S9.1多元函数的基本概念一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 §9.1 多元函数的基本概念 -1-
一、平面点集在平面上，引进直角坐标系后点P. P(x, y)一对应x0(x, y)二元有序实数组(x,)的全体，即,R?= RxR= ((x,y)xe R,yeR)就表示坐标平面
在平面上，引进直角坐标系后， P(, ) x y x y 0 二元有序实数组 的全体，即， (, ) x y 一、平面点集 2 R RR x(, ) , y x R y R ， 就表示坐标平面. - 2 - 点 P 一一对应
平面点集：坐标平面上具有某种性质P的点的集合，记作 E=((x,y)l(x,y)具有性质P)如，平面上以原点0为中心、2为半径的圆内所有点的集合：E = ((x,y)|x? + y? <4)或 E=(P|IOPK2)3
记作 E {( , ) ( , ) }. xy xy P 具有性质 或 E P OP {| | 2 }. 2 2 E xy x y {( , ) 4} 平面点集：坐标平面上具有某种性质 的点的集合, P 如，平面上以原点 为中心、2为半径的圆内所有 O 点的集合： - 3 -
邻域设P(xo,y)ExOy面，且实数>0.与点P距离小于S即的点的全体，称为点P的S邻域，记为U(P,S),U(P,8)=(PPP <)S.Po= ((x, y)/ /(x - xo)2 +(y- y0)2 <8)点P的去心S邻域，记作U(P,8)，即U(Po,8)=(P0 </ PP < 8)= ((x,y)10< /(x-xo) +(y-yo) <S)注：在不需要强调邻域的半径θ时，用U(P)和U(P)分别表示点P的某个邻域和其去心邻域
邻域 0 0 U P P PP ( ,) { | | } 2 2 0 0 {( , ) | ( ) ( ) }. xy x x y y P0 0 0 ( ,) o 点 的去心 邻域 P UP ，记作 ，即 0 0 ( ,) { 0| | } o U P P PP 0 0 0 0 0 0 ( ,) ( , ) 0. P UP P x y xOy P 距离小 点 的 邻域 设 面，且实数 与点 的点的全体，称为 ，记为 于 ，即 -4- 2 2 0 0 {(, ) xy x x y y | 0 ( )( ) }. 0 0 0 () () o U P 在不需要强调邻域的半径 时，用 和 P UP 分别表示点 的某个邻域和其去 注： 心邻域
点与点集间的关系任意一个点集ECR，任意一点PER?①内点若点P的某个邻域U(P)CE，则称P为E的内点②外点若点P的某个邻域U(P)，满足U(P)NE=Φ，则称P为E的外点③边界点若点P的任一邻域既含有属于E的点，又E含有不属于E的点，则称P为E的边界点
点与点集间的关系 2 2 任意一个点集 ，任意一点 ． E R PR E P 若 点 的某个邻域 则称 为 的内点. P UP E P E ( ) ， ① 内点 P P ( ) () . P UP UP E P E ， ， 若 点 的某个邻域 满足 则称 为 的外点 ② 外点 . P E E PE ， ， 若点 的任一邻域既含有属于 的点 又 含有不属于 的点 则称 为 的边界点 ③ 边界点 -5-