxo+dXo-0理解为：设函数f(x）在点xo的某一去心邻域内有定义，当x→xo时，如果函数f(x）的值无限接近于某一确定常数A，则称常数A为函数f(x）当x→xo时的极限注：函数在点xo处可以没有定义由定义可得：快问快答：利用学习通平台随机抽学生回答由定义可(2)limC=C(1)limx=xo得下列极限分别是多少？(4)limcosx=1(3) lim sinx = 0以此判断学生掌握情况。(5)lime"=1lima=1(a>0且a*1)1）自变量x从左侧接近于xo，即x<xo，记为x→xo定义2：设函数f(x）在点xo的左邻域内有定义，存在常数A,对于>0,38>0,使得（xo-8,xo）中的所有x满足If(x)-A|<，则称A是函数f(x)在x→xo时的左极限，记作：limf(x)=A.2）自变量x从右侧接近于xo，即x>xo，记为x→xo+.定义3：设函数f(x）在点xo的右邻域内有定义，存在常数A，对于V>03>0，使得（xo,xo+）中的所有x满足If()-A<，则称 A是函数f(x)在x→xo+时的右极限，记作：limf(x)=A.例1 设函数为(g)=,求im (), (1)和m(a)案例分析：利用第一种函数解:当x>0时,[3=x,则Um=m=lm1=1;极限判别其它函数在某点处的极限是否存在。X-0*XX→0XX-→0*x-x = lim(-1) = -1 ;当x<0时，x=-x，则lim=lim二→0~ xx-→0Xo因为limf(x)limf(x)，由定理1得，limf(x)不存在.[x-1,x<0例2讨论函数f(x)=00,x=0在x→0时的极限.x+1,x>0解：当x<0时，f(x)=x-1，则函数f(x)的左极限，20
20 （1）自变量 x 任意接近于 x0 ，且 x x0，记为 x x0 . 定义 1：设函数 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义， 在点 x0 处可以没有定义，存在常数 A，对于 > 0， > 0， 使得 ( x0 - , x0 ) ( x0 , x0+ ) 中的所有 x 满足 | f (x) - A | < ，则称 A 是函数 f (x) 在 x x0 时的极限，或称函数 f (x) 收敛于 A，记作： f x A x x lim ( ) 0 . 理解为：设函数 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定 义，当 x x0 时，如果函数 f (x) 的值无限接近于某一确定 常数 A ，则称常数 A 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限. 注： 函数在点 x0 处可以没有定义. 1) 自变量 x 从左侧接近于 x0 ，即 x < x0，记为 x x0 - . 定义 2：设函数 f (x) 在点 x0 的左邻域内有定义，存在 常数 A，对于 > 0， > 0，使得 ( x0 - , x0 ) 中的所有 x 满 足 | f (x) - A | < ，则称 A 是函数 f (x) 在 x x0 - 时的左极 限，记作： f x A x x lim ( ) 0 . 2) 自变量 x 从右侧接近于 x0 ，即 x > x0，记为 x x0+ . 定义 3：设函数 f (x) 在点 x0 的右邻域内有定义，存在 常数 A，对于 > 0， > 0，使得 ( x0 , x0+ ) 中的所有 x 满 足 | f (x) - A | < ，则称 A 是函数 f (x) 在 x x0+ 时的右 极限，记作： f x A x x lim ( ) 0 . 例 1 设函数为 x x f x | | ( ) ，求 lim ( ) 0 f x x ，lim ( ) 0 f x x 和 lim ( ) 0 f x x . 解：当 x 0 时，x x ，则 0 0 0 lim lim lim1 1 x x x x x x x ； 当 x 0 时，x x ，则 0 0 0 lim lim lim( 1) 1 x x x x x x x ； 因为 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x ，由定理 1 得， 0 lim ( ) x f x 不存在. 例 2 讨论函数 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x x x f x 在 x 0 时的极限. 解： 当 x 0 时，f (x) x 1，则函数 f (x) 的左极限， 重点：两种函数极限的定 义。 快问快答：利用学习通平台 随机抽学生回答由定义可 得下列极限分别是多少？ 以此判断学生掌握情况。 案例分析：利用第一种函数 极限判别其它函数在某点 处的极限是否存在