沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第5章 二次型 5.2 二次型的标准形与规范形

第五章二次型85.2 二次型的标准形与规范形化二次型为标准形的方法二次型的规范形、三、 小结001018

§5.2 二次型的标准形与规范形 一、 化二次型为标准形的方法 二、 二次型的规范形 第五章 二次型 三、 小结

一、化二次型为标准形的方法1.配方法例1用配方法将二次型f(x,x2,x3)=x +2x2 +3x -4xx2 +2xX -8x2x3化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵解原式=(x-2x,+x) -2x +2x -4xzx=(x -4xx2 +2xx)+2x +3x2 -8x2x=(x -2x +x,) -2(x +2x2x)+2x3=(-2x, +x) -2( +x+4008

1.配方法 例1 用配方法将二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 2 3 4 2 8       解 原式 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 2 3       ( 4 2 ) 2 3 8 x x x x x x x x x 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3       ( 2 ) 2 2 4 x x x x x x x 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3       ( 2 ) 2( 2 ) 2 x x x x x x x 2 2 2 1 2 3 2 3 3       ( 2 ) 2( ) 4 x x x x x x 一、化二次型为标准形的方法 化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵

Ayi = Xi -2x2 +X3J2 =X2 +X31y3X3I即0X2y20t00108

令 1 1 2 3 2 2 3 3 3 y x x x 2 y x x y x          即 1 1 2 2 3 3 1 2 1 0 1 1 0 0 1 y x y x y x                           

则xi = yi+2y2 -3y3Y2 - y3x, =y3X3 =即Xy200108

则 1 1 2 3 2 2 3 3 3 x y y y 2 3 x y y x y           即 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 1 1 0 0 1 x y x y x y                            

即经过线性可逆线性变换32yyX0-1xy2X3二次型化成标准型f =y-2y2+4y3相应的线性变换矩阵为12-3一001018

即经过线性可逆线性变换 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 1 1 0 0 1 x y x y x y                             二次型化成标准型 2 2 2 1 2 3 f y y y    2 4 相应的线性变换矩阵为 1 2 3 0 1 1 0 0 1              C